九州大学 2007年度 過去問・解答

(1) 方程式 /(z) = 0 の実数解 > をすべて求め, 小さい順に並べよ。
(2) 不等式 f(n) ミ 0 を満たす整数 ヵ をすべて求めよ。
(3) 不等式 7(ヵ) S 1 を満たす整数 ヵ をすべて求めよ。
ー2 一 のMI3(546一85)

(下書き用紙)
ー3ー のM3(546一36)

[2] (配点50点)
この問題の解答は, 解答紙 [10] の定められた場所に記入しなさい。
[ 問題
1 を07く1 を満たす数とし, 空間内の 4 点 A(。0,1),B(16.0).C(0,1.9,
P(かめす を考える。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) AABC は正三角形であることを示し, その面積 9() を求めよ。
(2) AABO の重心を G とする。PG は AB, AC の両方に垂直であることを
(3) 四面体 PABC の体積) を求めよ。また ()) の最小値とその最小値を
与えるょの値を求めよ。
ー4 一 るMI3(546一37)

(下書き用紙)
— 5 一 M3 (546—38)

[3] (#@e% 502%)
この間題の解答は, 解和紙 [11 | の定められた場所に記入しなさい。
[ 問題]

図のような一辺の長さが 1 の正方形 ABCD がある。この正方形の辺上の点
QE, コインを投げて表が出れば反時計まわりに 1, 裏が出れば時計まわりに1
動かす試行を考える。点 Q が頂点 A から出発してこの試行が繰り返し行われ
るものとする。このとき, 次の問いに答えよ。

(1) 表の出る確率が ; のコインを投げて, 上記の試行を 2 回繰り 返すとき, 各
頂点 A, B, C, D に点 Q がある確率をそれぞれ求めよ 。 同様に上記の試行
を3 回および4 回繰り返すとき, SE A,B,C, D に点 Q がある確率を
それぞれ求めよ。

(2) 表の出る確率pが ; より大きいコインを投げて, 上記の試行を 2 回繰り
返すとき, 頂点 A, B, C, D のうち点 Q が頂点 C にある確率が最大とな
ることを示せ。同様に 3 回繰り返すとき, 点 Q が頂点 D にある確率が最
大となることを示せ。

A D
B ca
—6— M3 (546—39)

(1) * ミ 0 において fc) ミ 9(x) が成り立つことを示せ。

(2) を正の数とする。 曲線 y = f(o), 接線 = g(a), および 2直線 > =0,
ァニルで囲まれた部分の面積を 9(17) とするとき,pミ0における S(p) の
最小値を与える p の値を求めよ。

Soc io やM4(546一48)

(下書き用紙)
ー3 一 M4 (546—19)

[2] (fest 50 20
この問題の解答は, MAS [14] の定められた場所に記入しなさい。
[ 問題]
のを 0<ヵ<1 を満たす数とし、 行列 4, お,Cをそれぞれ
= =], 0 1+p clnp 0
とおく。 さらに,行列 4。 (p =1.2.8....) を
AL=A, Angi = AnB-BAn+C (=12.3...)
で定める。このとき。, 次の問いに答えよ。
(1) 45, As を求めよ。
(2) 4, = ( an bn ) See Tee とおくとき, lim A, を求めよ。
en dy noo,
ー4 一 るやM4(546一50)

(下書き用紙)
ー5ー のM4546一51)

[3] (配点50点)
この問題の解答は, HS LS] の定められた場所に記入しなさい。
[問題]

もを正の数とし, 空間内の 3X A(a,—a,b), B(-a,a, 4), C(a,a,—b) を考え
Bo A,B,C を通る平面を o, 原点 0 を中心とし A,B,C を通る球面を 9 と
おく。このとき, 次の問いに答えよ。

ーー ーー

(1) 線分 AB の中点を D とするとき, DCLAB BLU DOLAB であることを
示せ。また AABO の面積を求めよ。

(2) ペタトル DC と DO のなす角を 9 とするとき sind を求めよ。また, 平面
o に垂直で原点 O を通る直線と平面 e との交点を HH とするとき, 線分
OH の長きを求めよ。

(3) 点 P が球面 ? 上を動くとき, 四面体 ABCP の体積の最大値を求めよ。 た
だし,P は平面 @ 上にはないものとする。

ー6 一 でM4(546一52)