藤原進之介です。このページでは京都大学2004年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：対数方程式。解く前に真数条件——これを後回しにすると、出てきた解が使えるかどうか判断できません。まとめてから外すのは最後です。
1. なぜその一手を選ぶのか
まず定義域。真数は正でなければならないので x > 0 かつ x − 1 > 0 、あわせて x > 1 。この1行を最初に書くのが、この型で最も点になる部分です。
次に左辺。底が同じ 2 なので、log の和は積にまとめられます：log2 x + log2(x − 1) = log2 {x(x − 1)} 。底をそろえて1つの log にするのが対数方程式の第一手です。
2. 解答
- 真数条件：x > 0 かつ x − 1 > 0 より x > 1 。
- log2 {x(x − 1)} = 5 より x(x − 1) = 25 = 32 。
- 整理して x2 − 1x − 32 = 0 。解の公式より x = 1 ± √1292 。
- 負の解は真数条件 x > 1 を満たさないので捨てる。
答え： x = 1 + √1292（≒ 6.179）
3. 検算
真数条件で確かめる：6.179 > 1 なので採用してよい解です。
もう一方の解を見る：((1 − √129) / 2 ≒ -5.179 は負で、真数条件から確実に外れます。2次方程式の解が2つ出たら、必ず両方を定義域に照らす——片方だけ見て終わるのがこの型の典型ミスです。
この型の一般化：log の和 → 積、差 → 商にまとめてから真数を比較するのが基本形。ただし「まとめる」操作は定義域を広げてしまうので（x と x−1 が両方負でも積は正になる）、最初に書いた真数条件で必ず絞り直します。底が違うときは底の変換公式で先にそろえます。第6章 関数で定義域の扱いを整理しています。
京都大学 数学 過去問｜他の年度を見る
京都大学の数学の過去問は25年度ぶんを公開しています。そのうち6年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
- 2019年度
- 2018年度
- 2017年度
- 2016年度
- 2015年度
- 2014年度
- 2013年度
- 2012年度
- 2011年度
- 2010年度
- 2009年度
- 2008年度
- 2007年度
- 2006年度
- 2005年度
- 2004年度
- 2003年度
- 2002年度
- 2001年度
- 2000年度
- 1999年度
- 1998年度
- 1997年度
- 1996年度
- 1995年度
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
京都大学 2004年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 関数・グラフ
- 整数
- 図形・三角関数
- 方程式・不等式
- 複素数
- ベクトル
- 確率・場合の数
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2004年度の問題PDFでは、関数・グラフ、整数、図形・三角関数、方程式・不等式、複素数に関する語句や設問を確認できました。京都大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は25年度、整数は24年度、空間図形は22年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、方程式・不等式、ベクトル、空間図形
平成16年度入学試験問題
数 。 学 OLA)
150 点満点
る配点は, 学生募集要項に記載のとおり.タ
GE 意)
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある.
3. 問題は全部で 5 題ある(1 ページから 2 ページ).
4. 筆答開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. ただし, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する. それ以外の場合.
計算用ページは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ベージに書き, 消さないでそのまま
残しておくこと.
7 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答周子は, ホッチキスをはずしたりページを切り離したりしてはならない.
9. 問題周子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
やM3(093一23)
回 0
ア(のcos49一4sin79
EGS, 0" 9 90' におけるア(の) の最大値および最小値を求めよ.
0)
区間 — 1 ミ*ミ1で定義された関数/ (>)が.
020時211にまわ
を満たし.。またそのグラフが下図のようになっているという.
y
このとき」
ナルのな=ーュ
oc M3 (093—24)
(30 #8)
AOAB において, @= OA, b= OB とする. 」
lal=3, 15| =5, cos(Z AOB)= 3
とする. このとき, ZAOBO2LSHRLE, B を中心とする半径 10 の円との交
RO, 0 を原点とする位置ベクトルを, a, ? を用いてあらわせ.
[4] (30.8)
c を実数とする. xy についての 2 次方程式
(3一2の*すの5=0
が 2 つの解,』 を持つとする. 複素平面上の3点g,2.e"が3角形の3 頂点にな
り, その 3 角形の重心は0 であるという. c を求めよ.
[5] 0
なのりを0 以上の整数とする. 0,0 を未知数とする方程式
(*) a+ p22"
を考える.
(1) m2QEFS. 2.2 が方程式(*) を満たすならば. cg,のはともに偶数である
ことを証明せよ. (KEL, 0 は偶数に含める.)
(2) OSL EOS n に対して, 方程式(*) を満たす OL LORMOM (GG, DET
べて求めよ.
問題は このページで終わりである.
>で ya やM3(093一25)
問2画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、複素数、図形・三角関数、確率・場合の数
平成16年度入学試験問題
200 点満点
る配点は, 学生募集要項に記載のとおり.タ
Gz 意)
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある.
3. 問題は全部で 6 題ある(1 ページから 2 ページ).
4. 筆答開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙にはこれら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. REL, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いてもよい. この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する. それ以外の場合
計算用ページは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書き, 消さないでそのまま
残してもくこと.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある.
8. MAM, ホッチキスをはずしたりページを切り離したりしてはならない.
9. 問題周子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
M5 (093—29)
[1] (0.8)
ア(の7ニcos49一4sin?の
EFS, 0 9 ミ つとにおける(の の最大値および最小値を求めよ。
G5 #8)
ォ> 0 とし ェン 0 で定義された関数
を考える.ッーア G)のグラフより下側でx 軸より上便の部分の面積を であら
bt.
REL, < は自然対数の底である.
G5
を2 以上の自然数とする ををメーェオーートで割った余りをgz
とする. すなわち x の多項式 P。G) があって
2" = Py) (x? + 251) tae t by
が成り立っているとする。 Him ay lim, by を求めよ。
se] we やM5(093一30)
(35.
FTAA, BE
2 0 a 0
ool el
1 1 0 8
とする. 次の(*)が成り立つための実数。 # についての必要十分条件を求めよ. -
(*) どんな 2 次正方行列 Y に対しても, 2 次正方行列々で4メーXぢ=ニ了と
なるものがある.
[5] (30.8)
複素数 に対してその共役複素数を 々であらわす. e を実数ではない複素数
とする. 複素平面内の円てが1, 一1, を通るならば, Cはー も通るこ
とを示せ.
[6] G5.
W を自然数とする. N+ 1 個の箱があり, 1LDSN+1ETOBSAMHOT
いる. どの箱にも玉が 1 個人っている. 番号 1 から までの箱に入っている玉
は自玉で, BSN + 1 の箱に入っている玉は赤玉である. 次の操作(*)を, おの
BODkR=1, 2....。V十1に対して, が小さい方から順番に 1 回ずつ行う.
(*) ょ以外の番号の / 個の箱から 1 個の箱を選び, その箱の中身と番号をの
箱の中身を交換する. (ただし, N 個の箱から 1 個の箱を選ぶ事象は ど
れも同様に確からしいとする.)
操作がすべて終了した後, 赤玉が番号 + 1 の箱に入っている確率を求め
de
問題は このページで終わりである.
er 族 “ M5 (093-31)