お茶の水女子大学 2003年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：2次関数の最小値を「軸の位置で場合分け」する型。平方完成して軸を見つけ、それが区間のどこにあるかだけを問う——場合分けの根拠はこれ1つです。

1. なぜその一手を選ぶのか

f(x) = x² − 2ax + a² + 1 は、前3項がそのまま (x − a)² なので f(x) = (x − a)² + 1 。軸は x = a、頂点の y は 1 と一目で分かります。

下に凸の放物線の最小値は、軸が区間の中にあれば頂点、外にあれば近いほうの端で取ります。だから場合分けは「軸 a が 3 より左か、3 以上 4 以下か、4 より右か」の3通りだけ。グラフを3枚描けば終わりで、計算はほとんど要りません。

2. 解答

1. 平方完成：f(x) = (x − a)² + 1 。軸は x = a 。
2. (i) a < 3 のとき（軸が区間の左外）：区間内では単調増加なので、最小は左端 x = 3 。f(3) = (3 − a)² + 1 。
3. (ii) 3 ≦ a ≦ 4 のとき（軸が区間内）：頂点が区間に入るので最小は頂点の値 1 。
4. (iii) a > 4 のとき（軸が区間の右外）：区間内では単調減少なので、最小は右端 x = 4 。f(4) = (4 − a)² + 1 。

答え： a < 3 のとき (3 − a)² + 1 ／ 3 ≦ a ≦ 4 のとき 1 ／ a > 4 のとき (4 − a)² + 1

3. 検算

境界で繋がるか見る：a = 3 を (i) の式に入れると (3 − 3)² + 1 = 1 で、(ii) の値と一致します。a = 4 でも同様。場合分けの答えは境界で必ず一致するので、ここがズレたら立式ミスです。この確認を省くと、不等号の向きを1つ間違えたまま提出することになります。

この型の一般化：「軸が動く・区間が固定」なら軸の位置で3分割、「軸が固定・区間が動く」なら区間の位置で3分割。最大値を聞かれたら分け方が変わる——下に凸の最大は区間の両端のうち軸から遠いほうなので、境界は区間の中点と軸の大小になり、2分割です。最小と最大で場合分けの境界が違うことを混同しないでください。第6章 関数で整理しています。