藤原進之介です。このページでは大阪大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
すべての実数 に対して が成り立つとする。
そのような点 全体の領域を図示し、その面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
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問題PDFをテキストでも確認
大阪大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 数列
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 図形・三角関数
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、整数、確率・場合の数、空間図形、数列、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。大阪大学の公開PDFを年度横断で調べると、整数は22年度、微分・積分は22年度、図形・三角関数は21年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数
(1) f(a) 8 (a + 1)? で割り切れる確率を求めよ.
(2) BEBE y = f(x) が極大値も極小値もとる確率を求めよ.
(FLAK 30 %)
|
|
|
=~ se M3 (797-33) |
|
|
(下書き用紙)
—4— OM3(797—34)
次の 2 つの条件 (i), (ii) をみたす自然数 ヵ について考える.
(i) nr は素数ではない.
(i) l,m を1 でもでもない ? の正の約数とすると, 必ず
il-—m| <2
である.
このとき。, 以下の問いに答えよ.
(1) ヵ が偶数のとき, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(2) が7 の倍数のとき, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(3) 2 <n S 1000 の範囲で, G), Gi) をみたす pn をすべて求めよ.
(配点率 35 %)
5 味 やMI3(797一35)
(下書き用紙)
ceも一 ぐM397一36)
(2) BEBE y = f(x) が極大値も極小値もとる確率を求めよ.
(FLAK 30 %)
|
|
|
=~ se M3 (797-33) |
|
|
(下書き用紙)
—4— OM3(797—34)
次の 2 つの条件 (i), (ii) をみたす自然数 ヵ について考える.
(i) nr は素数ではない.
(i) l,m を1 でもでもない ? の正の約数とすると, 必ず
il-—m| <2
である.
このとき。, 以下の問いに答えよ.
(1) ヵ が偶数のとき, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(2) が7 の倍数のとき, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(3) 2 <n S 1000 の範囲で, G), Gi) をみたす pn をすべて求めよ.
(配点率 35 %)
5 味 やMI3(797一35)
(下書き用紙)
ceも一 ぐM397一36)
問2画像OCR
検出分野: 整数、空間図形、数列、確率・場合の数、関数・グラフ
(1) AP AC, 上を動き, AQ MC, 上を動くとき, 線分 PQ の長 ・
さの最小値を /(。) とする. fa) を c を用いて表せ.
(2) 極限値 im 7(@) を求めよ
」 (配点率 20 %)
次の 2 つの条件 (11), (ii) をみたす自然数ゎ々 について考える.
(i) n は素数ではない、. :
(i) l,m を1でもn でもない n の正の約数とすると, 必ず
\-m| $2 -
である.
このとき。, 以下の問いに答えよ.
(1) n が偶数のとき, (i), (i) ERAT nm をすべて求めよ.
(2) n B87 の倍数のとき, (i), (i) をみたす n をすべて求めよ.
(3) 2 さぁく1000 ORE, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(配点率 20 %)
、 > ー383 一 M4 (797—41)
[3] 2宅間に3点 O(0.0.0), A(1.0,1, B(0, V3, 1) がある. 平
Hz ー 0 に含まれ, 中心が O, 半径が 1 の円を WETS. 点
P が線分 0A 上を, AQ RAW の周および内部を動くとき,
OR = OP + 0Q をみたす点 R 全体がつくる立体を とおく.
同様に点 P が線分 OB 上を, 点 Q MAW の周および内部を動く
とき, OR = OB +00 をみたす点全体がつくる立体を Vp と
おく. SBE Vg と の重なり合う部分を とする. このとき,
以下の問いに答えよ.
(1) Mili 2 = cos8 (0 SOS F) による立体の切り口の面積 -
9 を用いて表せ.
(2) 立体 の体積を求めよ.
(配点率 20 %)
= Bi るM4(797一43)
5 RAK f(2) = 25 + prt + gad t rz? 二sz十(ちのの 5をは
実数) について考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) BAM £0), £1), 7(2),7(3), F(A) が等差数烈であることと。 |
f(x) = x(a — 1)(@ — 2)(n — 3)(x —4) + la +m
(, m は実数) LAV SILAEVIC MACH SC LER,
(2) f(a) は (1) の条件をみたすものとする. 0 を実数, hE 3 以上
の自然数とする. た項からなる数列
F(a), Fla+), flat+2), ... 」 flatk—-1) ・
が等差数列となるような o, の組をすべて求めよ.
(配点率 20 %)
の iim やM4(797一45)
5 ] 1個のさいころを3回続けて投げるとき, 1 回目に出る目を6
2 回目に出る目を m 3 回目に出る目をで表すことにする. こ
DLE, 以下の問いに答えよ. .
(1) AaB :
1 . _ igt+matn .
lim, —————_
6 ゃーー1 鐘十1
が存在する確率を求めよ.
(2) 関数
fla) = i? +matn
ダニ o+i
が, 2 > -1 OAC & SHERE RY L.
(配点率 20 %)
ー 9一 やM4(797一47)
さの最小値を /(。) とする. fa) を c を用いて表せ.
(2) 極限値 im 7(@) を求めよ
」 (配点率 20 %)
次の 2 つの条件 (11), (ii) をみたす自然数ゎ々 について考える.
(i) n は素数ではない、. :
(i) l,m を1でもn でもない n の正の約数とすると, 必ず
\-m| $2 -
である.
このとき。, 以下の問いに答えよ.
(1) n が偶数のとき, (i), (i) ERAT nm をすべて求めよ.
(2) n B87 の倍数のとき, (i), (i) をみたす n をすべて求めよ.
(3) 2 さぁく1000 ORE, (i), (i) をみたす ヵ をすべて求めよ.
(配点率 20 %)
、 > ー383 一 M4 (797—41)
[3] 2宅間に3点 O(0.0.0), A(1.0,1, B(0, V3, 1) がある. 平
Hz ー 0 に含まれ, 中心が O, 半径が 1 の円を WETS. 点
P が線分 0A 上を, AQ RAW の周および内部を動くとき,
OR = OP + 0Q をみたす点 R 全体がつくる立体を とおく.
同様に点 P が線分 OB 上を, 点 Q MAW の周および内部を動く
とき, OR = OB +00 をみたす点全体がつくる立体を Vp と
おく. SBE Vg と の重なり合う部分を とする. このとき,
以下の問いに答えよ.
(1) Mili 2 = cos8 (0 SOS F) による立体の切り口の面積 -
9 を用いて表せ.
(2) 立体 の体積を求めよ.
(配点率 20 %)
= Bi るM4(797一43)
5 RAK f(2) = 25 + prt + gad t rz? 二sz十(ちのの 5をは
実数) について考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) BAM £0), £1), 7(2),7(3), F(A) が等差数烈であることと。 |
f(x) = x(a — 1)(@ — 2)(n — 3)(x —4) + la +m
(, m は実数) LAV SILAEVIC MACH SC LER,
(2) f(a) は (1) の条件をみたすものとする. 0 を実数, hE 3 以上
の自然数とする. た項からなる数列
F(a), Fla+), flat+2), ... 」 flatk—-1) ・
が等差数列となるような o, の組をすべて求めよ.
(配点率 20 %)
の iim やM4(797一45)
5 ] 1個のさいころを3回続けて投げるとき, 1 回目に出る目を6
2 回目に出る目を m 3 回目に出る目をで表すことにする. こ
DLE, 以下の問いに答えよ. .
(1) AaB :
1 . _ igt+matn .
lim, —————_
6 ゃーー1 鐘十1
が存在する確率を求めよ.
(2) 関数
fla) = i? +matn
ダニ o+i
が, 2 > -1 OAC & SHERE RY L.
(配点率 20 %)
ー 9一 やM4(797一47)