藤原進之介です。このページでは大阪大学1995年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とし、 で数列を定める。
この数列が区間 の外へ出ないことを示し、固定点の近くでの振る舞いを調べよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
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問題PDFをテキストでも確認
大阪大学 1995年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
1995年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、確率・場合の数、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。大阪大学の公開PDFを年度横断で調べると、整数は22年度、微分・積分は22年度、図形・三角関数は21年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式
平成7 年度
前 期日 程
トー 8
数 = 問 題
(= 意) .
1. 問題天子及び解答用冊子は, 試験開始の合図があるまで開いてはいけない。
2. 受験番号は, 解答用紙の受験番号欄 (計 4 か所) にはっきり記入すること。
3. 問題本文は 3 ページと, 5ページにある。 脱落している場合は直ちに申し出
ること。
4. 解答用紙は 2 枚である。 解答用紙をミシン目に従って切り離すこと。
5. 解答 (途中の計算, 推論等を含む) は, 解答用紙の指定されたところに記入す
ること。
6. 問題冊子の下書き用紙及び余白は下書きに使用してもよい。
7. 解答用紙は持ち帰ってはいけない。
8. 問題冊子は持ち帰ること。
[1] xyz 空間において, 平面s = 0 上に原点を中心とする半径 1 の円があり, 点
P はこの円の周上を動く。点 P と点(0 0, 2 )を通る直線が平面xキエットァー
ー 2 と交わる点を Q とする。点 @3の<座標の最大値と最小値を求めよ。
(配点率 30 %)
| 2 | consis x に対しても, 不等式
|x? +ax?+bx+ec|s|x?|
が成り立つように, RK a, b, c を定めよ。
(配点率 35 %)
[3] maz OLL, 曲線ー* 上の0とは異なる2点をPa, a"), QCあ6
7 とする。c土ちのとき, 次の問いに答えよ。
(1) 放物線 ッニ/(z) が3点0, P,Qを通るように2次式 /(z) を定めよ。
(212 積分
foe 7で))ex
の値が 0 となるとき, 5 をで表せ。
(配点率 95 %)
前 期日 程
トー 8
数 = 問 題
(= 意) .
1. 問題天子及び解答用冊子は, 試験開始の合図があるまで開いてはいけない。
2. 受験番号は, 解答用紙の受験番号欄 (計 4 か所) にはっきり記入すること。
3. 問題本文は 3 ページと, 5ページにある。 脱落している場合は直ちに申し出
ること。
4. 解答用紙は 2 枚である。 解答用紙をミシン目に従って切り離すこと。
5. 解答 (途中の計算, 推論等を含む) は, 解答用紙の指定されたところに記入す
ること。
6. 問題冊子の下書き用紙及び余白は下書きに使用してもよい。
7. 解答用紙は持ち帰ってはいけない。
8. 問題冊子は持ち帰ること。
[1] xyz 空間において, 平面s = 0 上に原点を中心とする半径 1 の円があり, 点
P はこの円の周上を動く。点 P と点(0 0, 2 )を通る直線が平面xキエットァー
ー 2 と交わる点を Q とする。点 @3の<座標の最大値と最小値を求めよ。
(配点率 30 %)
| 2 | consis x に対しても, 不等式
|x? +ax?+bx+ec|s|x?|
が成り立つように, RK a, b, c を定めよ。
(配点率 35 %)
[3] maz OLL, 曲線ー* 上の0とは異なる2点をPa, a"), QCあ6
7 とする。c土ちのとき, 次の問いに答えよ。
(1) 放物線 ッニ/(z) が3点0, P,Qを通るように2次式 /(z) を定めよ。
(212 積分
foe 7で))ex
の値が 0 となるとき, 5 をで表せ。
(配点率 95 %)
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、指数・対数
(1) だ円 4 SRA BIBL, AC2, 0 )を点(cos 9, 2 sin 9)に移す 1 次変換を
表す行列を求めよ。
(2) だ円 4 をだ円及に移す1 次変換を/とする。 原点をOとし, 2点(2, 0),
(0, 1 )が/によって移る点をそれぞれP, Qとする。ンPOQが最小となる
ように/を選んだとき, cos POQ を求めよ。
(配点率 20 %)
[2] どのような実数 x に対しても, 不等式
lx3十gx2士5z十clSミ<|x3|
が成り立つように, Ria, 5, cを定めよ。
(配点率 20 %)
回 正の実数 に対して, /(ェ)ニologェ1 とおく。点(一 g, 0)から曲線 yニ
げ(x)に接線をひき, 接点の x BBA x, とする。 曲線ッー/(x)と x 軸と直線
ァーァ。 によって囲まれる部分の面積を S(o)で表す。
(1) So)を求めよ。
2) の最大値を求めよ。
(配点率 20 96)
[4] fx)= - PES とおき, 曲線 C:ッニア(*)を考える。一辺の長さcの
正三角形PQRは最初, 辺QRの中点Mが曲線 C上の点(0. /(0 ))に一致し
QRがのCに接し, さらにPが> > /()の範囲にあるようにおかれている。つい
で, へPQRが曲線 Cに接しながら滑ることなく右に傾いてゆく。 最初の状態
から, 点Rが初めて曲線 C上にくるまでの間, 点Pの座標が一定であるよう
i, o を定めよ。
P— P
Q ‘
ペーで7の :
で で
(配点率 20 %)
| 5 | 有人迷ヵに対して図形。 を以下のように順に定義する。まず 7 は, 3 つの
点を 2 つの長さ 1 の線分で図 1のように結んで定義する。一般に図形 7。。,は図
UT, を2つと点を1つ用意し, その点と T, の一番上の点を長さ 1 OMB CH
ぶことにより, 図2 のように定義する。たとえば 7。 は図 3 のようになる。7。
を通信回路と考える。隣接する 2 つの点を結ぶ長さ 1 の通信路が故障しているか
どうかは互いに独立でもって, その確率はすべて p であるとする。ゲ7。 の一番上
の点をO, 一番下の 2" 個の点の集合を 4。 で表す。Oから A, のどの点へも通
信できない確率をp。 とする。
(1) Pa と paei の関係式を求めよ。
(2) 1一p。kiミ2(1一p)(1 一p。)となることを示せ。
3) p> のとき, lim p。 を求めよ。
図1 :分 as Tis 図3 : 7
(配点率 20 %)
表す行列を求めよ。
(2) だ円 4 をだ円及に移す1 次変換を/とする。 原点をOとし, 2点(2, 0),
(0, 1 )が/によって移る点をそれぞれP, Qとする。ンPOQが最小となる
ように/を選んだとき, cos POQ を求めよ。
(配点率 20 %)
[2] どのような実数 x に対しても, 不等式
lx3十gx2士5z十clSミ<|x3|
が成り立つように, Ria, 5, cを定めよ。
(配点率 20 %)
回 正の実数 に対して, /(ェ)ニologェ1 とおく。点(一 g, 0)から曲線 yニ
げ(x)に接線をひき, 接点の x BBA x, とする。 曲線ッー/(x)と x 軸と直線
ァーァ。 によって囲まれる部分の面積を S(o)で表す。
(1) So)を求めよ。
2) の最大値を求めよ。
(配点率 20 96)
[4] fx)= - PES とおき, 曲線 C:ッニア(*)を考える。一辺の長さcの
正三角形PQRは最初, 辺QRの中点Mが曲線 C上の点(0. /(0 ))に一致し
QRがのCに接し, さらにPが> > /()の範囲にあるようにおかれている。つい
で, へPQRが曲線 Cに接しながら滑ることなく右に傾いてゆく。 最初の状態
から, 点Rが初めて曲線 C上にくるまでの間, 点Pの座標が一定であるよう
i, o を定めよ。
P— P
Q ‘
ペーで7の :
で で
(配点率 20 %)
| 5 | 有人迷ヵに対して図形。 を以下のように順に定義する。まず 7 は, 3 つの
点を 2 つの長さ 1 の線分で図 1のように結んで定義する。一般に図形 7。。,は図
UT, を2つと点を1つ用意し, その点と T, の一番上の点を長さ 1 OMB CH
ぶことにより, 図2 のように定義する。たとえば 7。 は図 3 のようになる。7。
を通信回路と考える。隣接する 2 つの点を結ぶ長さ 1 の通信路が故障しているか
どうかは互いに独立でもって, その確率はすべて p であるとする。ゲ7。 の一番上
の点をO, 一番下の 2" 個の点の集合を 4。 で表す。Oから A, のどの点へも通
信できない確率をp。 とする。
(1) Pa と paei の関係式を求めよ。
(2) 1一p。kiミ2(1一p)(1 一p。)となることを示せ。
3) p> のとき, lim p。 を求めよ。
図1 :分 as Tis 図3 : 7
(配点率 20 %)