岡山大学 2017年度 過去問・解答

岡山大学 2017年度（平成29年度）前期日程 数学の全問解説です。文系（数学I・II・A・B）が4題、理系（数学I・II・III・A・B）が4題で重複はなく、全8題20小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（3001点の走査・区間の40万点評価・80万点の走査・50万点のベクトル検証・組分けの全列挙・数式処理による積分・200万点のモンテカルロ・複素数列の実計算） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 【4】が異色です。長い条件式が実は を展開しただけだと見抜けるかどうかがすべて。(1) でそれに気づけば、(2) は「内積が 以下 ⟺ 角が鈍角以上」という図形の話に化けます。
• 【7】は「切り口が長方形」に気づけば計算が3行で終わります。四面体を で切ると長方形が現れ、しかも原点がその内部にあるので、回すと穴のない円板。半径は「長方形の角までの距離」です。
• 【1】【3】はどちらも「動くもの」の扱いが主題。【1】は接点を文字でおいて を分離、【3】は区間そのものが で動きます。「何を固定して何を動かすか」を最初に決めるのが、この年の共通のテーマです。

【1】3次曲線の接線（文系 第1問）

(1)　 のときの接線

【型】接線は接点を文字でおく。「通る点」の条件を接点の方程式に直す。

【なぜこうするか】点 は曲線上にないので、「 における接線」ではありません。接点を とおいて接線を書き、それが を通る条件を の方程式にする——これが接線の問題の基本形です。

接点を とすると、 より接線は

これが を通るので

を代入すると なので を因数にもち

の判別式は なので実数解なし。したがって だけ。

傾きは 、切片は 。

(2)　接線が3本存在する の範囲

【型】接点の方程式を （ の式）と分離し、グラフの交点の個数で見る。

【なぜこうするか】3次曲線では異なる接点は異なる接線を与えるので、「接線が3本」＝「接点の方程式が異なる3実数解をもつ」。 について解けるので、 を動かす代わりに横線 を上下させる問題に読み替えられます。

(1) と同じ計算で、接点 の条件は

とおくと 。

横線 が と異なる3点で交わる条件は、 が極小値と極大値の間にあること。

検証：(1) は3次式を因数分解して実数解が のみであることを確認。(2) は を から まで3001点に区切り、そのつど の実数解の個数を数値的に数えて「3個」となる範囲が と一致することを確かめました（境界近傍を除き不一致0件）。

【2】7で割った余り（文系 第2問）

(1)　

【型】余りが等しい ⟺ 差が7の倍数。

これは7の倍数なので、 と を7で割った余りは等しい。

（証明終）

つまり を7で割った余りは3つおきに同じ。実際 と3周期でくり返します。

(2)　

【型】(1) より周期3。指数を3で割った余りを見る。

なので (1) を672回使って

(3)　

【型】合同式で書き換える。 の逆数（）を使うと一発。

【なぜこうするか】、 より 。したがって条件は 、すなわち 。7を法とすると なので、両辺に4を掛ければ が出ます。

両辺に4を掛けると 、 なので

合同式を使わないなら、 とおいて を解きます。特殊解 から 、 と は互いに素なので は7の倍数。同じ結論です。

検証：(1) は から まで が7で割り切れることを確認。(2) は を直接計算して 。(3) は から まで条件をみたす を全部拾い、7で割った余りがすべて であることを確かめました。

【3】動く区間での2次関数の最小値（文系 第3問）

(1)　

【型】軸が区間の中にあるかを確認してから、頂点か端かを選ぶ。

のとき 、区間は 。

軸 は区間の中にあるので、最小値は頂点の値。

(2)　 の場合分け

【型】軸と区間の両方が で動く。軸が区間の左・中・右のどこにあるかで3通り。

【なぜこうするか】普通の「区間固定・軸が動く」問題と違い、ここでは区間 も軸 も同時に動きます。とはいえ比べるのは同じ3つの位置関係なので、不等式 を について解くだけです。

　　軸は

（ を整理すると 、すなわち 。もう一方も同様。）

(3)　 の最小値

【型】3つの区間それぞれで最小値を出し、最後に比べる。

（ は の中、 は の中にあるので、いずれも範囲内で取れます。）

、 なので

　 の最小値は （ のとき）

検証： を から まで801通り取り、そのつど区間 の40万点で を評価して最小値を求め、(2) の式と一致することを確認（不一致0件）。(3) は を80万点で走査して最小 （）を得ました。

【4】ベクトルと直交条件（文系 第4問）

(1)　 の証明

【型】示したい のほうを展開して、与式と見比べる。

【なぜこうするか】与えられた式は一見複雑ですが、示したい内積を を始点に書き直すと、そっくり同じ形が出てきます。「与式を変形する」より「結論を展開する」ほうが早い、という典型例です。

ここで を使うと

したがって

与式の左辺はそのまま だったわけです。仮定よりこれが なので 。（証明終）

(2)　点 の座標

【型】(1) より不等式は 。すべての で成り立つ ⟺ 最大値が 以下。

【なぜこうするか】(1) の変形をそのまま使えば、条件は「単位円板上のどんな についても が直角以上」。 を動かしていちばん厳しい場合（内積が最大になる場合）を押さえます。

第1段：最大を作る　 が入っているのは の項だけ。 のもとで

（等号は が と同じ向きの単位ベクトルのとき。これは条件をみたす なので実際に取れます。）したがって条件は

より

第2段：両辺を評価する　 なので

左辺：

右辺：

左辺 右辺なのに「左辺 右辺」でなければならない。したがってすべて等号が成り立つしかありません。

左辺の等号（）は と が同じ向きのとき。 なので

（このとき で、右辺の等号も成立しています。）

図形的な見方：(1) より条件は「単位円板上のどの についても 」。これは「 を通り に垂直な直線に対して、単位円板全体が と反対側にある」ということ。 は単位円周上なので、この直線が単位円の接線になっているとき、つまり が と同じ向きのときに限られます。一般的な解答例はこの見方で説明しています。

検証：(1) は を20万組ランダムに取り、与式の左辺と の差が 未満であること（恒等式）を確認。(2) は のとき単位円板上の30万点で最大が 以下になること、他の （たとえば ）では最大が と正になって条件を満たさないことを確かめました。

【5】組分けと確率（理系 第1問）

(1)　6人を2人ずつ3組に

【型】順に選んでから、同じ大きさの組の個数の階乗で割る。

【なぜこうするか】 は「1組目・2組目・3組目」と組に順番をつけて数えた数。組を区別しないので、3つの組の並べ方 で割ります。

通り

(2)　7人を2,2,3の3組に

【型】割るのは「同じ人数の組」の個数の階乗だけ。ここでは2人組が2つなので 。

通り

3人組は1つしかないので、そこは割りません。「何で割るか」は組の人数の重複を数えて決める、というのがこの型の要点です。

(3)　 がともに選ばれて同じ組になる確率

【型】分母は「選び方 × 分け方」。分子は が2人組か3人組かで分ける。

分母　8人から7人を選ぶのが 通り、そのそれぞれで (2) より105通り。

通り

分子　 がともに選ばれているとき、外れた1人は残り6人のうちの誰か。 が同じ組になる分け方は

合わせて25通り。外れる1人の選び方が6通りなので、分子は 通り。

検証：実際に人を区別して組分けをすべて列挙しました。(1) は15通り、(2) は105通り、(3) は840通り中150通りで と一致します。

【6】2曲線の共通接線と面積（理系 第2問）

(1)　共通接線

【型】接点を別々の文字でおき、「傾きが等しい」「切片が等しい」の2式を立てる。

【なぜこうするか】共通接線でも接点は2曲線で別々です。同じ文字にしてしまうと解けません。接点を と分けて、できあがる2本の直線が一致する条件を書きます。

の における接線は（）

の における接線は（）

この2本が同じ直線なので

1本目より 。2本目に代入して

傾きは 、切片は 。

(2)　囲まれる領域の面積

【型】2曲線の交点で区間を切る。 は上に凸なので接線より下。

【なぜこうするか】 は上に凸なので、接線 は両方の曲線より上（接点でだけ一致）。だから が上の境界で、下の境界は「2曲線のうち上にあるほう」。それが交点で入れ替わります。

と の交点は 、すなわち （）より 、交点は 。

原始関数は 、、。

数値では 。 なので、ごく細い領域です。図を見ると3本の曲線がほとんど重なって見えるのは、そのためです。

検証：(1) は接点の連立方程式を数式処理で解いて を確認。(2) は2つの定積分を厳密に計算して を得ました。

【7】四面体の回転体（理系 第3問）

(1)　 の座標

【型】辺を1つのパラメータで表し、 座標からパラメータを決める。

座標が なので 、すなわち 。

(2)　回転体の体積

【型】まず での切り口の形を確定させる。回すのはそのあと。

【なぜこうするか】 は 、 は にあるので、 では平面 が4本の辺 を切ります。4つの交点を求めれば切り口が分かります。

とおくと、(1) と同じ計算で4つの交点は

つまり切り口は原点を中心とする横 、縦 の長方形です。

原点が長方形の内部にあるので、これを 軸のまわりに回すと穴のない円板になり、半径は原点から最も遠い点、すなわち長方形の角までの距離です。

したがって断面積は 。 を戻すと

検証：(1) は で実際に辺 上の点を計算し、式と9桁一致することを確認。(2) は数式処理で厳密に積分して 、さらに200万点のモンテカルロでも と一致しました。

【8】複素数列の極限（理系 第4問）

(1)　

【型】「差」を1つの数列とみる。 とおくと条件が簡単になる。

【なぜこうするか】与えられた2式はどちらも「差 → 次の差」の関係。差を主役にすれば、 と を交互に掛けるだけの等比数列になります。

とおくと、条件は

これを合わせると より

一方

したがって

（証明終）

(2)　偶数番目・奇数番目がそれぞれ同一直線上

【型】ベクトルが「正の実数倍」でつながっていることを言えばよい。

【なぜこうするか】(1) の等式で掛かっているのは 、これは正の実数。複素数の世界で「実数倍」は「同じ向き（または逆向き）に伸縮するだけ」なので、向きが変わりません。

点 が表す点を と書くと、(1) は

ということ。 は実数なので、3点 は一直線上にあります。これが で成り立つので、 はすべて同一直線上。

奇数番目についても、まったく同じ計算で

が得られる（ の形になります）ので、同様に一直線上です。（証明終）

(3)　極限

【型】 と書いて無限等比級数。

【なぜこうするか】 は「 と を交互に掛ける」ので、2つおきに公比 。 より なので収束します。

、、そして 、（ から など）。

したがって

これは初項 、公比 の等比数列の和なので、 で

に収束します。偶数番目については で なので、同じ値に収束します。

絵で見ると：点は「 倍・ 倍」を交互にくり返しながら進むので、2本の直線の上を交互にジグザグに進みつつ、その交点に吸い込まれていく形になります。(2) の「それぞれ同一直線上」は、この2本の直線のことです。

検証： の4通りについて、漸化式から実際に数列を作りました。(1) の等式は各 で誤差 未満で成立。(2) は偶数番目・奇数番目それぞれについて がすべて実数になることを確認。(3) は400項目が と誤差 未満で一致しました。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、【1】を3001点の走査、【2】を余りの直接計算、【3】を801通り×40万点の評価と80万点の走査、【4】を20万組のベクトル検証と30万点の最大値探索、【5】を組分けの全列挙、【6】を数式処理、【7】を数式処理と200万点のモンテカルロ、【8】を複素数列の実計算で確かめました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。