藤原進之介です。このページでは大阪大学2002年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
すべての実数 に対して が成り立つとする。
そのような点 全体の領域を図示し、その面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
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問題PDFをテキストでも確認
大阪大学 2002年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 方程式・不等式
- 整数
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 複素数
- 関数・グラフ
この年度の出題範囲と傾向
2002年度の問題PDFでは、方程式・不等式、整数、空間図形、図形・三角関数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。大阪大学の公開PDFを年度横断で調べると、整数は22年度、微分・積分は22年度、図形・三角関数は21年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 方程式・不等式、空間図形、微分・積分、関数・グラフ、図形・三角関数
(1) 実数の定数ヵ に対して. 3次方程式 **キ*ーヵ0の実数解の個数は1個
であることを示せ.
(2) p, 7 は定数でヵ有テ2, q22EF4. 2つの3次方程式
キャーカー0, キテァーgデ0
の実数解をそれぞれg, 』 とするとき,
le-sls1p—al
が成立することを示せ.
(配点率 30%)
デー3 一 M3 (328—29)
平面上に 3 つの放物線
Ciiy=—x(e—-1), Cyティ(テー1, C ys tet tate
を考える. いま実数:に対して, C はC」上の点(一だ二りを通り, その点で
Ci と共通の接線をもつとする.
Q) a, あを7を用いて表せ.
(2) 2 つの放物線 C, C。 で囲まれた部分の面積 Bt を用いて表せ.
(3) # を動かすとき, ゞ の最小値を求めよ.
(配点率 35%)
<a iy sew M3 (328—31),
平面上に原点0 を中心とする半係1の円 」 を考える. 刀 の直径を1つと
り, その両端をA, BETS. 円 ,の周上の任意の点Qに対し, 線分QAを
1 : 2 の比に内分する点を R とする. いまをを正の定数として,
p= AQ +kBR
EBS, ただし, Q=ADESR=ALTS. EK, ON =a, OO =G
とおく.
(1) BR を @, 9 を用いて表せ.
2) KQMAK の周上を動くとき, OP =p となるような点Pがえがく図形
EKETS. は円であることを示し, 中心の位置ペクトルと半径を求め
よ.
(3) 円 。 の内部に点A が含まれるようなんの値の範囲を求めよ.
(配点率 95%)
— T= M3 (328—33)
であることを示せ.
(2) p, 7 は定数でヵ有テ2, q22EF4. 2つの3次方程式
キャーカー0, キテァーgデ0
の実数解をそれぞれg, 』 とするとき,
le-sls1p—al
が成立することを示せ.
(配点率 30%)
デー3 一 M3 (328—29)
平面上に 3 つの放物線
Ciiy=—x(e—-1), Cyティ(テー1, C ys tet tate
を考える. いま実数:に対して, C はC」上の点(一だ二りを通り, その点で
Ci と共通の接線をもつとする.
Q) a, あを7を用いて表せ.
(2) 2 つの放物線 C, C。 で囲まれた部分の面積 Bt を用いて表せ.
(3) # を動かすとき, ゞ の最小値を求めよ.
(配点率 35%)
<a iy sew M3 (328—31),
平面上に原点0 を中心とする半係1の円 」 を考える. 刀 の直径を1つと
り, その両端をA, BETS. 円 ,の周上の任意の点Qに対し, 線分QAを
1 : 2 の比に内分する点を R とする. いまをを正の定数として,
p= AQ +kBR
EBS, ただし, Q=ADESR=ALTS. EK, ON =a, OO =G
とおく.
(1) BR を @, 9 を用いて表せ.
2) KQMAK の周上を動くとき, OP =p となるような点Pがえがく図形
EKETS. は円であることを示し, 中心の位置ペクトルと半径を求め
よ.
(3) 円 。 の内部に点A が含まれるようなんの値の範囲を求めよ.
(配点率 95%)
— T= M3 (328—33)
問2画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数、図形・三角関数、複素数、空間図形
(1) 各ヶに対し z。 を求めよ.
(2) なの実部と虚部をそれぞれxy。 jsとし。 <ニーテージー:とおくとき,
無限級数の和
をそれぞれ求めよ.
(REA 20%)
as Ba やM4(328一39)
ヵ をヵ三7 をみたす整数とし, 1つのさいころを投げる試行を ヵ 回くり返す.
このとき, 2SkSn をみたす整数を に対し, 「ヵ 回の試行のうち, 同じ目が出
るどの 2 つの試行もヵ 以上離れている」という事象が起こる確率を ヵx と表す. た
EL, : 番目の試行と7番目の試行について, この 2 つの試行は7 一7| だけ上離れ
ているということにする.
(1) po の値を求めよ.
(2) RE3IDL&, pr の値を求めよ.
(3) 「ヵ 回の試行において, 同じ目が続くことはなく, しかも同じ目が出る試行
の組でちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも1 組存在する」という事象が起
こる確率を求めよ.
(配点率 20%)
ee he M4 (328—41)
平面上に原点Oを中心とする半径1の円C」 と点P(0.sing)を中心とする半
径1の円 C。がある. ただし0ぐg <> とする. AC. ox HLORMEA,
BEL, A, BEWHD yMEVARHREtNEN 4, C.ETS. 2直線2。
Lp ではさまれた領域の部分で, 円 C,の外部で円 Cz の内部であるものをの
円 Cz の外部で円 C」 の内部でちるものを。 EFS. WH, りり。 をそれぞれ
x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を (@), Pz(e) とする.
Q) Vila), Vila)— 区 (2) をそれぞれ を用いて表せ.
(2) が0ぐg <P の範陸を動く Le, Vila)— Vila) の最大値を求めよ.
(配点率 20%)
om 9一 NM4(328一43)
(2) なの実部と虚部をそれぞれxy。 jsとし。 <ニーテージー:とおくとき,
無限級数の和
をそれぞれ求めよ.
(REA 20%)
as Ba やM4(328一39)
ヵ をヵ三7 をみたす整数とし, 1つのさいころを投げる試行を ヵ 回くり返す.
このとき, 2SkSn をみたす整数を に対し, 「ヵ 回の試行のうち, 同じ目が出
るどの 2 つの試行もヵ 以上離れている」という事象が起こる確率を ヵx と表す. た
EL, : 番目の試行と7番目の試行について, この 2 つの試行は7 一7| だけ上離れ
ているということにする.
(1) po の値を求めよ.
(2) RE3IDL&, pr の値を求めよ.
(3) 「ヵ 回の試行において, 同じ目が続くことはなく, しかも同じ目が出る試行
の組でちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも1 組存在する」という事象が起
こる確率を求めよ.
(配点率 20%)
ee he M4 (328—41)
平面上に原点Oを中心とする半径1の円C」 と点P(0.sing)を中心とする半
径1の円 C。がある. ただし0ぐg <> とする. AC. ox HLORMEA,
BEL, A, BEWHD yMEVARHREtNEN 4, C.ETS. 2直線2。
Lp ではさまれた領域の部分で, 円 C,の外部で円 Cz の内部であるものをの
円 Cz の外部で円 C」 の内部でちるものを。 EFS. WH, りり。 をそれぞれ
x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を (@), Pz(e) とする.
Q) Vila), Vila)— 区 (2) をそれぞれ を用いて表せ.
(2) が0ぐg <P の範陸を動く Le, Vila)— Vila) の最大値を求めよ.
(配点率 20%)
om 9一 NM4(328一43)