名古屋大学 2010年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：「少なくとも1回」＝余事象。1回も出ない確率を1から引くだけで終わります。正面から「ちょうど1回・2回・…・10回」と足すのは10項の和になり、まず間に合いません。

1. なぜその一手を選ぶのか

さいころを10回投げて「1の目が少なくとも1回出る」の反対は、「10回とも1以外が出る」——これだけです。場合分けが10通りから1通りになります。

1回の試行で1以外が出る確率は 56 。各回は独立なので、10回とも1以外になる確率はこれを10回かけるだけです。「少なくとも」を見たら余事象、独立試行なら積——この2つの判断で終わります。

2. 解答

1. 余事象「10回とも 1 が出ない」の確率は （56）¹⁰ = 9,765,62560,466,176 。
2. 求める確率は 1 − 9,765,62560,466,176 = 50,700,55160,466,176 。
3. 約分して 50,700,55160,466,176 。

答え： 50,700,55160,466,176（≒ 0.8385）

3. 検算

確率なので 0 と 1 の間に入っていること：0.8385 で条件を満たします。回数が増えるほど1に近づくはずで、10回なら約83.8%。1回だけなら 16 ≒ 0.167 、無限回なら1に収束——この両端の間に収まっているかを見るのが一番速い検算です。

この型の一般化：独立試行で「少なくとも1回」は、つねに 1 − (外れる確率)^回数 。「少なくとも2回」以上になると余事象が「0回」と「1回」の2つに増えるので、その分だけ引き算が長くなります。余事象が何通りになるかが、この手を使うかどうかの判断基準です。第14章 確率で全事象の取り方を整理しています。