大阪大学 2019年度 過去問・解答

大阪大学 2019年度（平成31年度）前期日程 数学の全問解説です。文系（法・経済・人間科学・外国語・文）が3題、理系（理・医・歯・薬・工・基礎工）が5題で、文系第3問と理系第5問が同一問題のため、重複を除くと全7題19小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる数値検算（領域の全面走査・数値積分・複素数の直接計算・分数の厳密計算・mpmath 120桁での極限追跡） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 理系第4問は「4問すべてが証明」という、阪大でも珍しい構成。扱っているのはCalkin–Wilfの木と呼ばれる有名な樹形図で、(1)〜(3) はユークリッドの互除法をさかのぼるという一本の道具ですべて片づきます。逆に、その視点が立たないと3問まとめて落とします。
• 文系第3問（＝理系第5問）は「共通部分がCとなる球面をすべて求める」型。球面束 を知っていれば機械的ですが、知らなくても「中心は円Cの軸の上にしかありえない」と気づけば同じ答えに届きます。本ページでは両方の道筋を載せました。
• 理系第1問は誘導が非常に親切。(1) で作った関数の単調性が、そのまま (2) の左側の不等式になり、(2) が (3) のはさみうちの材料になります。「前問の結果を次で使う」以外のことを一切していないので、誘導に乗り切れるかだけが問われています。

【1】三角不等式の表す領域と最大最小（文系 第1問）

(1)　領域 の図示

【型】 と の1次式は合成して1つの にまとめる型。

【なぜこうするか】不等式に と が両方あると、そのままでは解けません。合成すれば （定数） という形になり、あとは「 がある値以上になる角の範囲」を読むだけの問題に変わります。
もう一つ大事なのは、 と が の形でしか現れないことです。だから を1つの文字と見れば、答えは「 がある範囲にある」という帯になります。

なので、与えられた不等式は

ここで角の動く範囲を必ず確認します。、 より なので

この範囲で となるのは だけです。したがって

は正方形 を、2本の平行な直線 、 で切り取った帯状の六角形（境界を含む）です。

(2)　 の最大値と最小値

【型】領域上の1次式の最大最小は、 を「傾き の直線群」と見て、 切片 が最大・最小になる位置を探す型（線形計画法）。

【なぜこうするか】 は 、つまり傾きが で固定された平行な直線の束です。 を動かすと直線が平行移動するので、直線が領域に触れる限界の位置を見つければ最大最小が決まります。領域の境界の傾きは （斜めの2辺）、、 しかなく、 はそのどれとも一致しないので、最大最小は必ず頂点で起こります。

の頂点は

の6個です。それぞれで を計算します。

最大値 （点 ）、最小値 （点 ）

頂点を数えずに済ませる見方　 とおくと です。 の範囲は 、 の範囲は なので、両方を同時に最大（最小）にできればそれが答えです。
最大は かつ 。このとき で確かに を満たすので実現でき、。
最小は かつ 。このとき で実現でき、。

検証：正方形 を に分割して不等式を満たす格子点をすべて調べたところ、 の実測範囲は （理論値 、差は格子の粗さ分）。 の実測最大は （点 付近）で 、実測最小は （点 ）で と一致しました。

【2】絶対値を含む2次方程式（文系 第2問）

(1)　実数解をもつことの証明

【型】絶対値が2種類あるときは、中身が0になる点で数直線を区切って場合分けする型。

【なぜこうするか】 は 、 は で符号が切り替わります。だから区切りは と の2か所、場合は3通りです。ここを機械的に処理できるかがこの問題のほぼすべてで、絶対値を外した後は普通の2次方程式に戻るので、あとは判別式を見るだけです。

係数を とおきます。判別式は 。

(i) のとき　、 なので

(ii) のとき　、 なので

(iii) のとき　、 なので

いずれの場合も なので、この2次方程式は の値によらず実数解をもちます。（証明終）

因数分解して見ておくと安心です。(i) では より解は 。(ii) では より解は 。(iii) では より解は 。3通りとも解が明示的に書けるので、(2) はこれを使うのが最短です。

(2)　 となる の範囲

【型】条件は2つ（「異なる2解」＝ 、「」）。場合分けを引き継いだまま、両方を同時に満たす を各区間で求めて最後に合併する型。

【なぜこうするか】(1) で3通りの解が具体的に出ているので、 も3通りそのまま書けます。解と係数の関係を使ってもよいのですが、解が見えているならそちらのほうが速くて誤りにくいです。

(i) 　解は 。 より2解は必ず異なります。

と合わせて　

(ii) 　解は 。異なる2解であるためには 、すなわち 。

合わせて　

(iii) 　解は 。異なる2解であるためには 、すなわち 。

は かつ を満たすので適します。

以上を合併して

検証： を から まで 刻みで走査し、判別式が負になる は1つもないことを確認（(1) の裏づけ）。さらに かつ となる区間は と1点 で、境界の では （重解）、 でも となることを個別に確認しました。

【3】2つの球面の共通部分（文系 第3問・理系 第5問）

まず がどんな円かを確定させます。2式を辺々引くと2次の項が消えて、 を含む平面が出ます。

の中心 から平面 までの距離は

なので と は確かに交わり、 はその交円です。半径は三平方の定理から

の中心 は、 から に下ろした垂線の足です。 の法線ベクトルは 、単位化して なので

(1)　半径が最小となる球面

【型】「ある円 を通る球面」は、中心が の中心を通り の乗る平面に垂直な直線（＝ の軸）の上にしかないという型。

【なぜこうするか】球面の中心を とすると、 上のすべての点が から等距離です。「円周上の点から等距離にある点の集合」＝円の軸なので、 は軸の上にあるしかありません。これで3変数の探索が1変数（軸に沿った位置 ）に落ちます。

から軸に沿って だけ離れた点を中心にすると、三平方の定理より半径 は

これは のとき最小です。つまり中心が そのもの、 を大円にもつ球面が答えです。

(2)　半径が となる球面

【型】(1) で作った に値を代入して を解く型。 が の2つ出るので、答えも2つになります。

軸方向の単位ベクトルは なので、中心は

すなわち と 。したがって

別解（球面束）　 の左辺を 、 の左辺を として

　（ は実数、）

を考えると、 上の点では なのでこの式を満たします。つまりこの1本の式が「 を通る球面」をすべて表しているのです。整理すると中心は 、半径の2乗は となり、 で (1) の答え、 で (2) の2つの答えが得られます。（ のときは平面 そのものになります。）

検証：円 の上に5点を実際に取り（中心 から法線に直交する2本の単位ベクトルを作って半径 で生成）、その5点が 、、および求めた3つの球面のすべての方程式を 以内で満たすことを確認しました。また、求めた各球面と の差を取ると、いずれも同じ平面 に一致することを確認しています（＝共通部分が確かに と同じ）。

【4】積分で定義された関数と極限（理系 第1問）

(1)　 が単調減少であること

【型】積分の下端に変数があるときは 。符号を落とさないことが第一。

【なぜこうするか】 の原始関数は初等関数で書けません。書けないものを書こうとせず、微分だけして符号を見る——これがこの手の問題の唯一の道です。引かれている は、微分したときに余計な項がきれいに消えるように仕組まれた「仕掛け」です。

第1項の微分は 。第2項は積の微分で

でくくって通分すると

したがって

分子は と、きれいに定数になります。

よって はすべての実数 で単調に減少します。（証明終）

検証： として を数値積分で計算し、 での値がすべて減少列になることを確認（）。また を差分で近似したところ、 のいずれでも上の式と9桁一致しました。

(2)　不等式の証明

【型】左側は(1) の単調性をそのまま使う、右側は被積分関数を定数で上から押さえるという、別々の型を1つずつ。

【なぜこうするか】左側の不等式に現れる と は、まさに (1) の の第2項の形です。「 を書き下すと目的の式になる」——それが (1) を先に置いた理由です。

左側の不等式。(1) より は単調減少なので、 から 。 の定義（上端は のまま）を代入すると

右辺の積分は 0 なので、移項して

右側の不等式。 は で単調減少なので、 では 。両辺を から まで積分して

以上より与えられた不等式が成り立ちます。（証明終）

検証： の5組で3つの値を数値計算し、すべて左 中央 右となることを確認しました（例： で ）。

(3)　極限

【型】(2) の形に合わせるために置換して を積分区間へ追い出す型。そのあとははさみうち。

【なぜこうするか】(2) の不等式は の形にしか使えません。 の指数には がついているので、 と置いて を区間の端に移すと、そのまま (2) が使える形になります。

とおくと 、 のとき なので

(2) で とすると、 より

全体を で割ると

左辺が正であることを確かめます。左辺を でくくると

ここで のとき かつ なので、括弧の中は より大きく より小さい値です。よって左辺は正で、①の各辺の対数が取れます。

左辺の3つの項の極限を見ます。第1項は与えられたヒントより 。第3項は、括弧の中が に収束するので となり、それを で割るので 。したがって左辺は に収束します。

はさみうちの原理より

検証：倍精度では が 付近でアンダーフローして 0 になるため、mpmath で120桁に精度を上げて計算しました。 は で 、 で 、 で と に収束します。また①の左辺が から まで常に正であることも確認しました。

【5】複素数の3項間漸化式とさいころ（理系 第2問）

3問すべての土台になる変形を先に作ります。漸化式の両辺から を引くと

つまり差の列 は公比 の等比数列です。初項は なので

これを から順に足し上げると

この式の意味： なので、点は長さ1の線分を、毎回同じ角度だけ向きを変えながらつないで進むことになります。これが (1) の図形が正多角形になる理由です。

(1)　 のときの図形

【型】差の列が等比なら、「同じ長さの線分を一定角ずつ回して継ぎ足す」＝正多角形と読む型。

【なぜこうするか】座標を1個ずつ計算しても答えは出ますが、回転角が （＝ 回転）だと分かれば、6回で1周して閉じることが計算前に見えます。何角形になるかを先に見抜くのがこの設問の狙いです。

のとき なので

したがって は長さ1で、偏角が毎回 （＝ ）ずつ増えるベクトルです。6回で 、つまりちょうど1周するので となり、図形は閉じます。

実際に足していくと

6つの頂点はすべて点 から距離 1 にあり、辺の長さもすべて 1 です。つまり

1辺の長さ の正六角形（中心 ）

検証：漸化式から から を直接計算したところ、6辺の長さがすべて 、6頂点から重心 までの距離もすべて 、 が 以内で成立することを確認しました。

(2)　 のときの

【型】等比数列の和は公式で一気に飛ばす型。63項を書き出す必要はありません。

なので 。よって で

で なので 。したがって

周期で見る別解： は の周期4で、1周期の和は 。 なので、15周期分は消えて残るのは最初の3項 です。

(3)　 となる確率

【型】「等比数列の和が 0」は （公比）の（項数）乗が 、かつ 公比 に言い換える型。

【なぜこうするか】和の公式 が使えるのは のときだけです。分子が 0 になる条件と、公式が使える条件（）をセットで扱うのが要点で、 のときは和が 63 になるので 0 にはなりません。

とおくと 。

• （つまり ）のとき：。
• のとき： なので 。

（）と書くと、ド・モアブルの定理より なので

⟺ が偶数 ⟺ が奇数

（ は奇数なので、 が偶数であることと が奇数であることは同じです。）同様に

⟺ が偶数 ⟺ が奇数

したがって求める条件は

が奇数、かつ が奇数でない

に対し 。 を表にして、値が奇数の整数になるものを探します。

太字が「奇数の整数」になるところです。ここで の行の には が現れますが、そのとき が奇数なので となり除外されます。残るのは

の7組。全事象は 通りなので

求める確率

検証：36通りすべてについて漸化式を まで直接回して を計算したところ、 未満になったのはちょうど上の7組でした。

【6】 の動く領域と回転体（理系 第3問）

(1)　 が の点かどうか

【型】「和と積が与えられた2数が実数か」は2次方程式の解と係数の関係に持ち込み、判別式を見る型。

【なぜこうするか】 ということは、 は2次方程式 の2解だということです。 が実数であるためには、この方程式が実数解をもつ必要があります。ここを押さえないと、条件 だけを見て誤判定します。

とすると、 は の2解。判別式は

なので は実数になりません。

は の点ではない

なお は満たしています。「 を満たすから の点」と早合点しないことが、この設問がわざわざ最初に置かれている理由です。

(2)　領域 の図示

【型】「 が実数で動くときの の存在範囲」は、 を消去して だけの条件2本にする型。「実数解をもつ」という条件を必ず1本入れるのが肝心です。

とおきます。条件は次の2つです。

• が実数： が実数解をもつので 、すなわち
• ： より 、すなわち

逆に、この2条件を満たす に対して の2解を とすれば、実際に は実数で を満たします。したがって

2つの放物線が交わるのは 、すなわち から （このとき ）。 では下の放物線が上の放物線を追い越すので、 の範囲は自動的に に限られます。

検証： を の 格子で走査し、 を満たすものの像 がすべて上の2条件を満たすことを確認しました。逆に、領域内の点を格子状に取ってそこから を復元したところ、すべて実数かつ を満たしました（両向きの包含を確認）。

(3)　 軸のまわりの回転体の体積

【型】回転体の断面は、「その での の動く区間が 軸をまたぐかどうか」で円板か円環かに分かれる型。

【なぜこうするか】回転して現れるのは の値です。区間 が を含むなら は から始まるので穴のない円板、含まないならドーナツ状の円環になります。ここを機械的に「外側²−内側²」で処理すると、 軸をまたぐ区間で誤ります。

、 とおきます。 となるのは です。また は 軸に関して対称なので、 の分を2倍します。

まず、どちらが遠いかを比べます。 と の大小は

なので、 では 、 では です。まとめると断面積 は

したがって

3本目の積分は、2本目を まで一気に伸ばした分から、 以降で余分に数えた内側の円 を引くための項です。

原始関数は より 、および より です。

各項を計算します（、 を使います）。

• 第1項：
• 第2項：
• 第3項：

これを代入して

数値では です。

検証：断面積 （円板か円環かを ごとに判定するプログラム）を から までシンプソン法で30万分割して積分し2倍したところ 。上の閉じた式の値 と の差で一致しました。

【7】既約分数の樹形図（理系 第4問）

(1)　すべて既約分数であること

【型】「規則で作られたものが性質Pをもつ」は段数についての数学的帰納法。

【なぜこうするか】子は親から作られるので、「親が既約なら子も既約」さえ言えれば、根が既約であることと合わせて全体に伝わります。そして「親が既約なら子も既約」は、ユークリッドの互除法の原理そのものです。

の最大公約数を と書きます。互除法の原理より

が成り立ちます（ から を引けば に戻るので、公約数の集合が変わらないため）。

[I]　1段目は で なので既約。

[II]　 段目のすべてが既約と仮定し、その1つを （）とすると、その子は

でどちらも既約。よって 段目もすべて既約です。

[I], [II] より、樹形図に現れる分数はすべて既約分数です。（証明終）

(2)　すべての正の有理数が現れること

【型】「必ず現れる」は逆向きにたどって根に到達することを示す型（無限降下法）。

【なぜこうするか】根から下へ探すと候補が 個に増えて手に負えません。目標の分数から親をたどれば道は1本しかなく、しかも1回さかのぼるごとに分子と分母の和が確実に小さくなるので、有限回で根に着きます。「増える向きではなく、減る向きに動く」のが定石です。

正の有理数を既約な形 （ は互いに素な自然数）で表します。配置の規則を逆に読むと、 の親は次のように一意に決まります。

• のとき： は左下の子なので、親は
• のとき： は右下の子なので、親は
• のとき： より 、つまり根 そのもの

親をとるたびに は真に減り（ または ）、しかも互除法の原理から親も既約のままです。自然数は無限に減り続けられないので、有限回で すなわち に到達します。

その道筋を逆にたどれば、根 から に至る配置が実際に存在します。よってすべての正の有理数が現れます。（証明終）

互除法との関係： のとき親を取る操作は「 から を引く」ことなので、これを繰り返すのは引き算版のユークリッドの互除法そのものです。 なので、最後は必ず と に行き着きます。

(3)　現れる有理数がすべて異なること

【型】「重複しない」は「値だけから位置が復元できる」ことを示す型。

【なぜこうするか】(2) で見たとおり、 の親は値だけで決まります（ と の大小を比べるだけ）。ということは、値が同じなら親も同じ、その親も同じ……と根までの道筋がまるごと一致してしまいます。道筋が同じなら位置も同じなので、異なる位置に同じ値は現れません。

異なる2つの位置に同じ有理数 （既約）が現れたと仮定します。

(2) の議論より、 から親をたどる操作は値のみによって一意に定まります。よって2つの位置から根までたどった道筋は、段数も左右の別も完全に同じものになります。根 から「左・右」の指示に従って降りれば配置される場所はただ1つに決まるので、2つの位置は同じ位置だったことになり、仮定に矛盾します。

よって樹形図に現れる有理数はすべて異なります。（証明終）

(1)〜(3) を合わせると、この樹形図は正の有理数全体を過不足なく1列に並べていることになります。これは Calkin–Wilf の木として知られる有名な構成で、「正の有理数は自然数と同じだけしかない」（可算である）ことの美しい証明になっています。

(4)　 の位置

【型】(2) の親をたどる操作をそのまま実行する型。段数は「たどった回数 」、左からの番号は左を 、右を とする2進数で読む。

【なぜこうするか】 段目には 個が並び、根から「左・右」を選ぶたびに区間が半分ずつに分かれます。これは2進法そのものなので、経路を の列と見て2進数に直し、 すれば左からの番号になります。

は素数で なので は既約です。親をたどります。

根から10回たどったので、 は11段目にあります。経路を左から順に読んだ2進数は

左からの番号はこれに 1 を足して

上から 段目の、左から 番目

問題文の例で確認： は なので親は 、さらに なので親は 。経路は「右・右」＝ なので3段目の左から4番目。問題文の記述と一致します。

検証：樹形図を12段目（4095個）まで分数型（Python の Fraction）で厳密に展開し、(1) すべて既約、(3) 4095個すべて相異なる、を確認しました。そのうえで を探索したところ、確かに11段目の左から29番目に1つだけ存在しました。 も3段目の左から4番目に見つかり、問題文の例と一致します。

解法の「型」の一覧

この年度で使った考え方を並べます。どれも大阪大学に限らず、そのまま他大学の問題に持ち込めます。

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、領域 の 格子全走査／判別式を 刻みで全走査／円 上の点を生成しての球面方程式の代入／数値積分（シンプソン法・30万分割）／複素数の漸化式を まで36通り直接計算／樹形図を4095個まで Fraction で厳密展開／mpmath 120桁での極限追跡を行いました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

【3】について、一般的な解答例は球面束 を用いる解法です。本ページでは「中心は円の軸の上にしかない」という幾何的な見方を主にし、球面束を別解として併記しました。答えは同じです。

【6】(3) について、一般的な解答例は 、当塾の計算は で、同じ値です（）。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。