藤原進之介です。このページではお茶の水女子大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
を を用いて表せ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
お茶の水女子大学 数学 過去問｜他の年度を見る
お茶の水女子大学の数学の過去問は18年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
お茶の水女子大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 方程式・不等式
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。お茶の水女子大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は18年度、関数・グラフは18年度、微分・積分は17年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、微分・積分
(1)
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 1
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。
3 3
x, y を正数とし, l1 , l2 , l3 上に点 P1 , P2 , P3 をそれぞれ, OP1 1, OP2 x, OP3 y となるように
とる。△ P1P2 P3 が正三角形となる x, y が存在するような cos の範囲を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 1
(1)
放物線 C : y x2 6 , 直線 l : y 2 x を考える。点 P が C 上を, 点 Q が l 上をそれぞれ動くとき,
PQ の最小値を求めよ。
(2)
(1)で, PQ が最小値をとる C 上の点 P , l 上の点 Q に対し, 線分 PQ , 放物線 C , 直線 l , 及び
y 軸で囲まれた領域の面積を求めよ。
(3)
放物線 C : y x2 6 , 直線 lk : y 2kx 5 を考える。点 P が C 上を, 点 R が lk 上をそれぞれ動い
たときの PR の最小値が 1 となる k の値を求めよ。
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 1
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。
3 3
x, y を正数とし, l1 , l2 , l3 上に点 P1 , P2 , P3 をそれぞれ, OP1 1, OP2 x, OP3 y となるように
とる。△ P1P2 P3 が正三角形となる x, y が存在するような cos の範囲を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 1
(1)
放物線 C : y x2 6 , 直線 l : y 2 x を考える。点 P が C 上を, 点 Q が l 上をそれぞれ動くとき,
PQ の最小値を求めよ。
(2)
(1)で, PQ が最小値をとる C 上の点 P , l 上の点 Q に対し, 線分 PQ , 放物線 C , 直線 l , 及び
y 軸で囲まれた領域の面積を求めよ。
(3)
放物線 C : y x2 6 , 直線 lk : y 2kx 5 を考える。点 P が C 上を, 点 R が lk 上をそれぞれ動い
たときの PR の最小値が 1 となる k の値を求めよ。
問2PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、微分・積分
(1)
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 2
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。O
3 3
とは相異なる l1 , l2 , l3 上の 3 点 P1 , P2 , P3 を頂点とする正三角形が存在するような cos の範囲
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 2
(1)
放物線 C : y x2 6 , 直線 l : y 2 x を考える。点 P が C 上を, 点 Q が l 上をそれぞれ動くとき,
PQ の最小値を求めよ。
(2)
(1)で, PQ が最小値をとる C 上の点 P , l 上の点 Q に対し, 線分 PQ , 放物線 C , 直線 l , 及び
y 軸で囲まれた領域の面積を求めよ。
(3)
放物線 C : y x2 6 , 直線 lk : y 2kx 5 を考える。点 P が C 上を, 点 R が lk 上をそれぞれ動い
たときの PR の最小値が 1 となる k の値を求めよ。
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 2
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。O
3 3
とは相異なる l1 , l2 , l3 上の 3 点 P1 , P2 , P3 を頂点とする正三角形が存在するような cos の範囲
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 2
(1)
放物線 C : y x2 6 , 直線 l : y 2 x を考える。点 P が C 上を, 点 Q が l 上をそれぞれ動くとき,
PQ の最小値を求めよ。
(2)
(1)で, PQ が最小値をとる C 上の点 P , l 上の点 Q に対し, 線分 PQ , 放物線 C , 直線 l , 及び
y 軸で囲まれた領域の面積を求めよ。
(3)
放物線 C : y x2 6 , 直線 lk : y 2kx 5 を考える。点 P が C 上を, 点 R が lk 上をそれぞれ動い
たときの PR の最小値が 1 となる k の値を求めよ。
問3PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、関数・グラフ、空間図形、微分・積分
(1)
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 3
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。O
3 3
とは相異なる l1 , l2 , l3 上の 3 点 P1 , P2 , P3 を頂点とする正三角形が存在するような cos の範囲
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 3
(1)
x 0で
f t
f x
x
dt 3x 2 2 x
1 t
を満たす多項式 f x を求めよ。
(2)
x 0 で(1)で求めた f x と g x 1 3log x を考える。このとき関数 f x と g x のグラフを
かけ。
(3)
連立方程式
x0
0 ≦ y ≦1
g x ≦ y ≦ f x
を満たす領域の面積を求めよ。
(4)
(3)で求めた領域を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
1 点を獲得する確率を求めよ。
(2)
2 点を獲得する確率を求めよ。
(3)
3 点を獲得する確率を求めよ。
(4)
獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数 n の値を全て求め, そのときの期待値
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 3
l1 , l2 , l3 を座標空間の原点 O を始点とする 3 つの相異なる半直線とする。 l1 と l2 及び l1 と l3 が
2
O においてなす角は であるとし, l2 と l3 が O においてなす角を ( 0 ≦ )とする。O
3 3
とは相異なる l1 , l2 , l3 上の 3 点 P1 , P2 , P3 を頂点とする正三角形が存在するような cos の範囲
を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 3
(1)
x 0で
f t
f x
x
dt 3x 2 2 x
1 t
を満たす多項式 f x を求めよ。
(2)
x 0 で(1)で求めた f x と g x 1 3log x を考える。このとき関数 f x と g x のグラフを
かけ。
(3)
連立方程式
x0
0 ≦ y ≦1
g x ≦ y ≦ f x
を満たす領域の面積を求めよ。
(4)
(3)で求めた領域を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。
問4PDF文字抽出
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形
(1)
円板がその中心のまわりに回転した角を とするとき, P の座標は
2 sin , 2 cos
で与えられることを示せ。
(2)
点 P 2 sin , 2 cos 0 2 における曲線 C の法線と x 軸との交点を Q とする。線分
PQ の長さが最大となるような点 P を求めよ。ここで, P において接線に直交する直線を法線
という。
(3)
曲線 C と x 軸, 2 直線 x 0, x 4 で囲まれた図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の
体積を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
a, b を実数とし, a b とする。関数 f x は閉区間 a, b で連続, 開区間 a, b で少なくとも 2
回まで微分可能で, f x ≧ 0 とする。以下の問いに答えよ。
(1)
a c b とする。 y g x を点 c, f c における f x の接線とする。 a ≦ x ≦ b のとき
g x ≦ f x を示せ。
(2)
y h x を, a, f a , b, f b の 2 点を通る直線とする。 a ≦ x ≦ b のとき f x ≦ h x を
示せ。
(3)
a c b とする。
b a f c a b 2c 2 f c ≦ a f x dx ≦ f a f b b a
1 b 1
2 2
を示せ。
(4)
1
e 2
≦ 2 e cos x dx ≦ 1
2 0 4 e
を示せ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
(1)
サイコロを n 回ふって出た目の数字を 1 列に並べる。隣り合う 2 つの数がすべて異なる確率
an を求めよ。
(2)
サイコロを n 回ふって出た目の数字を円周上に並べる。隣り合う 2 つの数がすべて異なる確
率を bn とする。(1)の確率 an を bn と bn 1 を用いて表せ。
(3)
(2)の確率 bn を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
以下では, 実数を成分にもつ行列を考える。
(1)
a b
A とする。
0 d
(i)
a 0, d ≧ 0 または a ≧ 0, d 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X を 1 つ求めよ。
(ii)
a 0 または d 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X が存在するための必要十分条件を a, b, d
を用いて表せ。また, この条件が成り立つとき, X 2 A を満たす行列 X を 1 つ求めよ。
(iii)
a d 0, b 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X は存在しないことを示せ。
(2)
p q 2 0 0
B , B とする。
r s 0 0
(i)
p s 0, ps qr 0 となることを示せ。
(ii)
0 0
B のとき, X B を満たす行列 X は存在しないことを示せ。
0 0
円板がその中心のまわりに回転した角を とするとき, P の座標は
2 sin , 2 cos
で与えられることを示せ。
(2)
点 P 2 sin , 2 cos 0 2 における曲線 C の法線と x 軸との交点を Q とする。線分
PQ の長さが最大となるような点 P を求めよ。ここで, P において接線に直交する直線を法線
という。
(3)
曲線 C と x 軸, 2 直線 x 0, x 4 で囲まれた図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の
体積を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
a, b を実数とし, a b とする。関数 f x は閉区間 a, b で連続, 開区間 a, b で少なくとも 2
回まで微分可能で, f x ≧ 0 とする。以下の問いに答えよ。
(1)
a c b とする。 y g x を点 c, f c における f x の接線とする。 a ≦ x ≦ b のとき
g x ≦ f x を示せ。
(2)
y h x を, a, f a , b, f b の 2 点を通る直線とする。 a ≦ x ≦ b のとき f x ≦ h x を
示せ。
(3)
a c b とする。
b a f c a b 2c 2 f c ≦ a f x dx ≦ f a f b b a
1 b 1
2 2
を示せ。
(4)
1
e 2
≦ 2 e cos x dx ≦ 1
2 0 4 e
を示せ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
(1)
サイコロを n 回ふって出た目の数字を 1 列に並べる。隣り合う 2 つの数がすべて異なる確率
an を求めよ。
(2)
サイコロを n 回ふって出た目の数字を円周上に並べる。隣り合う 2 つの数がすべて異なる確
率を bn とする。(1)の確率 an を bn と bn 1 を用いて表せ。
(3)
(2)の確率 bn を求めよ。
2012 年度 お茶の水女子大学 数学 4
以下では, 実数を成分にもつ行列を考える。
(1)
a b
A とする。
0 d
(i)
a 0, d ≧ 0 または a ≧ 0, d 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X を 1 つ求めよ。
(ii)
a 0 または d 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X が存在するための必要十分条件を a, b, d
を用いて表せ。また, この条件が成り立つとき, X 2 A を満たす行列 X を 1 つ求めよ。
(iii)
a d 0, b 0 のとき, X 2 A を満たす行列 X は存在しないことを示せ。
(2)
p q 2 0 0
B , B とする。
r s 0 0
(i)
p s 0, ps qr 0 となることを示せ。
(ii)
0 0
B のとき, X B を満たす行列 X は存在しないことを示せ。
0 0