名古屋工業大学 2017年度 過去問・解答

名古屋工業大学 2017年度（平成29年度）前期日程 数学の全問解説です。全4題16小問（試験時間120分）。
掲載しているすべての数値は、当塾で解いたうえで Pythonによる検算（極値・極限・面積をsympyで厳密計算・媒介変数表示の速度と加速度を三角関数の恒等式まで含めて確認・数列の漸化式と部分和を を変えて小数第10位まで照合・複素数の条件を成分に分けて厳密に解く） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 4題すべてが数学IIIで、しかも各大問が4小問ずつの誘導形式です。120分で16小問なので1問あたり7分半。計算量が多いので、前の小問の結果をそのまま使えているかを毎回確認しながら進めないと時間が足りません。
• 【2】と【3】は「式の形を見て公式を選ぶ」だけで進みます。【2】は のような和が出たら和積の公式、【3】は と の関係を作るのに2倍角。どちらも自然に手が動く形なので、ここは確実に取りたいところです。
• 【4】(2) がこの年度の白眉です。 の絶対値と偏角から 、 が分かり、この三角形は の直角三角形。すると円周角の定理から円 C の直径が OA だと即座に決まります。複素数の問題を図形の問題に翻訳できるかが問われています。

【1】指数関数の微分・面積・極限

(1) の極値

【型】商の微分。分子を整理して でくくると符号が読める。

【なぜこうするか】　商の微分法で計算し、共通因数をくくり出して分子を簡単にするのが要点です。 分子の中括弧は 。 と はつねに正なので、符号を決めるのは だけです。

(2) の値と の範囲

【型】 では 。置換して極限をとる。

【なぜこうするか】　 とおくと のとき なので 不等式のほうも同じ置換が効きます。 なので、分母を払っても不等号の向きは変わりません。 と合わせて 、すなわち 。

(3) 面積

【型】 の置換積分。 なので、被積分関数に を作る。

【なぜこうするか】　(2) より で （ より ）。よって 被積分関数を整理すると 末尾に を作れたので、（）で置換できます。
置換後の は、分子を の式に書き直すのが定石： これなら1項ずつ積分できます。

(4)

【型】 の形に書き直してから極限をとる。

【なぜこうするか】　(3) の式を が見える形に整理します。 「面積が無限に広がらない」のは、 で が に近づくから。左に伸ばしても曲線と直線の隙間がどんどん薄くなるので、面積は有限の値に収まります。

検証：sympy で 、極大値 、、 を確認しました。 は厳密積分の結果が上の式と一致し（ で ）、 の極限も となります。

【2】媒介変数表示の運動（速度・加速度・道のり）

(1) 座標の範囲

【型】3倍角の公式で だけの式にし、 の3次関数として値域を求める。

【なぜこうするか】　 には と が混ざっています。3倍角の公式 を使えば だけの式になります。 あとは とおいて での3次関数の値域を求めるだけ。 は から まですべての値をとる（ が実数全体を動くから）ので、置換して大丈夫です。

(2) が と平行になる

【型】速度は 。和積の公式で共通因数をつくる。

【なぜこうするか】　微分すると ここで和積の公式を使うと、両成分に が共通因数として出てきます。 だから 。 では なので、向きは で決まります。
直線 と平行 ⟺ 傾きが 、すなわち （解答例のように「直線の法線ベクトル との内積が0」としても同じです。）

(3) の最小値

【型】 を展開すると、加法定理で にまとまる。

【なぜこうするか】　もう1回微分して 2乗して足すと 最後の括弧が加法定理そのもので 。だから のとき最小で 。