藤原進之介です。このページでは九州大学1998年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
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九州大学 1998年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 整数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- 関数・グラフ
- ベクトル
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
1998年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、整数、方程式・不等式、空間図形に関する語句や設問を確認できました。九州大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、微分・積分は24年度、整数は20年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、整数、方程式・不等式、空間図形
(1) 直線 IC, 5) の方程式を求めよ。
(2) この放物線と直線 I(t, b) とが, x 座標が正の 2 点で交わるための 8, ち
の範囲を求めよ。
(3) 放物線と直線 Ue, b) とが2点で交わるとき, これらが囲む図形の面積8
を求めよ。
(4) (20の図形の面積を直線 *ーw で9等分したい。g を求めよ。
C2) (配点50点)
この問題の解答は, 解答紙 | 9 ] の定められた場所に記入しなさい。
Ce)
LAs 左図のように円周を 12 等分する点 A, B,C, D,
K C BRGHIL IK し が与えられている。
J D これらの中から相異なる3点を選んで線分で結ぶと三
I E 角形がそられる。たとえば, A, D, 1 を選べば, 図の
A Pep ような三角形がえられる。
このとき, 次の問に答えよ。
(1) 正三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ。
(2) 二等辺三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ。
(3) 直角三角形を与えるような 3点の選び方の総数を求めよ。
(4) 3点を選んでえられる三角形のうち, 互いに合同でないものは全部でいくつ
あるか。
[ 3 ] (配点50点)
次の問 |A | , [B] , [C] より1問を選択し, sai [io] の | | (2箇所)
に選択した問題符号 A, B, C のいずれかを記入して解答しなさい。
(1) By 200k, 不等式 ーー = ーーキッ が成り立つことを示せ。
(2) 1 不等式 Te Peet? Pel © Tee
成り立つことを示せ。
2 1の不等式で等号が成り立つのはどのようお場合か調べよ。
(1) 自然数々ニ1,2.3,...... について, 次の等式が成り立つことを示せ。
12士23十34十 wre + 8 =pn(nt 1}( 22+ 1)
(2) 辺の長さ 1 の正三角形のタイルをいくつか用意して, 辺の長さが自然数 ヵ
の正三角形をタイルで張りつめたい。
1 か2,.3,4のとき, どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ。
2@ 一般に, 辺の長さ m の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイ
ルの個数を ヵ の式で表し,、 その式が成り立つ理由を述べよ。
(3) 辺の長さ 1 の正三角形を底面とする高さ 1 の正三角柱のプロックをいくつか .
用意して, すき間なく並べて高さ 1 の正三角柱の台を作る。このような人台をヵ
段積み上げ, 高さヵ の台を作る。この人台を真横から見たとき下図のように見
えたという。ただし, 図の小四角形はすべて辺の長さ 1 の正方形である。この
とき台全体の体積を求めよ。
にLEN TERRE
RO BASIC によるプログラムを実行するとき, 以下の問に答えよ。
10 INPUT N
20 S=0
30 M=2*INT(N/2)+1
40 FOR K=1 TO M STEP2
50 X=N-—K*xINTCN/K)
60 IF X>0 THEN GOTO 80
70 S=S+K
80 NEXT K
90 PRINT 8
100 END
(1) 入力が 12 のとき出力はいく らか。
(2) 出力が 1 となるような自然数の入力はどのような数か。
(3) 範囲2 = N =50 の自然数 N を入力するとき, 出力が 1 より大きな奇数とな
るN をすべて求めよ。
[ 4 ] (配点50点)
次の問 [5] [E]. FF] より1問を選択し, eee [本| の| | «oman
に選択した問題待号 D、E, F のいずれかを記入して解答しなさい。
回
辺の長さ 1 の正四面体 0ABC において, @= 0A, B= OB, c= OC L
BS, 線分 0A を記 :ヵに内分する点を P, 線分 BC を :ヵに内分する点を
Q, 線分COを訪 :みに内分する点を R, 妹分 ABを :ヵに内分する点を8
とする。 (ただし, > 0 とする。)
1) 1 PQ, RS を a. b, c THU.
24 と5 の内積を求めよ。
9 PQ と RS が開直かどうかを調べよ。
(2) © m=nOLaAP, @ R, Sは同一平面上にあることを示せ。
@ このとき PQ, RS の交点をG として, OG Ea, ち. c で表せ。
3 G は正四面体 0ABC に外接する球の中心でもることを示し, その球の
半径を求めよ。
回
を正の実数とするとき, Hest
x?—(2h+1)x2+(4h? +2h)x — 4k? =0 」
の 3 個の解を z」, 22, <。 とし, それらを複素数平面上の点と見なす。
(1) x= 1 は上の方程式の解でちるかどうかを調べよ。
2) 3点z, 2 <。 が一直線上にあるようなたの値を求めよ。
(3) 3 点々, 22 <s が直角三角形をなすようなょの値を求めよ。
(4) Siz, 2 29 を原点のまわりに角 の だけ回転してえられる BREW,
We, ゆs とする。め」,。 Wy, ps およびそれらと共役な点 Dy, Dy we とが、
原点中心の正六角形の頂点となるとき、 および9(0 “< 9 ミ180")の値を求
めよ。
(2) この放物線と直線 I(t, b) とが, x 座標が正の 2 点で交わるための 8, ち
の範囲を求めよ。
(3) 放物線と直線 Ue, b) とが2点で交わるとき, これらが囲む図形の面積8
を求めよ。
(4) (20の図形の面積を直線 *ーw で9等分したい。g を求めよ。
C2) (配点50点)
この問題の解答は, 解答紙 | 9 ] の定められた場所に記入しなさい。
Ce)
LAs 左図のように円周を 12 等分する点 A, B,C, D,
K C BRGHIL IK し が与えられている。
J D これらの中から相異なる3点を選んで線分で結ぶと三
I E 角形がそられる。たとえば, A, D, 1 を選べば, 図の
A Pep ような三角形がえられる。
このとき, 次の問に答えよ。
(1) 正三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ。
(2) 二等辺三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ。
(3) 直角三角形を与えるような 3点の選び方の総数を求めよ。
(4) 3点を選んでえられる三角形のうち, 互いに合同でないものは全部でいくつ
あるか。
[ 3 ] (配点50点)
次の問 |A | , [B] , [C] より1問を選択し, sai [io] の | | (2箇所)
に選択した問題符号 A, B, C のいずれかを記入して解答しなさい。
(1) By 200k, 不等式 ーー = ーーキッ が成り立つことを示せ。
(2) 1 不等式 Te Peet? Pel © Tee
成り立つことを示せ。
2 1の不等式で等号が成り立つのはどのようお場合か調べよ。
(1) 自然数々ニ1,2.3,...... について, 次の等式が成り立つことを示せ。
12士23十34十 wre + 8 =pn(nt 1}( 22+ 1)
(2) 辺の長さ 1 の正三角形のタイルをいくつか用意して, 辺の長さが自然数 ヵ
の正三角形をタイルで張りつめたい。
1 か2,.3,4のとき, どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ。
2@ 一般に, 辺の長さ m の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイ
ルの個数を ヵ の式で表し,、 その式が成り立つ理由を述べよ。
(3) 辺の長さ 1 の正三角形を底面とする高さ 1 の正三角柱のプロックをいくつか .
用意して, すき間なく並べて高さ 1 の正三角柱の台を作る。このような人台をヵ
段積み上げ, 高さヵ の台を作る。この人台を真横から見たとき下図のように見
えたという。ただし, 図の小四角形はすべて辺の長さ 1 の正方形である。この
とき台全体の体積を求めよ。
にLEN TERRE
RO BASIC によるプログラムを実行するとき, 以下の問に答えよ。
10 INPUT N
20 S=0
30 M=2*INT(N/2)+1
40 FOR K=1 TO M STEP2
50 X=N-—K*xINTCN/K)
60 IF X>0 THEN GOTO 80
70 S=S+K
80 NEXT K
90 PRINT 8
100 END
(1) 入力が 12 のとき出力はいく らか。
(2) 出力が 1 となるような自然数の入力はどのような数か。
(3) 範囲2 = N =50 の自然数 N を入力するとき, 出力が 1 より大きな奇数とな
るN をすべて求めよ。
[ 4 ] (配点50点)
次の問 [5] [E]. FF] より1問を選択し, eee [本| の| | «oman
に選択した問題待号 D、E, F のいずれかを記入して解答しなさい。
回
辺の長さ 1 の正四面体 0ABC において, @= 0A, B= OB, c= OC L
BS, 線分 0A を記 :ヵに内分する点を P, 線分 BC を :ヵに内分する点を
Q, 線分COを訪 :みに内分する点を R, 妹分 ABを :ヵに内分する点を8
とする。 (ただし, > 0 とする。)
1) 1 PQ, RS を a. b, c THU.
24 と5 の内積を求めよ。
9 PQ と RS が開直かどうかを調べよ。
(2) © m=nOLaAP, @ R, Sは同一平面上にあることを示せ。
@ このとき PQ, RS の交点をG として, OG Ea, ち. c で表せ。
3 G は正四面体 0ABC に外接する球の中心でもることを示し, その球の
半径を求めよ。
回
を正の実数とするとき, Hest
x?—(2h+1)x2+(4h? +2h)x — 4k? =0 」
の 3 個の解を z」, 22, <。 とし, それらを複素数平面上の点と見なす。
(1) x= 1 は上の方程式の解でちるかどうかを調べよ。
2) 3点z, 2 <。 が一直線上にあるようなたの値を求めよ。
(3) 3 点々, 22 <s が直角三角形をなすようなょの値を求めよ。
(4) Siz, 2 29 を原点のまわりに角 の だけ回転してえられる BREW,
We, ゆs とする。め」,。 Wy, ps およびそれらと共役な点 Dy, Dy we とが、
原点中心の正六角形の頂点となるとき、 および9(0 “< 9 ミ180")の値を求
めよ。
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、空間図形、整数
(1) 定数関数でない関数 7z) で
条件(A) 「すべての に対して fle +1) = f(x) である」
をみたすものの例をあげよ。
(2) 関数Cx) が
条件CB) 「すべてのに対して(x)+げ7(x)ミ0 である」
をみたすとき, a< bow Fla)2 Fb) CHSC LEME.
(3) BEBE f(x) が(1) の条件 (AY をみたすとき, F(x tn) (ただし, ヵは正
の整数) をCx)を用いて表せ。
(4) BER fC) が(1 (2) の条件 (A), (CB) をともにみたすとする。
1 (ce)= 0 となる<cが存在すれば, f(c)=0 であることを示せ。
2 あるcで 7(c)= 0 であれば, すべてので ァ)王 0 となることを示せ。
(2) (配点50点)
この問題の解答は, MEK [13] の定められた場所に記入しなさい。 ・
〔問題]
_ <. % 左図のように円周を 12 等分する点 A, B,C, D,
K C BBRGHL I K L が与えられている。
J D - SHSOP SMS 3 点を選んで線分で結ぶと三
I E 角形がえられる。たとえば, A, D, を選べば, BO
ーー ような三角形がえられる。
このとき, 次の問に答えよ。
(1) 正三角形を与えるような8点の選び方の総数を求めよ。
(2) 二等辺三角形を与えるような 3 点の選び方の総数を求めよ。
3) 直角三角形を与えるような 3 点の選び方の総数を求めよ。
(4) 3点を選んでえられる三角形のうち, 互いに合同でないものは全部でいくつ
あるか。
[ 3 ] (配点50点)
この問題の解答は, 解和紙 [14] の定められた場所に記入しなさい。
〔問題〕
平面上の曲線 Cが媒介変数を を用いて
x =sint—tcost, y=cost t+tsint (0 St S72)
で与えられている。
(1) 曲線Cの長さを求めよ。
(2) 曲線 の上の各点 P において, P における接線と P で直交する直線を考え
る。この直線上の点で原点までの距離が最短となる点は, P を動かすときどん
な図形を描くか。
20 ["tsin 2 dt t5R0b4.
(4) 曲線Cとヶ軸および直線 » ニー1 で囲まれる図形の面積 3 を求めよ。
[ 4 ] (配点50点)
次の問 |A | , [B]. [C] より1問を選択し, seen [15] の | | (2和所)
に選択した問題符号 A&, B, Cのいずれかを記入して解答しなさい。
() *=ミッ=0のとき, 不等式 テー = Ts が成り立つことを示せ。
が成り立つことを示せ。
2 1の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ。
(1) 自然数々1, 2.3....... について, 次の等式が成り立つことを示せ。
12+ 294 B+ vere tnt= Tr(a + 1)(2n +1)
(2) WORE 1 の正三角形のタイルをいくつか用意して, DWORAKARK m
の正三角形をタイルで張りつめたい。
DM ーー2,3,.4のとき, どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ。
@ 一般に, 辺の長さ m の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイ
ルの個数を m の式で表し, その式が成り立つ理由を述べよ。
(9) 辺の長さ1 の正三角形を底面とする高さ 1 の正三角柱のブロックをいくつか
用意して. すき間なく並べて高さ 1 の正三角柱の台を作る。このような台をヵ
段積み上げ, 高さヵの台を作る。この人台を真横から見たとき下図のように見
えたという。ただし, 図の小四角形はすべて辺の長さ 1 の正方形である。この
とき台全体の体積を求めよ。
Se ES SE eee
右図のような四角形 ABCD において, 直 A
@ AB と直線 CD の交点 E, 直線 BC と直 と
線 AD の交点F, 直線 BD と直線 EF の交 G ’
ALR, 直線 RC と直線 AB の交点 G がえら
れたとする。 E F R
(1) BS = Amが成り立つことを示せ。
2) GRAB の中点で, AP 2 であるとき, AB=a, CD=b ERK. K
の条件をみたす x, y, z の値を求めよ。
1 EB=xa
2 EC=yb
@® 四角形 ABCD が円に内接するとき, g =sち
条件(A) 「すべての に対して fle +1) = f(x) である」
をみたすものの例をあげよ。
(2) 関数Cx) が
条件CB) 「すべてのに対して(x)+げ7(x)ミ0 である」
をみたすとき, a< bow Fla)2 Fb) CHSC LEME.
(3) BEBE f(x) が(1) の条件 (AY をみたすとき, F(x tn) (ただし, ヵは正
の整数) をCx)を用いて表せ。
(4) BER fC) が(1 (2) の条件 (A), (CB) をともにみたすとする。
1 (ce)= 0 となる<cが存在すれば, f(c)=0 であることを示せ。
2 あるcで 7(c)= 0 であれば, すべてので ァ)王 0 となることを示せ。
(2) (配点50点)
この問題の解答は, MEK [13] の定められた場所に記入しなさい。 ・
〔問題]
_ <. % 左図のように円周を 12 等分する点 A, B,C, D,
K C BBRGHL I K L が与えられている。
J D - SHSOP SMS 3 点を選んで線分で結ぶと三
I E 角形がえられる。たとえば, A, D, を選べば, BO
ーー ような三角形がえられる。
このとき, 次の問に答えよ。
(1) 正三角形を与えるような8点の選び方の総数を求めよ。
(2) 二等辺三角形を与えるような 3 点の選び方の総数を求めよ。
3) 直角三角形を与えるような 3 点の選び方の総数を求めよ。
(4) 3点を選んでえられる三角形のうち, 互いに合同でないものは全部でいくつ
あるか。
[ 3 ] (配点50点)
この問題の解答は, 解和紙 [14] の定められた場所に記入しなさい。
〔問題〕
平面上の曲線 Cが媒介変数を を用いて
x =sint—tcost, y=cost t+tsint (0 St S72)
で与えられている。
(1) 曲線Cの長さを求めよ。
(2) 曲線 の上の各点 P において, P における接線と P で直交する直線を考え
る。この直線上の点で原点までの距離が最短となる点は, P を動かすときどん
な図形を描くか。
20 ["tsin 2 dt t5R0b4.
(4) 曲線Cとヶ軸および直線 » ニー1 で囲まれる図形の面積 3 を求めよ。
[ 4 ] (配点50点)
次の問 |A | , [B]. [C] より1問を選択し, seen [15] の | | (2和所)
に選択した問題符号 A&, B, Cのいずれかを記入して解答しなさい。
() *=ミッ=0のとき, 不等式 テー = Ts が成り立つことを示せ。
が成り立つことを示せ。
2 1の不等式で等号が成り立つのはどのような場合か調べよ。
(1) 自然数々1, 2.3....... について, 次の等式が成り立つことを示せ。
12+ 294 B+ vere tnt= Tr(a + 1)(2n +1)
(2) WORE 1 の正三角形のタイルをいくつか用意して, DWORAKARK m
の正三角形をタイルで張りつめたい。
DM ーー2,3,.4のとき, どのようにタイル張りすれば良いか図示せよ。
@ 一般に, 辺の長さ m の正三角形をタイルで張りつめるのに必要なタイ
ルの個数を m の式で表し, その式が成り立つ理由を述べよ。
(9) 辺の長さ1 の正三角形を底面とする高さ 1 の正三角柱のブロックをいくつか
用意して. すき間なく並べて高さ 1 の正三角柱の台を作る。このような台をヵ
段積み上げ, 高さヵの台を作る。この人台を真横から見たとき下図のように見
えたという。ただし, 図の小四角形はすべて辺の長さ 1 の正方形である。この
とき台全体の体積を求めよ。
Se ES SE eee
右図のような四角形 ABCD において, 直 A
@ AB と直線 CD の交点 E, 直線 BC と直 と
線 AD の交点F, 直線 BD と直線 EF の交 G ’
ALR, 直線 RC と直線 AB の交点 G がえら
れたとする。 E F R
(1) BS = Amが成り立つことを示せ。
2) GRAB の中点で, AP 2 であるとき, AB=a, CD=b ERK. K
の条件をみたす x, y, z の値を求めよ。
1 EB=xa
2 EC=yb
@® 四角形 ABCD が円に内接するとき, g =sち
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