大阪大学 2010年度 過去問・解答

大阪大学 2010年度（平成22年度）前期日程 数学の全問解説です。文系冊子（3題）と理系冊子（5題）が出題され、共通問題はなく全8題すべてが独立です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる全列挙・数値積分・厳密な分数計算での再検算 を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 「存在条件」を式にする問題が繰り返し出る。【1】は の実数解条件、【7】は2つの不等式を同時に満たす の存在条件。「〜が存在する」を判別式や不等式に翻訳するのが共通の骨格です。
• 誘導が短く、最後の一手が重い。【4】は(1)の を「」と読み替えて部分積分に持ち込めるか、【8】は に気づけるか——前問を「道具」に変換する力が試されます。
• 【6】は答えが正多面体5種になる名問。 を面の数、 を面の辺数、 を1頂点に集まる面の数と読むと、この等式はオイラーの多面体定理 そのものです。

【1】放物線の通過領域と面積（文系 第1問）

(1)　通過領域の図示

【型】通過領域は「そのパラメータの方程式が実数解をもつ条件」に翻訳する型。

【なぜこうするか】点 がこの放物線群のどれかの上にあるとは、「その に対して等式を満たす実数 が存在する」ということです。式を について整理すると2次方程式になるので、存在条件＝判別式が0以上。動くもの（）を主役から降ろし、止まっている を主役にする——通過領域はこの一手で機械的になります。

与式を について整理すると

（両辺を4倍して整理しました）。これが実数解 をもつ条件は、判別式を として

逆に を満たす に対しては実数 が存在し、その の放物線が を通ります。よって求める領域は放物線 およびその下側です。

検証： と を格子状に取り、判別式条件と の判定が1点も食い違わないことを確認しました。

(2)　 と で囲まれた部分の面積

【型】放物線と直線で囲む面積は 公式で一撃にする型。

【なぜこうするか】交点の 座標を実際に求めなくても、解と係数の関係から が計算できます。 を含む値を2つ書き下すより、対称式で処理するほうが速く、写し間違いも起きません。

かつ より 。 は なので、 での接線は

と の交点の 座標を とすると

解と係数の関係から 、。よって

放物線 の の係数は なので

検証：数値積分すると 。 で9桁一致しました。交点も で、差が と一致しています。

【定石】。交点を求めずに解と係数の関係で を出す。

【2】指数・対数の連立方程式（文系 第2問）

(1)　自然数解

【型】自然数解は範囲を絞ってから虱潰しにする型。

【なぜこうするか】 なので 、すなわち は の3通りしかありません。候補を3つに絞ってから調べる——これで「すべて求めた」と言い切れます。

• ： を満たす自然数 はない
• ： を満たす自然数 はない
• ： より 。第2式も で成立

(2)　他に正の実数解がないことの証明

【型】2式のうち一方で を の関数として表し、もう一方の単調性を見る型。

【なぜこうするか】第2式 は、 が増えれば も増えることを意味します（両辺とも増加）。すると第1式の左辺 は について狭義単調増加——増加する関数が という値をとるのは高々1回。あとは(1)で1つ見つけてあるので、それだけです。「解は1つ以下」＋「解を1つ発見」＝「解はちょうど1つ」という組み立てです。

第2式より 。 が増加すると が増加し、したがって も増加、すなわち も増加します。よって は の狭義単調増加関数です。

このとき第1式の左辺は

と書けますが、 も も について狭義単調増加なので も狭義単調増加。したがって を満たす は高々1つ。(1)より （このとき ）がその解なので、他に解はありません。

検証：第2式から定まる を用いて を20万点で計算したところ、すべての隣接点で増加していることを確認しました。また となるのは （このとき ）の1点だけでした。

別の書き方：解答PDFは と に分けて、それぞれで第1式と第2式から出る の範囲が重ならないことを示しています（ では第1式から 、第2式から ）。単調性でも範囲の突き合わせでも構いません。

【3】絶対値つき領域とさいころ（文系 第3問）

(1)　領域の図示

【型】絶対値つきの図形は第1象限で描いてから、軸に関して折り返す型。

【なぜこうするか】 と しか出てこないので、この図形は 軸・ 軸の両方に関して対称です。ですから の部分（このとき という普通の円）だけ描いて、あとは折り返せば終わります。

(2)　確率

【型】連続的な領域の問題を、「含まれる格子点はどれか」に落としてから数える型。

【なぜこうするか】 と は整数です。ですから領域そのものの面積は無関係で、領域に含まれる格子点だけを拾えばよい。 で両方が整数の平方の和なので、可能なのは の3通りだけ。ここまで絞れば手で数え切れます。

は 以上の整数なので と はともに平方数。和が 以下になるのは

• かつ ： かつ
• かつ ： かつ

の分布は、 となる組が 通り（）なので

したがって求める確率は

検証： 通りをすべて列挙して条件を満たすものを数えたところ、ちょうど 320通り。 と一致しました。

【4】 と定積分（理系 第1問）

(1)　 の証明

【型】2回微分して、対数をとって log の性質でばらすだけの型。

したがって

検証： の5点で と を計算し、12桁すべて一致することを確認しました。

(2)　定積分の値

【型】(1)を「」と読み替えて部分積分に持ち込む型。

【なぜこうするか】ここが本問の全てです。 は一見どうにもなりませんが、(1)の等式の両辺を の肩に乗せると 。つまり被積分関数は です。2階導関数が現れたら部分積分——しかも なので、残るのは だけ。さらに積分区間の端 で 、もう一方の端では となり、境界項が両方消えるという念の入った作りになっています。

(1)より なので

境界項は、 で 、 で なのでともに0。よって

、 なので

検証：定積分を数値計算すると 。 で12桁一致しました。

【定石】。証明問題で得た等式は、指数の形に直すと次の設問の道具になることが多い。

【5】楕円と双曲線の接線｜線分QRの最小値（理系 第2問）

線分QRの長さの最小値

【型】交点は を消去して を出す。接線は陰関数のまま両辺を微分する型。

【なぜこうするか】2曲線とも しか含まないので、 を消せば だけの式になります。実際に計算すると という、驚くほどきれいな形になる。ここが分かれば P の座標が と確定し、以降は接線を求めるだけの作業です。

から 。これを に代入して整理すると

より 、このとき 。 なので

： の両辺を で微分して より、P での傾きは 。接線の での値は

よって 。

：同様に より、P での傾きは 。 での値は

よって 。したがって

なので、相加平均・相乗平均の関係より

　（等号は すなわち のとき）

は で実現するので

の最小値は

検証： を40万点動かして QR を計算したところ、最小値 （、）。 と一致しました。各 で P が両曲線上にあることも同時に検算しています。

【定石】楕円 上の点 での接線は 。双曲線も符号を変えるだけ。覚えていなければ陰関数の微分で出る。

【6】整数｜（理系 第3問）

すべての組

【型】分数式は払ってから の形に因数分解し、有限個に絞る型。

【なぜこうするか】そのままでは3文字が絡んで手が出ません。分母を払って の部分だけを見ると という形が現れ、これは と書けます。「 型は に押し込む」のが整数問題の常套手段で、これで が4未満と分かり、 から候補が3通りに限られます。

両辺に を掛けて整理すると

より右辺は 4未満。また より は1以上の整数なので、possible な値は の3通りだけです。

検証：、 の範囲を分数のまま全探索したところ、見つかったのは上の5組ちょうどでした。

★この5組の正体： を面の数、 を1つの面の辺の数、 を1つの頂点に集まる面の数と読むと、凸多面体では 、、 なので

つまりこの等式はオイラーの多面体定理 そのものです。そして5つの解は

正多面体がちょうど5種類しかないことの証明を、整数問題の形で出題したのがこの問題です。答えが5組になった時点で「あ、正多面体だ」と気づけると気持ちがよい問題でした。

【定石】 型は に変形する。「積が定数」に持ち込めば候補は有限。

【7】球の中心の存在範囲の体積（理系 第4問）

立体 の体積

【型】「球が入る／触れない」条件は、すべて中心間の距離の不等式に翻訳する型。

【なぜこうするか】球そのものを追うのではなく、中心の位置だけを考えます。半径1の球が半径3の球の内部にあるのは、中心間の距離が 以下のとき。半径1の球が半径1の球の外部にあるのは、中心間の距離が 以上のとき。「内接なら差、外接なら和」——これで問題が「2つの球（半径2）の内側と外側」という単純な形になります。

の中心を とすると、内接しているので の中心 は から距離 の位置。 としてよい。 の中心を とすると

• (A)：　すなわち
• (B)：　すなわち

つまり は「半径2の球の内部」から「半径2の球の内部」を取り除いた立体です（2つの中心は距離2だけ離れている）。

体積は （半径2の球）−（2球の共通部分） で求まります。 での断面を考えると

• ：外側の円の半径の2乗が 、内側（除く部分）が のドーナツ
• ： なので除く部分がなく、半径の2乗 の円板

（ では となり断面が空になります。）よって

検証：400万点のモンテカルロ積分で体積を測ると 。 で、統計誤差の範囲で一致しました。なお「半径2の球 から2球の共通部分 を引く」という別ルートでも同じ値になります（共通部分は高さ1の球冠2つぶん）。

【定石】球が球に内接：中心間距離＝半径の差。外接：中心間距離＝半径の和。動く球の問題は、まず中心の軌跡・領域に翻訳する。

【8】立方体上の2動点（理系 第5問）

(1)　時刻1で P と Q が異なる頂点にある組み合わせ

【型】まず隣接関係を書き出す。それだけで終わる型。

A に隣接するのは B, D, E。C に隣接するのは B, D, G。よって 通りの移動があり、そのうち同じ頂点に移るのは と の2通り。したがって

の7通り

検証：頂点に座標を割り当てて隣接関係をプログラムで生成し、7通りであること・その内訳が上と一致することを確認しました。

(2)　

【型】「毎回同じ確率で生き残る」形に持ち込む型。

【なぜこうするか】ここが本問の勘所です。A と C は同じ面の対角線の両端という位置関係にあります。(1)で得た7通りを見ると、どの組み合わせも再び「立方体の1つの面の対角線の両端」という同じ位置関係になっています。ですから「異なる頂点にいる限り、次に一致しない確率はいつでも 」——立方体の対称性がこれを保証します。

したがって 回すべてで(1)と同様の移動が起こる確率を考えて

検証： 通りの状態をもつマルコフ連鎖を分数のまま まで回したところ、 は とすべて に一致しました。

(3)　 を で表す

【型】次の時刻の状態を、今どちらの状態だったかで場合分けして足す型（推移確率）。

【なぜこうするか】「同じ面にいる」状態から「同じ面にいる」状態へ移るのは、2人とも同じ面内で動く（2通り）か、2人とも反対の面へ動く（1通り）——9通り中3通りです。「別々の面にいる」状態からは、2人が同じ面に集まる（2通り）——9通り中2通り。この数え上げが本問の実質です。

• 時刻 で同じ面（確率 ）→ 同じ面：
• 時刻 で別々の面（確率 ）→ 同じ面：

(4)　

【型】2つの数列の連立漸化式は、和と差（または適当な1次結合）をとって等比数列にする型。

【なぜこうするか】(2)の は「異なる頂点にいる確率」なので、 が成り立ちます。これを(3)に入れれば が消え、 だけの漸化式になります。(2)は(4)のための伏線でした。

(2)より なので、(3)に代入して

これは と変形できます。 なので

したがって

検証：マルコフ連鎖を分数のまま回して を計算すると、 で 、 で 、 で 、 で と2に収束しました。また が各 で厳密に一致することも確認しています。

この「2」の意味： の項が急速に消えるので、十分時間が経つと に落ち着きます。これは「異なる頂点にいる7通りの配置」のうち、別々の面にいるものと同じ面にいるものの本来の比率に近づくということです。

【定石】連立漸化式は「和」を先に押さえる。今回のように が前問で出ていれば、それが最短ルート。

この年度で問われた「型」の一覧

• 通過領域＝パラメータの方程式が実数解をもつ条件（【1】(1)）
• 放物線と直線の面積は 、 は解と係数の関係で出す（【1】(2)）
• 「解は1つ以下」＋「解を1つ発見」＝「ちょうど1つ」（【2】(2)）
• 座標が整数値しか取らないなら、面積ではなく格子点を数える（【3】(2)）
• を に直すと次の設問の道具になる（【4】(2)）
• 2階導関数が現れたら部分積分（【4】(2)）
• 2曲線の交点は を消して を出す。接線は陰関数の微分（【5】）
• 型は に押し込んで「積が定数」へ（【6】）
• 球の内接は中心間距離＝半径の差、外接は和（【7】）
• 立方体の対称性で「毎回同じ確率」に持ち込む（【8】(2)）
• 連立漸化式は和を先に押さえる（【8】(4)）

この解説の検証について

本ページの数値は、次の3段階で確認しています。

1. 自力で解く（一般的な解答例を見る前に、当塾で独立に解答を作成）
2. プログラムによる独立検算　【1】は格子判定と数値積分、【2】は20万点での単調性チェック、【3】は 通りの全列挙、【4】は12桁の数値照合、【5】は40万点の走査、【6】は分数のままの全探索、【7】は400万点のモンテカルロ積分、【8】は 状態のマルコフ連鎖を分数のまま まで厳密計算
3. 答えの最終確認　全8題・全15小問について、答えが一致することを確認しました

3段階すべてで不一致はありませんでした。もし本文に誤りを見つけられた場合は、お問い合わせよりご指摘いただけますと幸いです。確認のうえ速やかに修正します。

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