防衛医科大学校 2019年度 過去問・解答

※ 問題文は防衛医科大学校が公表した平成31年度（2019年度）入学試験問題（記述式）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、学校が公表した一般的な解答例そのものではありません。作成にあたっては一般的な解答例と全12問を突き合わせて一致を確認し、さらに は数式処理で因数分解・連立方程式・定積分・ベクトルの外積による面積比を独立に計算、 は について 通り（最大 通り）を全数列挙して 通り・・ をすべて確認、 は を 万点で走査して最小値 （＝非負）を確認し、面積を数値積分（）と 2000 万点のモンテカルロ積分（）の 2 通りで独立に検算しています。

小問集合（整式の除法・2 円・定積分・面積比）

分野：小問集合　難易度：標準　目標時間：30分

(1)　整式の除法から の解

【型】除法の等式に直して積の形に。両方の式を因数分解し、 が共通因数であることを使う

【なぜこうするか】
「割る・商・余り」はすべて の形に書き直すのが第一歩：

両方ともきれいに因数分解できるように作られています：

次数から の次数を決めるのが要： が 3 次、 が 4 次だから は 1 次。
1 次式 は の因数だから か の定数倍。ところが は の因数ではない（ を代入すると ）。したがって 。
残りの 3 つの因数が というわけです。

除法の等式より

は 3 次だから が 4 次であることより は 1 次。よって は の 1 次の因数の定数倍、すなわち または （）。

ここで を に代入すると だから は の因数ではない。よって

したがって

ゆえに の解は

検算。数式処理で因数分解すると 、 ✓　共通因数は のみで、残る 3 因数の零点が ✓　（ も確かに 1 次で整合。）

【定石】「割ると商が…余りが…」は必ず の等式に書き直す。次数の関係から未知の整式の次数を決めるのが定番の一手。共通因数の候補を代入して消去すれば一意に定まります。

【よくあるミス】余りを引き忘れて としてしまうこと。また と定数倍を無視して書くこと自体は解に影響しませんが、 の解を求めるだけなら定数倍は無関係だと理解しておくと迷いません。

(2)　2 円の中心の座標

【型】2 円の中心はどちらも AB の垂直二等分線上にあり、中点 M から等距離（＝中心間距離の半分）

【なぜこうするか】
半径が等しく A、B を共有する 2 円は、線分 AB の垂直二等分線について対称……ではなく、どちらの中心も A、B から等距離なのでAB の垂直二等分線上にあります。
しかも半径が等しいので、2 つの中心は AB の中点 M について対称。すなわち M から反対方向に同じ距離だけ離れています：

あとは方向。 に垂直な向きは （内積 ）。長さ にするには を 倍して （長さ ✓）。
から だけ動かせば完成です。「垂直な向きは成分を入れ替えて片方の符号を変える」——これを覚えておくと速い。

2 円の中心を O、、線分 AB の中点を とする。2 円の半径は等しく、どちらも A、B を通るから、O、 はともに AB の垂直二等分線上にあり、しかも M について対称である。よって

に垂直なベクトルとして とおける（ ✓）。長さの条件より

したがって または で、中心の座標は

▲ 2 円はともに A、B を通り半径 。中心 と はAB の中点 M について対称で、中心間の距離は 。

検算。 から A、B までの距離はどちらも 、 からも ✓　中心間の距離は ✓

【定石】2 点を通る円の中心は、その 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線上。半径が等しい 2 円なら中心は中点について対称。 に垂直なベクトルは （成分を入れ替えて片方の符号を変える）。

【よくあるミス】 を としてしまうこと（中心間距離の半分）。また垂直ベクトルの長さ調整で の長さが であることを忘れること。

(3)　

【型】 は を解にもつ 2 次式。 と書ける

【なぜこうするか】
は の係数が の 2 次式。そして だから、 は と を 2 解にもつ。したがって

を求める必要はまったくない——これが本問の狙いです。あとは積分するだけで、しかも 公式が使えます：

残りの を足して 。
（ と見てもよいですが、 が残るので上の方法が速い。）

は の係数が の 2 次式で、 だから は を解にもつ。よって

したがって、 公式 を用いて

検算。数式処理で から を の式として解き、 を計算すると が完全に消えて ✓

【定石】「2 点で同じ値をとる 2 次式」は （その値） が因数分解できると読む。 公式は「定積分の値だけ知りたい」ときの最短。係数 を求めずに済むかを最初に考える習慣をつけること。

【よくあるミス】 の部分の積分（）を足し忘れること。また 公式の係数 を掛け忘れること（ の係数が ）。

(4)　 は の何倍か

【型】 を基準に を書き直す。 なら 、

【なぜこうするか】
基準ベクトルを 、 にそろえます。 より

これを代入して

ここからが面積比の急所。 と書けたとき

• ： と で作られるので、 の成分は効かず 倍
• ： と で作られるので 倍

（平行四辺形の面積＝外積の大きさ。 のように、同じベクトル成分は消えるから。）
したがって求める比は 。係数を出した瞬間に答えが見えるのが気持ちいいところです。

、 とおく。 より D は BC を に内分するから

よって

とすると

三角形	作るベクトル	面積
		（ の係数）
		（ の係数）

したがって

すなわち 倍。

▲ より、BC を に内分する点 E をとると P は AE を に内分する。よって 。

検算。、 を文字のまま外積で計算すると

となり、比は三角形の形によらず ✓

【定石】 のとき、、、。この 3 本を覚えておけば、内分点の面積比は係数を出すだけで終わります。

【よくあるミス】 の面積比を の係数 としてしまうこと（入れ替わりに注意：AB を含む三角形では の係数が効きます）。また を と逆にすること。

枚のカードを 3 つのグループに分ける

分野：場合の数　難易度：難　目標時間：45分

(1)　分け方の総数

【型】各グループ内では小さい順に並べるので順序は 1 通り。だから「どのカードをどのグループに入れるか」を選ぶだけ

【なぜこうするか】
「各グループ内でカードを数字の小さい順に並べる」——つまりグループの中身が決まれば並び方は自動的に 1 通り。数えるべきは組分けの方法だけです。
A に入る 枚を選び、残り 枚から B に入る 枚を選ぶと、C は残りに自動的に決まる：

グループに A、B、C という名前がついているので、 で割ってはいけません（区別のない組分けなら割ります）。ここが唯一の落とし穴。

各グループ内の並べ方は「小さい順」で一意に決まるから、数えるべきは組分けの方法の数である。A に入る 枚の選び方は 通り、残り 枚から B に入る 枚の選び方は 通りで、C は自動的に決まる。よって

通り

検算（全数列挙）。実際に列挙すると で 、 で 、 で 、 で 通り。公式 の値とすべて一致 ✓

【定石】「グループ内は順序が決まっている」＝並べ方は 1 通り＝選ぶだけ。名前のついた 組への等分は 、名前がなければさらに で割る。

【よくあるミス】グループに区別がないと勘違いして で割ること（A、B、C と名前がついています）。

(2)　 でちょうど 3 個

【型】条件は「 が連続 3 整数」。3 個が連続 3 整数の組で、残り 1 個だけが崩れている形を数える

【なぜこうするか】
条件 は 、すなわち 番目の 3 つの数が連続する 3 整数ということ。
で 4 個中 3 個が連続 3 整数のとき、残る 1 組（3 つの数）はどうなるかを考えます。全体は から 。連続 3 整数の 3 組が 個の数を使い、残り 個が「連続でない」1 組を作る。
ここで順序の制約が効きます。各グループは小さい順に並んでいるので、 番目の 3 数のかたまりは の順に並ばなければならない。したがって崩れた組の 3 数 も、前後のかたまりの間にちょうど収まる必要がある。詳しく調べると、 は連続する 3 つの自然数でなければならない——ただしその並び方が の順でないものを数えるわけです。
連続 3 整数の組は （）の 4 通り。そのうち 1 つを「崩れた組」に選び、その 3 数を A、B、C に割り振る方法は 通り、そのうち正しい順（ が連続）になる 1 通りを除くので 通り。よって

条件 は 、すなわち 番目の 3 数が連続する 3 整数であることを意味する。

、カードは から 。条件を満たす が 3 個であるとき、残り 1 つの について は連続 3 整数の形にならない。各グループが小さい順に並んでいることから、条件を満たす 3 つの の 3 数のかたまりは互いに重ならず順に並び、残る 3 数 もその隙間にちょうど入る。よって も連続する 3 つの自然数でなければならず、4 つのかたまりは

に確定する。そのうちどれを「崩れた組」にするかが 通り、その 3 数を A、B、C に割り振る方法は 通りで、そのうち が小さい順になる 1 通りだけが条件を満たしてしまうので除いて 通り。よって

通り

検算（ 通り全数列挙）。 のすべての分け方を調べ、条件を満たす の個数の分布を求めると

条件を満たす の個数
並べ方の数

ちょうど 3 個は 通り ✓（4 個は 通り＝完全に に分かれる場合のみ、というのも整合）

【定石】「」は「 が連続 3 整数」と読み替える。並び順が固定されている問題では、かたまりの位置が強く制限される——そこを突けば候補が一気に減ります。「ちょうど 個」は全体から条件を満たす場合を引くのも常套手段。

【よくあるミス】崩れた組の 3 数が「連続でなくてもよい」と考えて数えすぎること。また から を引き忘れて とすること。

(3)　ちょうど 個

【型】条件を満たす組を 、満たさない組を とし、 が 2 個。隣り合うか否かで場合分け

【なぜこうするか】
(2) と同じ考え方で、 個の「3 数のかたまり」は の形に分かれる……とは限りません。 が 2 個隣り合うと、6 個の数を自由に組み替えられるからです。ここが (2) との違い。
そこで が隣り合うかどうかで場合分けします。

[1] が隣り合う場合。 が 個、 が 1 かたまりなので、その位置は 通り。 を構成する 6 個の数は

この 6 数を A、B、C に 2 個ずつ割り振る方法は 通り。このうち少なくとも一方の で条件が成立してしまうのは 通り（前半 3 数が連続の並びになるのが 3 通り、後半が 3 通り、両方が 1 通りで包除）。よって正しい並べ方は 通り。したがってこの場合は

通り

[2] が隣り合わない場合。 が 個、 が 2 個で隣り合わない配置は 通り。それぞれの を構成する 3 数は連続 3 整数に確定し、その割り振りは 通りずつ。よって

通り

合計。

検算（全数列挙）。各 について条件を満たす がちょうど 個となる並べ方を数えると

数え上げ

すべて一致 ✓（ では の 1 通りだけで 、という構造も確認できます）

【定石】「条件を満たすかたまり」と「満たさないかたまり」を記号化して並べると見通しが立つ。崩れたかたまりが隣り合うと数の入れ替えの自由度が増える——だから隣接するか否かで場合分け。「少なくとも一方が成立」は包除原理（、6 数版なら ）。

【よくあるミス】 が隣り合う場合を「独立に 通り」としてしまうこと（6 数をまとめて考えると 通りで、 より大きい）。逆に隣り合わない場合を から数え始めること。

(4)　「 が A、 が B」がちょうど 個

【型】「A の直後に B」というペアを という 1 個の記号にまとめ、残りを として並べる

【なぜこうするか】
数字 を左から一列に並べたマスだと思います。条件の は「A のマスの右隣が B のマス」という隣接ペア。
そこでそのペアを という 2 マス分の 1 個の記号にまとめ、それ以外のマスを とすると、「 が 個ある並べ方」を数えれば済む。
が 個なら は 個で、記号の総数は 個。並べ方は 通り。
は A と B を 1 枚ずつ使うので、残りの A は 枚、B は 枚、C は 枚を に割り振る——その方法は 通り。
ただし「 が 個」と数えたものには、実際には 個以上ある配置が重複して含まれるので、ちょうど 個の数は「 個以上の数」から補正が必要です。
本問は と最大に近いので補正が軽い： は最大 個（A も B も 枚しかない）。したがって

（ちょうど 個）＝（“ 個”として数えた総数）（ちょうど 個の数）

（ 個ある配置は、そのうちどの 個を選ぶかで 重に数えられている。）

「 個」として数えた総数。 を 個、 を 個並べる。記号は全部で 個だから、その並べ方は 通り。

が A と B を 枚ずつ使うので、 個の には A が 1 枚、B が 1 枚、C が 枚入る。その割り振りは

通り

（A を入れる を 通り、B を入れる を残り 通りから選ぶ。残りはすべて C。）よって総数は

ちょうど 個の場合。同様に を 個、 を 個（すべて C）並べるので 通り。

「 個」として数えた中に、この 個の場合が 重に含まれるから、求める場合の数は

ここで だから

よって

通り

検算（全数列挙）。各 について、条件を満たす がちょうど 個となる並べ方を数えると

数え上げ

すべて一致 ✓　（ちょうど 個の場合も で 、 で 、 で 、 で と一致し、 であることも確認できます。）

【定石】「隣り合うペア」は 1 個の記号にまとめて並べる（ と ）。「ちょうど 個」は「 個を指定して数える → 重複を引く」。 個ある配置は 重に数えられます。

【よくあるミス】 への A・B・C の割り振りで、C が 枚すべて残ることを見落とすこと。また重複補正を忘れて をそのまま答えにすること（ちょうど 個の場合が 重に混入）。

の逆関数・接線・面積

分野：逆関数・微分積分　難易度：やや難　目標時間：45分

(1)　逆関数

【型】 を について解く。 から根号を消すのがポイント

【なぜこうするか】
まず定義域と値域。 だから が常に成り立ち、 はすべての実数で定義されます。また

この という驚くほど簡単な形が、この問題全体の心臓部です。 は単調増加で、値域は （ で ）。よって逆関数が全実数で存在します。
逆関数を求めるには を について解く。根号だけを片側に残して 2 乗：

がきれいに消えるのがこの形の良さ。
別ルート： より 。2 式を辺々引いて で割れば即座に ——こちらのほうがエレガントです。

より がすべての実数 で成り立つから、 の定義域は実数全体。また

だから は単調増加で、 のとき （ では ）。よって値域は実数全体で、逆関数が実数全体で定まる。

とおくと 。また

2 式を辺々引いて 。したがって

検算。、 ✓　数値でも 、（ 桁一致）✓

【定石】 型は「共役をかけると定数」 を使う。導関数は （逆双曲線関数）。この 2 つは覚えておく価値があります。

【よくあるミス】 を 2 乗するときに の確認を怠ること（実際 なので問題ありません）。また逆関数の定義域・値域を書かずに終えること。

(2)　接線

【型】（逆関数の定義）。接点の座標と傾きを で表す

【なぜこうするか】
まず——逆関数なので当然です。だから接点は 。
。
傾きは 。ここで を直接計算しないのがコツ：(1) の途中式から

辺々足して で割れば 。よって

あとは接線の式に代入して整理。 と の差が 、和が という関係を使うと、根号を一度も展開せずに済みます。

逆関数の定義より だから、接点は 、ただし

(1) の途中より 、。辺々加えて

よって接線の傾きは

したがって

検算。 ✓　傾き と が16 桁一致 ✓

【定石】——逆関数が絡む問題では、まずこれで接点の 座標が確定します。 は「共役の和」から求めると計算が劇的に楽。

【よくあるミス】接点の 座標を と誤ること（）。また を などと書き誤ること（）。

(3)　 で

【型】 の増減表。 となるのは

【なぜこうするか】
不等式の証明は差をとって増減を調べるのが基本。

は 、すなわち より。
は で最大なので、 では 、 では 。したがって は

			極大

（ は からわかります。）
このとき区間の最小値は両端のどちらかで、右端は （接点だから）。左端は

というきれいな値が効きます。そして だから正。
よって区間全体で 。「接点で 、そこが最小」という構図を増減表で示すのが答案の骨格です。

とおくと

となるのは 、すなわち （）。

は について減少するから

ここで について より かつ だから 。よって区間 における の増減は

したがって区間における の最小値は と のいずれか。ところが

よって において 、すなわち

（証明終）

検算（ 万点の走査）。区間 を 万分割して の最小値を調べると（倍精度の丸め誤差の範囲で 、しかも接点 で達成）✓　 も確認 ✓

【定石】不等式の証明は「差をとって増減表」。接線と曲線の大小は、接点で差が になることを利用する。区間の端の値の符号だけ別途確認すれば完結します。 のような「きれいな値」は問題の設計——(4) で 軸との交点として効いてきます。

【よくあるミス】 が で上に凸だから「接線は上」で済ませてしまうこと（ では下に凸なので、その議論は区間全体には使えません）。また が区間内にあることの確認（）を落とすこと。

(4)　囲まれる部分の面積

【型】3 つの交点を押さえる → 。 は部分積分（ の積分）

【なぜこうするか】
まず境界の交点を 3 つ押さえます。

• ： → （(3) で使った値）
• ： →
• と の接点：

だから、領域は3 頂点 、、 を結ぶ細長い形。よって

第 1 項は直線の下の三角形なので （底辺）（高さ） で一発：底辺 、高さ 。
第 2 項は の積分なので部分積分：

がここでも効いて、原始関数が初等的に書けるのが美しいところです。

交点。 は 、すなわち （ が必要）。両辺 2 乗して 、。また より 。 だから 。

よって囲まれる部分は、 軸（）、曲線 （）、直線 で囲まれた図形で、(3) より だから

▲ 3 頂点 、、 を結ぶ細長い領域（緑）。右端で直線 は曲線 に接しているので、そこで幅が になる。面積は と小さい。

第 1 項（直線の下の三角形）。底辺は 、高さは だから

第 2 項（部分積分）。 より

したがって、、、、、 を用いて

合計。

（ と書いても同じ。数値では 。）

検算（2 通りの独立な数値計算）。 を数値積分すると 、理論値 で小数第 15 位まで一致 ✓　さらに長方形 に 2000 万点をばらまくモンテカルロ積分でも （相対誤差 ）✓

【定石】 を含む関数の積分は部分積分：。直線の下の面積は三角形の公式で暗算できることが多い。接している側では被積分関数が 0 になるので、面積は小さくなります。

【よくあるミス】 軸との交点 と の大小を取り違えること（）。また だけを計算して、 の三角形部分を落とすこと。