帯広畜産大学 2016年度 過去問・解答

帯広畜産大学2016年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[問題1] 単位円の接線を、接点の角で表す

原点Oを中心とする半径1の円 C に、直線 L : y = ax + b（a > 0、b > 0）が点 P で接しているとします。P の座標を角 θ を使って表し、a, b を求めます。

(1) 直線OP の傾き

円の接線は、接点を通る半径に垂直です。したがって L と直線OP は垂直に交わります。

直線OP の傾きを m とすると、垂直条件（傾きの積が −1）より

a · m = −1

(2) a, b を sinθ で表す

P は原点から見て角 θ の方向にあり、円 C の半径は1なので

P(cosθ, sinθ)

直線OP の傾きは (sinθ − 0)/(cosθ − 0) = tanθ。(1) と合わせて

−1/a = tanθ = sinθ/cosθ　⇔　a = −cosθ/sinθ

a > 0 なので、sinθ と cosθ は符号が逆でなければなりません。

b を求める

P が L 上にあるので、y = ax + b に P の座標を代入します。

sinθ = (−cosθ/sinθ)·cosθ + b

b = sinθ + cos²θ/sinθ = (sin²θ + cos²θ)/sinθ = 1/sinθ

sin²θ + cos²θ = 1 のおかげで、b がこれ以上ないほど簡単な形になります。通分したら三平方の恒等式が現れるという展開は、円がらみの問題で頻出です。

符号を確定させる

b > 0 という条件から 1/sinθ > 0、すなわち sinθ > 0。

先ほど「sinθ と cosθ は符号が逆」と分かっているので cosθ < 0。したがって

cosθ = −√(1 − sin²θ)（負のほうを選ぶ）

これを a = −cosθ/sinθ に代入して

P は第2象限（cosθ < 0、sinθ > 0）にあることが分かります。図で確かめると、右上がりの接線（a > 0）が y 軸の正の部分を切る（b > 0）ためには、接点が左上になければならない — 確かに整合しています。

この年の学習ポイント

円の接線問題では、次の2つを押さえておけば大半が解けます。

(あ) 接線 ⊥ 接点を通る半径（この問題の (1)）
(い) 単位円上の点は (cosθ, sinθ) と表せる（この問題の (2)）

そして最も差がつくのが符号の決定です。この問題では

a > 0 → sinθ と cosθ が異符号
b > 0 → sinθ > 0
合わせて → cosθ < 0 → cosθ = −√(1 − sin²θ)

という2段階の推論が必要でした。与えられた条件（a > 0、b > 0）は、必ずどこかで使うために置かれている — 使い残しがないか、最後に確認する習慣をつけてください。

帯広畜産大学2016年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。