藤原進之介です。このページでは岡山大学2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 7 、|OB| = 11 、挟角 60° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 60° = 12 × 7 × 11 × √32 = 77√34 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 60° = 7 × 11 × 12 = 772 。
答え： 面積 = 77√34 、 OA · OB = 772
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 60° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 77 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
岡山大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 岡山大学 英語の対策——マーク式ゼロ、差は英作文でつく
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岡山大学 数学 過去問｜他の年度を見る
岡山大学の数学の過去問は21年度ぶんを公開しています。そのうち5年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
岡山大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 空間図形
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、空間図形、微分・積分、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。岡山大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は21年度、空間図形は21年度、図形・三角関数は20年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、空間図形、微分・積分、方程式・不等式
Q) 三角形4B の垂心は 点Cに一致することを示せ。
em ーー やM2(391一17)
実数 aj, bi, ce G@=1,2,3) は, 以下の条件 (いひ一(に) を満たすものとする。
も) S28
(4) =1.2.3 に対して器0,な=0.gz0
(は) =1.2.3 に対して a+b +e =1
(に) ata+a=bthtb=cpt+Q+ca=1
実数ぶ (= 1,2,3) を
Yr = のXi十の22 + 93ズ3。
yo = dix + box. + b3xs,
Y3 = Cx) + C2X2 + €3%3,
により定義むする。このとき次の問いに答えよ。
111 カナ用+すニカオやす5 を示せ。
Q とxn を示せ。
133) ytwy2um+ を示せ。
次の問いに答えよ。
(1) gを実数とする。x s0 において, Blox +422 <gx+18 が成り立っている
ものとする。このとき, aの取りうる値の範囲を求めよ。
Q) GC) で求めた千囲にあるgのうち, 最大のものを go とするとき, 不等式
3 44x? S agx +18
を解け。
ー 2一 ぐM2391一18)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数、微分・積分
方を列挙せよ。
Q) さいころをヵ回振って移動した後の位置をア。 とする。ア4 = Po となる目の出
方は何通りあるか。
(34 さいころを2回振ったところ, 1 回目は4の目, 2回目は3の目が出た。その
とき, SB PPPs の面積を最大にするような, 3 回目のさいころの目は何か。
理由を付けて答えよ。
2x2行列4とぢが, 条件
A#0, B#0, AB=BA=0
を満たしているとする。ただし,ひは和堆行列を表す。このとき以下の問い(111,(22) に
WAL sreaauk xs 人car
ros
X? = (p+s)X~(ps—qr)E +--+ (#)
が成り立つことを使ってもよい。ただし, 万は単位行列を表す。
Q) ある数egに対して A? = o4, BP =8 となることを示せ。
(2 (11) において=/= 1のとき、4+お=ちを示せ。
= fo ©M3(391—20)
ェを実数とし, 次の無限級数を考える。
ooo yp 2 py a
l+e-4 0 4x xty? G+ター本
1) この無限級雪が収束するようなェの範囲を求めよ。
(2 この無限級数が収束するとき,その和として得られるェの関数を fa) と書く。
ey
h(x) = f (vii) = tal
とおく。このとき, lim h@) を求めよ。
QB) 2) で求めた極限値を ゥ とするとき, tim "4 な存在するか。 理由を付け
THR LS
座標平面上に,
FQ) = Ax- Deお
で与えられる曲線 : = /ぶ) と, 直線7:ッ=gx (4は実数) を考える。このと
き, 次の問いに答えよ。
(1 と7がちょうど2個の共有点をもつためのaの条件を求めよ。もし必要であ
れば, lim fl) = 0 を使ってもよい。
Q と7が第 1象限で接するとき, CLL BLU ri CHEN MOMS
求めよ。
一: 2 = M3 (391—21)