立教大学 2011年度 過去問・解答

2011年度
と
D 数 学 問 題
注 意

1 . 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません.

2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの時鉛筆・消しゴゐをれた人は監督に申し出てください.
{万年筆・ポールベン・サインペンなどを使用してはいけません.)

3 . この問題前子は8ページまでとなっています., 試験開始後, ただちにページ雪を確
認してください、なお, 問題番号は1 一和となっています.

4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので. 出席票の受験番号が, あな
たの受験革の番号であるかどうかを確認し, 山訂票の氏名竹に氏名のみみを記入して
ください. なお, MMR MEXR ASC ERO,

5. 解答は解答用交の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.

6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してくだきい.

7. 計算には, この問題司子の余白部分を使ってください.

8 . この周題氏子は持ち帰ってください.

ー D&I 一

I ・ 次の空欄アーソに当てはまる数または式を記入せよ. AAO TEM A

&

G) が0<z<1と2オー3 emeves, 2 の値は|アー] である.

(i) RGR toss (EF2) + logs (x ~ 4) <2 の解はトイ )<2<[ 3] tHe.

(ii) 3 sin@-cos@ >) (—x <0 <x) を満たす の の範囲は,
く9く である.

(iv) 3次方程式 *%十32一 24ヶーg=0 が, 異なる3つの実数解をもつような定数
a の値の範囲は, | カ | <Z<[ キ | である.

(v) o> fist- lee の値は|テー] cas.

(vi) 2次不等式 zz?-4z+5く0の解がー3く<ヶく5であるとき,定数々ヶは
Le] であり, 定数りは| コ ] である.

(il) 2つのベクタクトルな=テ(2.一1,1) と5)ニー(テー2.ーテ, 4) のなす角が30"の
とき, x の値は| サ | CHS.

(ii) 点(z,ヶ) が直線 2z + By =A の上を動くとする. 448) が最小値をとると
き, x,y の値はテー シ 1,ッー[| ス | でぁる.

(ix) 三角形ABCのAにおける角度は 45' 、Cにおける角度は75* , 辺ACの長さが6で
あるとき, 辺BCの長きは| セ | である.

(x) 0, 1. 2, 3の数字から選んで4桁の自然数を作るとき。 同じ数字を何回用いても
よいとすると, 2 の倍数でない自然数は 「 ソ | 個できる.

ー D数2 一

— D&3 一

・ 62.ひはgキを満たす定数とする. 座標平面上に放物線 By =e +axr+b T
与をられ, 放物線 C By =a? + ox ta で与えちられている. C LOMP(O, 6) で
の の接線は, CG 上の点Q@で CG に接しているとする. このとき, 次の間( i)一(ゞ)
に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.

C1) 4とちの間に成り立つ関係式を求めよ.
(i) QDMA a を用いて表せ.
Gi) と の の交点Rの座標を ヶ を用いて表せ.
(iv) 放物線 で と線分PQで囲まれる図形の面積Aを求めよ、
・ (y) 線分PQ上に点Sを三角形PRSの面積が(iv )で求めた面積Aと一致するようにとる、
SO x 座擦を求めよ.
ー DRA 一

— DRS 一

I. we fa.) はのようた定められている。初項 qa =0 CHD, すべての自然数 y に
対して
a
a= a tt EDTM
が成り立つ、このとき, 次の問(1)一(iy)に答えよ. MER EARO MEM RAL SL.
(i) a. a を求めよ.
Gi) <を定数として AC 1) (ate) EBS. 151 が等差数別になるためには
c をどのように定めればよいか. c の値を求めよ、
(iit) 数列 {ajの一般項を n を用いて表せ.
(iv) 数列 {a,} の第 2z METO2ROM S, = a2 + aZ+-- + ay? を求めよ。
— DRE 一

{以下余白】
— DRT 一

(1)α ,b,ε をそれぞれ p,′ の式 として表 せ .

(五 )ε を α,bの 式 として表せ .

(■ )夕 ,′ グ,′′ 2を 適当に並びかえると等差数列 になるとす る このとき ′′の値 を求め

よ.

(iv)(■ )の 場合 で ,さ らに ι=2ク であるとき α,b,rの 値 をそれぞれ求 めよ .

― R数 4‐

― R数 5‐

III . 関数 ノ=― ′′2+2′′ +2の グ ラフに点 A(0,α )か ら 2本 の 異 な る接線 が 引 け る と

き,次 の 問 (i)〜 (市 )に 答 えよ.解 答 は解答用紙 の所定欄 に記入せ よ

(i)点 Aの y座 標 α が満 たす条件 を求めよ .

(1)点 Aを 通 る 2本 の接線 の式 と接点 の座標 を α を用 いて表 せ

(■ )2本 の接線 が直交す るときの α の値 を求めよ .

(市 )点 Aを 通 る 2本 の接線 と放物線 で囲 まれ る図形 を 夕軸 で 2つ に分割 したと き,右側

■)で 求めた αの値に対 して Sの 面積を求めよ
の図形の面積を Sと する 〈

― R数 6‐

以下余白】
【

― R数 7‐

■

― R数 8‐

2011年度
さら
U 数 学 問 題
注 意

1. 試験開始の指示があるまでこの問題殺子を開いてはいけません、

2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒錯筆・消しゴムを訟れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.}

3. この賠題司子は8ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は』 一赴となっています.

4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので、 出聞票の受松番号が、あな
たの受験率の番号であるかどうかを確認し, 出席昧の氏名欄に氏名のみみを記入して
ください、なお, MMU OMS reed Sts,

5. 解答は解答用紙の指定された鮮答開に記人し, その他の部分には何も壮いてはいけ
ません.

6 . 解答用紙を折り曲げたり, Bok), 傷つけたりしないように注意してください.

7. 計算には. この賠題虹子の余白部分を使ってでください.

8. この問題農子は持ち帰ってくだきい.

日
= URL 一

LL の空欄アーセに当てはまる数を記入せよ。 MEERA RIO MPMI AL,

(i) (241) 0 a の係数は「 ア | でぁる.

(i) 中心を0とする円の円周上に異なる2点4, Bがあり, AB=3 とするとき, AB
と AO owes, | イ | であぁる.

Ci) リッテッ5十婦す9 (980) のグラフが点 (1 , 1 ) を通り, x 軸に接するとき,
p= .g= Ce] でぁぁ.

(iv) 120 人の学生の通学手段について調査したところ, 電車を利用する学生が BA,
バスを利用する学生が 48 人電車もパスる利用しない学生が 28 人であった. 電車と
パスの両方を利用する学生は | オ | 人である.

(い) AB.C、D,E、ドの6枚のカードをよくきって, 6枚を1列に並べるとき,
AとBが陸り合う確率は | カ | CHS.

(i) 2次方得式 @ー4>ー2ー0 OE a, BETS. + と £ を解とする
2 次方得式を y? pr tq =O とするとき.ヵカー[| キ |.2=| ク | である.

(ii) FAK log, ¥r — log, det +8 = 0 OME ex = ヶ |である.

Gil) 2tal=7 のとき, xtキッキは| コ | である. ただし,ェッ> 0 とする.

(ix) 100 以下の自然数の中で。 4 で割ると 1 余る数の総和は | サ | である.

(x) f(r) を了7(z) の導関数とする. f(r) =3z2一4テー1,が(1)=0 を満たす
LE, fx) & fle) テキ2キアとおくとの=[シ |.g=1ス |,
ァー| モ | である.

ーU数2 一

ーU数3 一

Th. x pcx) は Ce + 1) CMS LRN Ge HD, eH 2 で割ると余りが9となる。
COLE, KOM )~CGHICAAL, 解答は解管用紙の所定欄に記入せよ、
Ci) P(x) を (z十1)(rー2) で割った余りを求めよ.
(BR) P(r) を (x +1) (2-2) で宮った作りを求めよ。
Gi) Pie) が5次式で、P(0)ニー1,P(1)=ー5.P(一2)ニ1 を満たするの
とする. このとき、P(r) を求めよ.
ーU数4 一

— URS 一

Tl. ati toga y=Le についてその項記をOとし この放物衝上に思なる
2点A、 BEES, またA、Bは頂点0と異なる点で、選AOBが直角になるものとする.
FIA, BO z 座標ををそれぞれ a,b EL, at+b=t ELT, 次の問(ji)一(iv)に答え
よ. 解容は解答用紙の所定欄に記入せよ.

Ci) AOBが直角となる条件を a, b を用いて表せ.
(i) ¢ を用いて直線ABの方各式を求めよ.
(it) 頂点0から直線ABにおろした垂線が, 直線ABと交わる点を日とするとき.7 を
用いて直線QHの方程式を求めよ.
(iv) A, Bが放物線上を動くとき, 7 を用いて点Hの座標を求めよ、
ーU数6 一

[以下余白】
ーU数7 一

(1) 方程式 3cow9 — Scos#— Lod +4=0, BLOKSR ISIS > をみた
す 6 に対して, cos9 = である.
(i) BEL, pH SOBA a aot
ala,, aslay, a5, 6197」 Gg, Gy, Aygl
EAFR-PHIFS, 第 101 番目のグループに属する数の和は [| ロロ | CHS.
(ii) 空間に3点A(2,2.2), BOL, 2,1), C(2, 9,1) が与えられている. 三
角形ABCが直角三角形になるのは ヶゅ= のときである.
(iv) 極限 tim 2. 2082) の値は である.
(v ) 1個のさいころを4回続けて投げるとき, 3回以上連続して同じ目が出る確率は
Lok | である.
ー Cu数2 一

ー 数3一

IL. =久間ABCにおいて, 各辺の長きをそれぞれ AB= 0) ACニヶ,BC= z ELBE,
ZBAC=6 とおく. Ee, x,y, 2 1h
ェキッオターg, wz
をみたすものとする. ただし, a は正の実数である. このとき, 次の問(ij)一(品)に
ak.
(i) cos@ & a & z の式で表せ.
(i) xty と ay をそれぞれ aL cosd の式で表せ.
Gi) 6= 2 OLR, a OLDE SWORIMEERDE BR, TOLEO 2,92
を求めよ.
ー Cu数4一

ー の数5 一

Wl. wetmio2omm yO y-85% 2 enen G、G とす
る 0以上の実数 LC, 2 BER t である点における C, ORE 1,, 2 BLA 1
である点における の の接線を とする. 4 Lh LORMEP, 1 Ly 軸との交点を
Q. ちと y 皿との交点をRとする. COLE, 次の問(i ) 一(語)に答えよ。
(i) 点Pの座標を : を用いて表せ.
Gi) 三角形PQRの面積を $(7) LFS. 0以上の実数 f を変化させるとき、S(の) の

最大値を求めよ。 また最大値た与える / の値を求めよ。
(ia) Gi) CHE SC) に対して, eB [sou の仁を求めよ。
ー Cu数6 一

【以下余白】
ー Cs数7 一

2011年度
%
1k * A 是
注 意

1. 試験開始の指示があるまでとこの間題冊子を開いてはいけません.

2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛第または日 Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBORM LOA EAL AIBC HI LIT CEE,
(万年筆・ボポールペベン・サインペンなどを使用してはいけません.)

3. この問題博子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後.をだちにペー ジ数を確
認してください. なお, 問題番号は[ ...相となっています.

1. 解答用紙にはすでに受験番号が記入きれていますので, 出席球の受際番号が.あな
なの受豚桂の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名租に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席昧は切り離さないでください.

5. 解答は解答用紙の指定された解答繝に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.

6. 解答用紙を折り曲げたり, WokD, 者つけたりしないように注意してください.

7. 計算には, この間是出子の余白部分を使ってください.

8. この問題冊子は持ち帰ってください.

— Tl ~

1 次の補アーサに当てはまる数または式を記入せま 鮮和解答用紙の所定科に記入せ

ば.

Ci) 2D HS 2RHBK xt + Spr t4=0, 2? + Be + 4p = 0 が共通の実数解
を持つとき, p の値は| ア | である、ただし,ヵき1 とする.

Gi) 三角形ABCにおいて、BCm6、CA=4。 cosc= であるとき, sind の値は
(EET である.

(ii) AHL [22l+le~ 4) <6 を解くと, となる.

(iv) Se x,y B34 2i)e tidy + 134+ 2i=0 HATER, r= C="),
ター | オキ | である. RRL, @ なは同数首位とする.

(vy) SQA ett y= 4 LEM ER, APCS, 0) と点Qの中点の軌跡の方程式は
[カタ | である.

(i) cos9 一言 のとき, tna~ キ| である. BL, O<0<F とする.

(vi) @ =logy2, 0ーloge3 EF SEE, logy をg,のを用いて表すと。
| ク |となる.

(ii) Bk Fle) = a? + de ~ [roe ETB (2), | ケ | である.

(ix) 数列 2, 4 9, 17, 28, 42° の第 ヵ Men を用いて表すと, | コ | となる.

(x) ABPRMLEI 3208, ACL, 3一1), B(-1.2,.2),C(2,.0,1) をと
SLE, 三角形ABCの重心の座標は CHS,

— 【数2 一

中数3 一

I 。 袋に赤玉が 1 個, 白玉が 2 個の合計 3 個の玉が入っている. 袋から玉1個を取り出し,
玉の色を確認し, また袋に戻す, という作業を2 回行い。 これを1 回の試行と考える.
この試行を使って, A若とB臣の2 人が以下のようなゲームをすることとにした.

ゃ取り出した玉の色の 1 番目が息、 2 番目が赤であれば, A君が勝ち抜けとなり,
取り出した玉の色の 1 番日が赤。 2 番日が円であれば, B君が勝ち抜けとなり,

ゃ取り出した玉の色が 2 回とも同じ色であれば, 引き分けとし, 試行を続ける.

RE, どちらか1 人が勝ち抜けた後も, 同和欄に玉を2回出し入れする試行を続け, 以下

の場合にゲームを終了させることにした、

*残った1 人がA君のとき, 取り出した玉の色の 1 番目が白, 2番目が赤である場合.
* 残った1 和人がB君のとき, 取り出した玉の名の 1 番日が赤, 2 番日が白である場合.
COLE, 次の問(j)一(造)に答えよ. 解答は解答用紙の所定交に記入せよ.

(i) 1回目の試行で A君が勝ち抜ける確率, B君が勝ち抜ける確率, 引き分けになる
確率をそれぞれ求めよ.

(i) 3回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ.

(ii) A君のほうが早く磨ち抜けし,その後、ヵ 回目の試行でB 者がゲームを終了させ
る確率を ヵ を用いて表せ. ただし,ぁ2 EL, 2 にはA苫が勝ち抜けるまでの
試行の国数も含むものとする.

— 数4 一

— TRS

TL. etre y= 22 Lok (a, a2) をAとし, 点Aにおける放物線の接線を 7 とする、
ただし, 2 > 0 とする. また, r 軸上の点 (a, 0) OMB) について対称な点をBと
し, MA, Bを送る直線を m とする. COLE, 次の問(1i)一(iv)に答えよ. 解答は解
答用紙の所定欄に記入せよ.

(i) Bits と z 軸の正の向きとのなす角を 9 LL, また, 直線 用 と z HOLD
向きとのなす角を 7 とする. 7 を のと を用いて表せ、ただし, 0<9<今,
Fa z
ge RR とする.
Gi) 直線 m の傾き tany を tang で表せ.
(ii) 直線 m ODN a を用いて表せ.
(iv) ER m が, a の値によらず, 必ず通過する点の座標を求めよ.
ー 1数6 一

[以下余白】
wm EBGR =

2011人年度
»
Ia数 学問 題
注 意

1. 試験開始の指示があるまでこの韻題同子を開いてはいけません.

2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの具鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください、
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)

3. この問題時凶は8ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
BUCHER, ke, 問題番号はT・Hとなっています-

4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, あなたの受験票の番号であ
るかどうかを確認してください。

5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.

6. 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.

7. 計算には、この問題骨子の余白部分を使ってください.

8. この問題恒子は持ち帰ってください.

a
ー 1k —

TL. ん) = baat tt とするとき, RFE LOU y — 702) について、 ROK

せう一(Gv)に答えよ.

(i) 曲線 = f(a) の変曲点を求めよ.

Gi) 点 (太り) における曲線 = f(x) の接線の方程式を求めよ.

Gil) 曲線 = f(r) の接線で点 (1 , a) を通るものがちょうど3本あるような AO
MMAR ES.

(iy) HRB y = f(z) の接線で点 (1 a) を通るもるのがちょうど2本あるような最小
の g に対して, 2本の接線と曲線 y = f(x) で囲まれる部分の面積を求めよ、

ー {数2 一

~~ 1.3 一

TL. eerie tow: & y= 22, eee m kya - Bede, とのとき。 KOM
(i )~ Gaia k.
(i) AP (2,9) CAL, PEMD 7 に垂直線と 1 FORMER La, 9) とす
る. また. PFを通り m に垂直な直線と m との交点をR(z"、ア" ) とする. この
とき,
x x a” x
(4の CaS)
y Be 2 -
が成り立つような行列 A, BERD.
4 2
(i) A,B を(1)で求め行列とする、このとき。 wc[ ; リロ ):
1 5
HUC C=aA+BB をみたす実数 々. 2 を求めよ
(i) n PARHETSEE, CP Ewe,
— 1.4 一

【以下余白】
— 1.5 一

— 1.6 一

— 1.7 一