藤原進之介です。このページでは岡山大学2007年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (2x + 2) − x2 。これは x2 − 2x − 2 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 2x + 2 すなわち x2 − 2x − 2 = 0 。解を α, β とすると α + β = 2 、αβ = -2 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 4 + 8 = 12 。よって β − α = 2√3 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 12√12 。
答え： S = 4√3
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (2 ± 2√3) / 2 、幅は 2√3 ≒ 3.46 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 6.93 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
岡山大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
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岡山大学 数学 過去問｜他の年度を見る
岡山大学の数学の過去問は21年度ぶんを公開しています。そのうち5年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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岡山大学 2007年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2007年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、微分・積分、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。岡山大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は21年度、空間図形は21年度、図形・三角関数は20年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、微分・積分、関数・グラフ
いて表すことができる 5 桁の整数はいくつあるか。
(2) 用意されたカードをすべて用いて表すことができる 8 桁の整数はいくつあるか。
Bt y=? のグラフC 上に 2 点 A(o, o2) と B(g, BP) ELS KEL, oc <と
する。次の問いに答えよ。
(1 区分 AB とCで囲まれる部分の面積が =@ー? であることを示せ。
(2) 線分 AB の長さが一定値 7であるという条件のもとで(1) の面積が最大になる
のは, 線分 AB がx軸に平行な場合であることを示せ。また, その最大値を7を
用いて表せ。
at ome ぐM2(617一16)
をが 4 より大きい自然数であるとき, AOAoAi を、ZO = (=) , LAg = 90°
で, 面積が 1 であるような直角三角形とする。また, ヵ = 2, 3, ... , たに対して,
点 A。 を, AOAn1An が AOAn2An-1 に相似であるように定める。 ヶ = cos LO と
するとき, 次の問いに答えよ。
(1) AOAoAi, AOAiA2, ..., AOAr-iAr の面積の和ゞぐ をヶ とをを用いて表せ。
(2) 0 = 45* のときの ゞ の値と LO = 30° のときのゞ の値を比較し, どちらが大
きいか答えよ。ただし, logi 2 = 0.3010, logio 3 = 0.4771 とする。
座標平面の原点を O とし, 4点 1, 3), (-1, 3), Cl -3), 1, -3) を頂点とす
る長方形の周を 玉とする。ヵ=0, 1, 2, ... に対し, (1, 0) を出発して 以上を反
時計回りに秒速 1 で移動する点のヵ秒後の位置を P。 とし, OP, と OP。』> のなす
角度を @。 とおく。次の問いに答えよ。
(1) cos 6, cos, cosの, cos; を求めよ。
(2) すべてのヵに対して cos nex = C086, が成り立つような自然数をのうち, もっ
とも値が小さいものを求めよ。
3) が最小となるときのP, の座標をすべて求めよ。
om Qe ©M2(617—-17)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、方程式・不等式、空間図形、図形・三角関数、関数・グラフ
(2) 4 回目の対戦に A が出場する確率を求めよ。
(3) 3 回の対戦を行うとき, A が 3 人のなかで一番先に連勝を達成する確率を求
めよ。
fQ)=P-38x-bETS. KEL, a, ちは実数の定数であり, 。= 0 とする。
次の問いに答えよ。
(L) 3 次方程式 /〈*) = 0 のすべての解が区間 -1 s xs1 に含まれる実数解である
ための条件を, 。とぁに関する不等式で表せ。
(2) 座標平面上で, (1) で求めた条件を満たす点 (a, の の集合が表す領域をのと
する。かの の概形を描き, その面積を求めよ。
ms 由 ame やM3(1617一19)
方程式 =P で与えられる 座標平面上の放物線を C とする。次の問いに答
えよ。
(DA -(¢ °) とする。C 上の点 P をどのように選んでも, P を行列 4 で表さ
c
れる移動によって移した点がまたC 上の点であるとき, 4 の成分g b,c, 9が
みたす条件を求めよ。
2) 2点 Q(-1, D, ぐ,-1) をとり, Q' を通り, 線分 QQ' と直交する直線を7と
する。C 上の点P を行列お= ( ~ ) で表される移動によって移した点をP
@
とするとき, P' から Q までの距離とP' から/までの距離が等しくなるようなog
の値を求めよ。
関数 fla) = xsin4 (> 0) について, 次の問いに答えよ。
(11) x2 2 wold, (>) > 0 であることを示せ。
の bza>0, be mea,
ose- orの sb~a
が成り立つことを示せ。
= Yo M3 (617—20)