大阪大学 2018年度 過去問・解答

大阪大学 2018年度（平成30年度）前期日程 数学の全問解説です。文系が3題、理系が5題で、文系第3問＝理系第4問（正八面体）が同一問題。重複を除くと全7題17小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（さいころ216通りの全列挙・空間座標での切り口の面積計算・200万分割での最大値走査・4次方程式の根の直接計算・数値積分・2ⁿ通りの全列挙） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 「前の設問を道具として使う」形が徹底しています。【4】は (1) の不等式を3回使います（単調減少の証明・下からの評価・はさみうち）。【6】も (2) の不等式が (3) で「曲線が自分と交わらない」ことの保証になります。誘導を読み違えると手が止まるタイプです。
• 【5】は「相反式」がテーマ。係数が と左右対称なので、 と が必ずペアで根になります。 と置き換えると2次×2次に分解でき、(2)(3) はその上での議論になります。
• 【3】は阪大らしい空間図形。(1) で「4点が同一平面上」を示し、(2) で最小値を出し、(3) でその条件のもとで面積を最大化する、という三段構え。切り口が四角形ではなく六角形になることに気づけるかが最大の関門です。

【1】三角関数の置き換えと3次関数（文系 第1問）

(1)　 を で表す

【型】 と は2乗すれば行き来できる。

【なぜこうするか】 なので、必要なのは です。 を2乗すると が出てきて、残りがちょうど になります。

よって で

(2)　最大値と最小値

【型】置き換えたら必ず新しい変数の変域を出す。そのうえで3次関数の増減を調べる。

【なぜこうするか】 は から までの値を「すべて」とるわけではありません。 の範囲が に限られているため、 の範囲も限られます。ここを飛ばすと答えが変わります。

第1段： の変域　三角関数の合成より

のとき なので、 の値域は 。したがって

第2段： の増減

候補は、最大が と 、最小が と 。

なので最小は です。

　最大値 、最小値

検証： を20万分割して を直接計算したところ、最大 、最小 。、 と一致しました。 の実際の範囲も であることを確認しています。

【2】さいころと定積分・対数（文系 第2問）

(1)　定積分が0になる確率

【型】積分を先に実行して の整数条件に翻訳してから数える。

【なぜこうするか】216通りを1つずつ積分するのは無理です。積分を文字のまま計算して因数分解すれば「 または 」という単純な整数条件になり、数えるだけの問題に変わります。

と分けると計算が楽です。

これが0になるのは

　または　

(i) のとき　 が6通り、 が6通りで 通り。

(ii) のとき　 で場合分けして を数えます。

合計12通り。(i) と (ii) の重なりは かつ 、つまり で6通り。したがって

通り

(2)　対数の等式が成り立つ確率

【型】底の違う対数は底をそろえてから因数分解。

【なぜこうするか】底が と の2種類あるので、底の変換公式で としてすべて底 にそろえます。すると と の2文字の式になり、因数分解できます。

と書き直して通分すると

したがって 、すなわち 、または 、すなわち 。

(ア) 　 は の5通り、 は の5通りで 通り。

(イ) 　 を満たすのは のみ。 は から の6通りで 通り。

重なりは の1通り。よって

通り

検証：216通りをすべて列挙し、(1) は積分値を実際に計算して0になる組を数えたところ42通り、(2) は等式の左辺を数値計算して1になる組が30通り。上の場合分け（36+12−6、25+6−1）とも一致しました。

【3】正八面体の切り口（文系 第3問・理系 第4問）

(1)　4点が同一平面上にあること

【型】「同一平面上」は2直線が平行（または交わる）ことを示せば十分。

【なぜこうするか】行列式やベクトルの一次結合で示す手もありますが、まず座標を書いてみると と が同じ向きだと一目で分かります。平行な2直線は必ず1つの平面を決めるので、それで証明は終わりです。

まず座標を求めます。線分ABを に内分するので

同様に

したがって

どちらも の定数倍なので 。Pの 座標は 、Rの 座標は なので2直線は一致せず、平行な相異なる2直線として1つの平面を定めます。よって4点P、Q、R、Sは同一平面上にあります。（証明終）

(2)　線分LMの長さの最小値

【型】2変数でも「和 だけの式」になれば1変数の問題。

【なぜこうするか】中点の座標を書いて差をとると、成分がすべて だけで書けてしまいます。 と が独立に効かないことに気づけば、あとは2次関数の最小です。

とおくと で

これは のとき最小で、最小値は 。したがって

大事な点：最小値をとるのは を満たす すべてです。1点に決まりません。だからこそ (3) で「そのなかで面積を最大にする を選べ」と続くわけです。

(3)　切り口の面積 の最大

【型】立体の切り口は各面と平面の交線をたどって多角形を作る。切り口は四角形とはかぎらない。

【なぜこうするか】P, Q は上半分（面ABC）にあり、R, S は下半分（面FDE）にあります。この4点を結ぶには、途中で「赤道」の辺を横切らざるをえません。実際、平面は辺CDと辺BEも切るので、切り口は六角形になります。

平面と辺BE、辺CDの交点をそれぞれT、Uとすると、切り口は六角形PQURSTです。

第1段：LMは切り口に垂直　 のとき

これと の内積は なので 。同様に です。

第2段：六角形の辺の長さ　PQ、SR、TUはすべて 方向に平行です。TUは辺BC（および辺ED）に平行で、正八面体の1辺の長さに等しく

第3段：高さを分ける　線分LMと線分TUの交点をHとします。L, M の 座標は で、TUは 上にあるので

第4段：面積　六角形は台形PQUTと台形RSTUに分かれるので

を代入すると なので

【なぜこうするか】ここまで来れば「和が一定のときの積の最大」という定番の形です。相加平均・相乗平均の関係から

等号は のときのみ。したがって

　 のとき

検証： をそれぞれ300分割して を実際に計算すると最小は （）で、 の線上で達成されました。切り口については6頂点を求めて平面内に投影し、多角形の面積を計算。 上で2万分割して走査したところ最大は での で、 と一致しました。閉じた式 も で9桁一致しています。

【4】対数の不等式と関数の値域（理系 第1問）

(1)　不等式の証明

【型】不等式の証明は差を関数とおいて微分。 で値が0になるように作るのがコツ。

左側　 とおくと で

よって は で増加し 。すなわち左側の不等式が成り立ちます。

右側　 とおくと で

【なぜこうするか】分子の の符号がすぐには見えません。 を掛けて有理化すると根号が消えます。

したがって

よって も増加し 。以上より示されました。（証明終）

(2)　 のとりうる値の範囲

【型】値域は「単調性」＋「両端の極限」で決める。

【なぜこうするか】(1) の不等式は3か所で使います。①単調減少の証明、②下からの評価、③はさみうちによる の極限。ここまで用意されているのだから、使わない手はありません。

第1段：単調減少　 とおくと

分子は の形なので因数分解できて

第1因子は正、第2因子は (1) の右側の不等式から負。よって で、 は で単調減少です。

第2段： の極限　(1) より では なので、逆数をとって（不等号の向きが逆になります）

各辺から を引くと

左辺は分子を有理化して 、右辺は整理して 。すなわち

のとき両端はともに に収束するので、はさみうちの原理より

第3段： の極限　左の評価から 。また なので

は連続かつ単調減少で、両端の極限が と 、どちらも実際にはとりません。したがって

検証：不等式 (1) を から まで20万点で確認し、反例0件。 の値は で 、 で 、 で 、 で と、確かに から へ単調に減っています（4000点で単調性を確認）。

【5】相反4次式と実数解（理系 第2問）

(1)　 と でも割り切れること

【型】係数が左右対称（相反式）なら、 が根のとき も根。

【なぜこうするか】 の係数は と前から読んでも後ろから読んでも同じです。この形の式は を満たすので、根が必ず「 と 」のペアで現れます。

第1段： かつ 　 なので 。もし なら

で （ と より）となり、すべての項が正なので 。これは に反します。よって 。

第2段： も根　、すなわち の両辺を で割ると

よって は でも割り切れます。

第3段：積で割り切れること　（つまり 、 より は起こりません）のときは、相異なる2つの根なので で割り切れます。

のときは より で

となり、 で割り切れます。以上で示されました。（証明終）

見通しのよい別の書き方： のとき で、 とおけば なので

つまり は「」と「」の2段構えになります。後者の2根は積が1なので、まさに と です。

(2)　

【型】(1) から根の形を絞り、係数と根の関係＋相加相乗。

【なぜこうするか】(1) より、実数の根は必ず というペアで現れます。すると4つの根は （）。 は根の和なので、 を2回使えば終わりです。

(1) より で も根、 で も根。定数項が1であることから残りの2根の積も1になり

と書けます。展開して の係数を比べると

なので相加平均・相乗平均の関係より

（等号は のときのみ。）（証明終）

(3)　 のときの自然数

【型】 と置き換えて、 という条件つきの2次の問題にする。

【なぜこうするか】(2) の展開式から と が だけで書けます。「実数の根をもつ」という条件が に翻訳されるのがポイントです。

(2) の因数分解を の形にまとめて展開すると

より で、。条件は かつ 、すなわち

このとき

での値域は、 で 、 で なので

この範囲の自然数は だけです。逆に のとき より となり

と4つの実数に因数分解できるので、条件をみたします。

検証： として から まで の4根を数値計算したところ、4根すべてが実数になるのは のときだけでした（ の根は ）。また の範囲（ を400分割、 を400分割）では4実数解になる組が0個で、(2) とも整合しています。

【6】媒介変数曲線と面積（理系 第3問）

(1)　 の最大値

【型】倍角公式で だけの式にそろえてから微分（または2次関数として処理）。

では なので、符号は で決まります。、すなわち の前後で正から負に変わるので、最大は

次に について。 を使うと

なので、こちらも が境目。最大は

　 の最大値 、 の最大値

偶然ではありません： と が同じ で最大になります。ここは曲線 の右上の折り返し点（尖点）にあたり、(3) の積分区間を分けるときの境目になります。

(2)　

【型】条件式を の関係に翻訳してから、示したい式を1文字にまとめる。

【なぜこうするか】 は だけの式なので、 は の関係になります。 も だけで書ける（）ので、全体が1文字の多項式の話に落ちます。

第1段：条件の翻訳　 なので は

では は狭義単調増加なので 。よって

とおくと かつ なので 。

第2段： を で表す

（ を使いました。）したがって より

展開して整理すると

より なので

（証明終）

(3)　 と直線 が囲む面積

【型】媒介変数のまま 。上側の枝と下側の枝の差をとる。

【なぜこうするか】(2) が効くのはここです。同じ を与える2つの について 、しかも では なので 。つまり曲線は自分自身と交わらず、上側の枝と下側の枝がはっきり分かれます。これで「囲む領域」がきちんと定まります。

まず となる を求めます。 なので 、すなわち 。端点は

で、どちらも直線 上にあります。また なので、曲線全体が にあります。

の部分を上側の枝 、 の部分を下側の枝 とすると

第2項の積分の向きを入れ替えると2つがつながって

被積分関数を次数の低い形に直します。

（ を使いました。） の原始関数は なので

検証：(1) は を20万分割して直接計算し、 の最大 、 の最大 を確認。(2) は を4000通りとって が厳密に成り立つことを確認（反例0件）。(3) は からグリーンの定理で面積を出す別方法で計算し、。 と一致しました。

【7】直前の勝敗で変わる確率（理系 第5問）

(1)　 試合目にAが勝つ確率

【型】「直前の結果だけで次が決まる」問題は確率漸化式。

【なぜこうするか】 試合目にAが勝つのは、 試合目にAが勝っていた（確率 ）うえで 、または 試合目にBが勝っていた（確率 ）うえで 。この2通りに尽きます。

特性方程式 を解くと （ に注意）。よって

は公比 の等比数列で、 だから

括弧の中を整理すると なので

（ を入れると で合っています。）

(2)　Bが連勝せずちょうど2勝する確率

【型】1つ1つの勝敗列の確率は「A→A が何回、A→B が何回、B→A が何回」だけで決まる。あとは並べ方を数える。

【なぜこうするか】1試合目にAが勝つ確率 は「Aが勝った直後にAが勝つ確率」と同じ、1試合目にBが勝つ確率 は「Aが勝った直後にBが勝つ確率」と同じです。つまり0試合目にAが勝っていたと思ってよい。そう考えると、勝敗列の確率は「移り変わりの種類と回数」だけで決まります。

Bの2勝が隣り合わないので、Bの勝ちは必ず「ABA」または末尾の「AB」の形になります。末尾かどうかで場合分けします（0試合目のAを補って考えます）。

(i) 2回目のBの勝ちが 試合目でない場合　Bの勝ちは2か所とも「A→B→A」の形になるので、移り変わりの内訳は

が2回、 が2回、 が 回

確率はどの並びでも 。並べ方は、Bの勝つ試合を とすると かつ なので

通り

(ii) 2回目のBの勝ちが 試合目の場合　最後の「B→A」がないので

が2回、 が1回、 が 回

確率は 。もう一方のBの勝ちは の 通り。

以上を合わせて

小さい での確認： のとき第1項は0になり 。これは「BAB」の1通りだけで、確率 と一致します。 のときは で、ABAB・BABA・BAAB の3通りを足したものと一致します。

検証： を の5通りとり、 通りの勝敗列をすべて列挙して確率を足し上げました。、 とも上の式と9桁一致しています。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、【1】を20万分割での走査、【2】をさいころ216通りの全列挙、【3】を空間座標から切り口の6頂点を求めての面積計算と2万分割の走査、【4】を20万点での不等式チェックと単調性の確認、【5】を4次方程式の根の直接計算、【6】をグリーンの定理による別法の数値積分、【7】を 通りの勝敗列の全列挙で確かめました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

【5】(1) について、一般的な解答例は を と変形して を導いています。本ページは「 ならすべての項が正になって矛盾」という形にしました（結論は同じです）。また による見通しを補足として添えています。【6】(3) は一般的な解答例と同じ の道筋にそろえ、検算にグリーンの定理を使いました。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。