大阪大学 2001年度 過去問・解答

(1) ROABE Tt) の内部との共通部分の面積 (の) を求めよ.
(2) #が0 <く#く4の範囲で動くとき, f(t) を最大にする#の値と, そのときの
最大値を求めよ.
- (配点率 30 96)
a Qe M3(457—30)

空間のベクトル デー(zr gz デー Yo ys BHR. KIEL,
どちらも零ベクトルではないとする. R=1, 2, 3に対し, 複素数
2p = xatyad (i= V— 1 は虚数単位)
を考え, WIM wy = up + vei (ug, ve は実数) を
wy =(V3 +idzy
で定める. SGC uy vg から定まるベクトル
U=(Uy, Ua, Ug), どー(pr。 Vey V9)
を考える.
(1) その大きさを7。 の大きさをs, 了 と のなす角を9(0"s<9s180')
とするときz」2十z。22 十z。2 をヶ。 8, ので表せ.
(2) x と の大ききさが等しく, 両者はたがいに垂直であるとする. このとき
u LU も大きさが等しく, たがいに垂直であることを示せ.
8) (20の仮定のもとで, ゞ と u のなす角を求めよ.
(配点率 35 96)
Se M3(457—32)

| 3 | steer ctl, 座標平面上の点
Pa (stg ©)» @(Gpo» 1)
をとり, 3M Pan Pe Q を頂点とする三角形 7 を考える. EK, BAR
数ヵに対し
Fax )=2x10-%
ERC, 曲線ッーカ() LOBARRA, 点 (0, 2) HSUELT x RE
大きくなる方向に動くとき, 三角形 7。 のうち, R が最初にその内部を通骨する
ものが 7。 となるようなヵをすべて求めよ. ただし, logy 2 = 0.3010 とする.
(配点率85 %)
aati SC cts) @M3(457—34)

(1) 次の条件
22タ8 。 かっ ぁターー
をみたす複素数 の範囲を求め, 補素数平面上に図示せよ. KEL, をはzに
FTA E TS.
2) (111)で求めた範囲を が動くとき, 絶対人 | 2 37 | ORME, BAO
値をあたえる 2 を求めよ.
(配点率 20 96)
どき ote: M4(457—38)

や)ー 4一8x2 とおく. 曲線ッー7) に点 (0, a) から接線がた
だひとっ引けるとし, しかもその接線はただ 1 点でこの偶線に接するとする. こ
のときのoの値を求めよ.
(配点率 20 %)

半径 1 の円周上に, 4ヵ個の点 P。。 Py ..., P。。-」 が, 反時計回りに等間隔
に並んでいるとする. KEL, ヵは自然数である.
(1) $Y PoP, ORAM VI 以上となるんの範囲を求めよ.
(2) 点 Po。 Pie) P。。-」のうちの相異なる 3 点を頂点に持つ三角形のうち
各辺の長さがすべて2 以上になるものの個数g(ヵ) を求めよ.
(配点率 20 %)
cmt Gi Be: M4 (457—40)

[4] 時Cc) = deos? x ~Seose +8 を者える. んを日然数とし
ーーを) (22) 4. {BE
ath) =5() Gr) +12)

とおく. ただしヵ= 2 とする.

(1) ヵを固定する. 2 ミんミ3ヵの男囲で9のx(たー 1)= の(を) となるんをすべ
て求めよ. また, んが1 ミんる3ヵの範時を動くとき, 9。(ヵ) を最小とする
ょをすべて求めよ.

(2) (1) における の。(を) の最小値を O。 とする. COL SABA

lim Ga.
ae ft 」
を求めよ.
(配点率 20 %)
oo I @M4(457—42)

[5] we (a,) において, Hla, a, = 0 をみたし。かっ Ean = pom
り立つとする. さらに各ヵに対し
by (1ーg)(1ーgの......(1ーg)
Cn =1—(a, ta, te t+a,)
とおく.
() すべてのヵに対し不等式 5。= c。 が成り立つことを, 数学的帰納法で示
せ.
2) BS nT baer Cues が成り立てば, by cy となることを示せ.
(19 5。= となるとき、c。 一 寺-であることを示せ. また6。 = + となる
数列 (o。] は全部で何種類あるかを求めよ.
(配点率 20 96)
zs amg Qi @M4(457—44)