立教大学 2023年度 過去問・解答

※ 問題文は立教大学が公表した2023年度入学試験問題（A方式・数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したものですが、立教大学が公表した一般的な解答例PDFと全17問を1問ずつ突き合わせ、すべて一致することを確認しています。さらに数式処理システムでの再計算・全数列挙・200万分割の数値探索でも二重に検算しました。

〔Ⅰ〕【空所補充】全分野から1問ずつの小問集合

分野：三角関数／図形と方程式／図形と計量／確率／空間ベクトル／関数／集合　難易度：標準　目標時間：25分

〔Ⅰ〕(ⅰ)　［ア］ の最小値

【型】 で だけの2次関数にする。置き換えたら必ず を書く

【なぜこうするか】
と が混ざった式は、どちらか一方に統一するのが鉄則です。今回は が2乗の形でしか出てこないので、 を使えば だけの式になります。
とおくと 。この「 の範囲」を書くことが、置き換え問題で最も配点の重いポイントです。

ここで符号に注目してください。。完全平方になっています——だから で、最大値は （）。
求めるのは最小値なので、 を最大にすればよい。 より なので、 が最大になるのは 、すなわち のとき。
このとき 。

解答。 とおくと であり、 だから

これは を軸とする上に凸の放物線。 において軸から最も遠い端点は だから、（すなわち ）のとき最小で

［ア］

検算（両端の代入と 万分割の数値探索）。： ✓。：。：（最大）✓。
を で 万分割して直接計算すると最小 、最大 ✓ 完全一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】 混在の2次式は「」で片方に統一 → の2次関数 → 範囲 で最大最小。上に凸なら「軸から最も遠い端点」が最小。完全平方の形が出たら符号だけで最大値が読めます。

【よくあるミス】 の範囲を書かずに「頂点で最小」としてしまうこと（上に凸なので頂点は最大）。もう一つは を と読み違えるミスです。

〔Ⅰ〕(ⅱ)　［イ］ のときの の値域

【型】単位円上の は三角関数の合成で 。または「直線と円が共有点をもつ条件」

【なぜこうするか】
解法①（媒介変数＋合成）： は単位円なので と表せます。すると

（）。 が全周を動けば は から まですべての値をとるので 。
解法②（直線と円）： は傾き の直線。これが単位円と共有点をもつ条件は、中心 からの距離が半径 以下、すなわち

どちらも一瞬ですが、②は「点と直線の距離」だけで済むので計算が最も軽い。覚えるなら「単位円上の の最大値は 」（コーシー・シュワルツの不等式そのもの）。

解答。 より （）とおける。このとき

ただし は を満たす実数。 が を動くとき だから

［イ］は

検算（数値と別解の一致）。 を 万分割して を直接計算すると、最小 、最大 。 ✓ 完全一致。
別解（点と直線の距離）でも ✓ 一致。
最大を与える点も確認： のとき ✓、しかも ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】円 上での の値域は 。導き方は①媒介変数＋合成 ②直線と円の共有点条件（点と直線の距離）のどちらでもよい。答えは不等式の形で書くこと（「最大値 」だけでは不十分）。

【よくあるミス】 の最大値だけ答えて範囲を書かないこと。もう一つは合成の振幅を ではなく としてしまうミスです。

〔Ⅰ〕(ⅲ)　［ウ］二等辺三角形の辺上の点までの距離

【型】余弦定理を2回。まず を出し、次に三角形 APC に適用して の2次方程式を作る

【なぜこうするか】
求めたい を含む三角形は 。この三角形では 、 が分かっていて、 は の と同じ（P は辺 AB 上にあるので）。だから2段階で進みます。
第1段： を求める。 で余弦定理を使って

負になる——つまり は鈍角です（ が2辺 に比べて長いので当然）。
第2段： で余弦定理。 とおくと

マイナス×マイナスで になるのがポイント。整理して 、解の公式より 。
なので正の解だけを採る。 なので ——たしかに 以下で、P が辺 AB 上にあることとも矛盾しません ✓。

解答。 について余弦定理より

とおくと、 について余弦定理より

より

［ウ］

検算（座標に置いて直接計算）。、（ ✓、 ✓、 ✓）と置き、A から B へ向かう単位ベクトル方向に 進んだ点を P として を解くと、 ✓ 余弦定理の結果と完全一致。
数値でも 、このとき ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】「辺上の点までの距離」は、共有する角に注目して余弦定理を2回。第1段で （の値）を確定し、第2段で求めたい長さを文字において2次方程式を作る。 が負なら符号の反転に注意。最後に「長さは正」「辺の長さ以下」で解を吟味する。

【よくあるミス】 の符号を落として としてしまうこと。もう一つは負の解 を捨て忘れることです。

〔Ⅰ〕(ⅳ)　［エ］ が整数になる確率

【型】「 が の約数」—— を固定して の候補を数える（倍数を数える）

【なぜこうするか】
が整数 が の倍数。だから を先に固定して、 から までにある の倍数を数えるのが最短です。

	条件をみたす	個数
1	1, 2, 3, 4, 5, 6	6
2	2, 4, 6	3
3	3, 6	2
4	4	1
5	5	1
6	6	1
合計	—	14

と減っていくのは、 が大きいほど 以下の倍数が少ないから。 は自分自身しかないのが見どころです。
全事象は 通りだから 。

解答。目の出方は 通りで、これらは同様に確からしい。 が整数になるのは が の倍数のときで、 は

の 通り。よって

［エ］

検算（ 通りの全数列挙）。プログラムで 組すべてについて を判定するとちょうど 通り ✓。。
別の数え方でも確認：「 を固定して の約数である を数える」と の約数の個数は で合計 ✓ 一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】「 が整数」は「 が の倍数」に読み替える。数えるときは割る数（分母）を固定するほうが、倍数が等間隔に並ぶので数えやすい。検算は「分子を固定して約数を数える」逆向きの数え方で。

【よくあるミス】 のケース（ 通り）を数え忘れること。また「大小2個」なので と は区別される——分母は であって ではありません。

〔Ⅰ〕(ⅴ)　［オ］点 C が平面 OAB 上にある条件

【型】 と表せる（成分3本の連立方程式）。または法線ベクトルとの内積

【なぜこうするか】
解法①（一般的な解答例のルート）：原点 O を通る平面上の点は、平面を張る2つのベクトルの線形結合で書けます。

これが と一致するので、成分ごとに3本の式・3つの未知数 ：

第2式・第3式から 。第1式に代入して

解法②（法線ベクトル）：平面 OAB の法線は 。成分計算すると

平面は O を通るので 。C を代入して

②のほうが圧倒的に速いので、外積を習っていれば迷わずこちら。習っていなくても とおいて を解けば同じ結果です。

解答。点 C が平面 OAB 上にあるので、実数 を用いて

と表せる。 だから

第2式より 、第3式より 。これらを第1式に代入して

よって

［オ］

（このとき 。）

検算（法線ベクトルと、実際の座標）。外積で法線 を求め、平面 に を代入した C を入れると

✓ たしかに平面上。
また A, B も平面上： ✓、 ✓。
の値でも確認： ✓ C と一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】「原点を通る平面上にある」＝2つのベクトルの線形結合で書ける（成分3本の連立）。速さを求めるなら法線ベクトル（外積）を求めて平面の方程式 に代入。検算は「A も B も平面をみたすか」を確認すれば法線の計算ミスが即座に分かります。

【よくあるミス】外積の成分を1つ符号違いにすること（ 成分は で順番が入れ替わる）。もう一つは連立方程式を2本だけ使って を決めてしまい、残り1本の確認を怠ることです。

〔Ⅰ〕(ⅵ)　［カ］関数方程式

【型】 とおいて係数比較。あるいは「 とおくと 」と見抜く

【なぜこうするか】
一瞬で終わる見方から紹介します。 とおくと、条件は

は2次式なので は無限個の値をとる（放物線の値域は半直線）。2つの多項式が無限個の点で一致すれば、多項式として同一です。したがって 、つまり 。
答案としては係数比較で書くのが確実です（一般的な解答例もこのルート）。（）とおくと

• 左辺
• 右辺

の係数を比べると左辺 、右辺 。よって 、 より 。
を入れると左辺は 、右辺は 。2乗の項が消えるので

左辺の の係数は 、これが でなければならないので 。すると 。
よって 。

解答。（）とおく。 と略記すると

これらが について恒等的に等しい。 の係数を比較すると であり、 より 。
のとき すなわち が恒等的に成り立つ。 は の2次式だから、 の係数を比較して 、このとき 。よって

［カ］

検算（代入して両辺一致）。 とすると

✓ 恒等的に一致。数式処理システムで差を展開すると厳密に ✓。
具体値でも： なら 、、 ✓。
ほかに解がないことも確認済み： は係数比較から一意に決まります ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】関数方程式は「文字でおいて係数比較」が万能。次数の高い項（今回は ）から順に比較すると、未知数が1つずつ確定していきます。 の最高次は という形になることを覚えておくと立式が速い。

【よくあるミス】 から と出したあと、「2次式だから 」の断りを書かないこと。もう一つは を「 に何を代入しても」ではなく「ある で」と誤解し、 の可能性を残してしまうミスです。

〔Ⅰ〕(ⅶ)　［キ］ に属する点

【型】分配法則 で2つの交点計算に分解。各集合の の制限を最後に必ず確認

【なぜこうするか】
はいずれも直線（の一部）です。 は の左半分（）、 は の右半分（）——2つ合わせると頂点 の V 字——じつは のグラフになります。 は直線 の全体。
集合の分配法則より

なので2本の交点を別々に求めて、範囲の条件をチェックするだけ。

• ： より 。条件 をみたす ✓。点は 。
• ： より 、。条件 をみたす ✓。点は 。

この「範囲チェック」こそが本問の急所です。もし交点の が条件を外れていたら、その点は答えに入りません（今回は2つとも通過）。

解答。 である。

：直線 と の交点は

これは を満たすので、点 は に属する。

：直線 と の交点は

これは を満たすので、点 は に属する。よって

［キ］

検算（3本の式に代入）。： の式 ✓、 の式 ✓、 ✓。
： の式 ✓、 の式 ✓、 ✓。
ほかに交点がないこと： は のグラフで、 は傾き の直線。V 字の2辺の傾きは と でどちらも と異なるので、交点はちょうど2個 ✓ 過不足なし。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】集合の共通部分は分配法則で分解してから、それぞれ連立方程式を解く。直線の一部で定義された集合では「求めた交点が定義域に入っているか」の確認が必須——ここを書かない答案は減点されます。 が絶対値のグラフになることに気づくと、交点の個数も一目で分かります。

【よくあるミス】 の条件（ と ）を無視して、両方の直線と の交点を4個すべて答えてしまうこと。もう一つは 座標の計算ミス——2本の式のどちらに代入しても同じ値になるかで必ず確かめましょう。

〔Ⅱ〕【記述式】積立預金の複利——漸化式と常用対数

分野：数列（漸化式）／指数・対数　難易度：標準　目標時間：20分

〔Ⅱ〕(ⅰ)　 を求める

【型】「初めに入金 → 年末に 倍」を1年ぶんずつ手で追う。8％加算は

【なぜこうするか】
漸化式の問題はまず具体的に2〜3年ぶんを手で追うのが鉄則。ここで時間の流れを正しくつかんでおけば、(ⅱ) の漸化式は「今やった計算を文字で書くだけ」になります。
1年目：初めに 万円 → 年末に8％加算されるので

2年目：初めに 万円を追加するので、この時点の残高は 。年末に8％加算されて

「8％が加算」は を足す＝。ここを としてしまうと激減してしまうので注意。
また追加の12万円にも、その年の利子がつく（年初に入れているので年末までまるまる預けている）——この読み取りが本問の核心です。

解答。1年目は初めに 万円を預け、終わりに8％の利子が加算されるから

2年目は初めに 万円を追加するので、その時点の預金額は 万円。終わりに8％の利子が加算されるから

よって 、（単位は万円）。

検算（内訳を分けて計算）。2年目終了時の内訳を「最初の100万円ぶん」と「2年目に足した12万円ぶん」に分けると

• 最初の ：2年ぶんの利子がついて
• 2年目の ：1年ぶんの利子がついて

合計 ✓ 一致。この「入金ごとに分けて数える」見方は (ⅲ) の一般項の別解にもなります。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】複利は「％加算 」。積立の問題では「入金は年初か年末か」＝その年の利子がつくかどうかを必ず確認する。具体的に2年ぶん手で追ってから漸化式を立てると、式の意味を取り違えません。

【よくあるミス】 と、12万円を利子のあとに足してしまうこと（年初の入金なので利子がつきます）。もう一つは を と書き間違えるミスです。

〔Ⅱ〕(ⅱ)　 を で表す

【型】(ⅰ) でやった1年ぶんの操作を、そのまま文字にする

【なぜこうするか】
年目に起こることは、毎年まったく同じ2ステップです。

• 年初：前年末の残高 に 万円を追加 →
• 年末：その額の8％が加算 →

よって

どちらの形で書いてもよいのですが、 の形のまま残しておくと (ⅲ) の特性方程式がきれいに立ちます（一般的な解答例もこの形）。
検算： とすると ✓ (ⅰ) と一致。

解答。 年目の初めに 万円を追加するので、その時点での預金額は 万円。 年目の終わりにその8％が利子として加算されるから

検算（第3項まで直接計算）。 から漸化式を回すと ✓、。
内訳による確認： ✓ 一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】漸化式は「1期間で何が起きるか」を日本語で書いてから式にする。積立＋複利は必ず （年初入金）または （年末入金）のどちらか。立てた漸化式に を入れて が合うかを必ず確認。

【よくあるミス】 と、追加ぶんに利子をつけ忘れること（正しくは ）。この1問のミスが (ⅲ)(ⅴ) まで波及するので、 での検算は必須です。

〔Ⅱ〕(ⅲ)　 を で表す

【型】 型は特性方程式 で を等比数列にする

【なぜこうするか】
は「等比×等差」ではなく「1次式の反復」。この形は不動点（特性方程式の解）を引くと等比数列になります。
特性方程式は、漸化式の を両方 に置き換えたもの：

この を使うと、漸化式は

と変形できます（実際に右辺を展開すると ✓）。つまり数列 は公比 の等比数列。初項は なので

よって 。
なぜ が出るのか：もし残高がずっと 万円なら、 万円足して 、8％加算で と元に戻る。この「動かない点」からのズレだけが等比的に増えていく——これが特性方程式の意味です。

解答。特性方程式 を解くと 。よって (ⅱ) の漸化式は

と変形できる。数列 は初項 、公比 の等比数列だから

したがって

検算（漸化式から第14項まで直接生成して照合）。 から漸化式を 回まわして得た値と、一般項に を代入した値を有理数のまま厳密に比較すると、14項すべて完全一致 ✓。

	1	2	3	10	12	13
	108	129.6	152.928	377.73	467.54	517.91

別解でも確認：入金ごとに分けると 。整理すると ✓ 一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】（）は特性方程式 の解 を引いて等比数列に。。特性方程式の解は「そこに来たら動かない値」という意味をもちます。検算は実際に漸化式を数回まわして一般項と比べるのが確実。

【よくあるミス】初項を と勘違いして としてしまうこと（ を代入して になるか確認）。もう一つは特性方程式を と、追加ぶんの利子を落として立てるミスです。

〔Ⅱ〕(ⅳ)　 の値

【型】小数は分数に直し、分子を素因数分解して に分解する

【なぜこうするか】
与えられているのは と だけ。だから を と と だけで書き直すのが方針です。

という素因数分解が急所。これさえ見えれば

値を入れて 。
値の妥当性：——たしかに にほぼ等しい ✓。「利率8％なら は約 」は覚えておくと (ⅴ) の見積もりが速くなります。

解答。

だから

検算（逆算と分数計算）。厳密に分数で計算すると ✓ ぴったり（丸め誤差なしで割り切れる）。
逆算：、真の 。与えられた近似値から得た は小数第4位まで妥当 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】常用対数の値を求めるときは「与えられた と だけで表せる形」に分解する。、、、 あたりは頻出なので即答できるように。

【よくあるミス】 までで止まって素因数分解を誤ること。もう一つは を と割り算にしてしまうミス（正しくは引き算）。

〔Ⅱ〕(ⅴ)　 を満たす最小の自然数

【型】指数不等式は両辺の常用対数をとる。底が なので不等号の向きはそのまま

【なぜこうするか】
(ⅲ) の一般項を代入して整理します。

ときれいな値になるのは、 という一見中途半端な数がそう設計されているから。約分してきれいになったら方針が正しい合図です。
両辺の常用対数をとると（底 なので不等号の向きは変わらない）

ここで 。(ⅳ) の を使って

なので 、すなわち 。求める最小の自然数は 。
（ と分数で書くと、 と の間であることが確実に示せます。）

解答。(ⅲ) より

両辺の常用対数をとると、底 より不等号の向きは変わらず

、 だから

だから、これを満たす最小の自然数 は 。よって求める最小の自然数は

検算（実際の値を直接計算）。一般項に代入すると

• 　→ 以下 ✓
• 　→ を超える ✓

ちょうど12年目と13年目の間で境界をまたぐことが数値でも確認できました ✓。
また ✓ 対数を使わずとも同じ結論。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】 型は両辺の常用対数をとって 。底が より大きければ不等号はそのまま、小さければ反転。最後は「その値が何と何の間の整数か」を明示してから最小の自然数を答える。求めた と の両方で元の不等式を確かめると確実です。

【よくあるミス】 から の切り上げを誤って としてしまうこと（ なので ）。もう一つは の指数を と読み違えるミスです。

〔Ⅲ〕【記述式】放物線の接線・垂線・対称点——じつは焦点と準線の話

分野：微分積分（数学II）／図形と方程式　難易度：やや難　目標時間：25分

〔Ⅲ〕(ⅰ)　接線 の方程式

【型】接線は「微分して傾き → 点を通る直線の式」。

【なぜこうするか】
を微分すると 。 での傾きは 。点 を通るので

定数項が ——これは接点の 座標の符号を変えたものです。放物線 の接線は必ず の形になり、 切片が （接点の 座標）になる、という性質があります。検算に使えます。

解答。 の両辺を で微分すると だから、点 P における接線の傾きは 。よって

検算（重解条件と具体値）。 と を連立すると 、すなわち 。 が重解——たしかに接している ✓。
なら 、。傾き ✓、 ✓ P を通る。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】接線は 。放物線なら「連立して重解になるか」で必ず検算できます。 の接線の 切片は （接点の 座標のマイナス）。

【よくあるミス】 の展開で を などと誤ること。分数の引き算は通分してから。

〔Ⅲ〕(ⅱ)　 の方程式と R の座標

【型】垂直な直線の傾きは「元の傾きの逆数の符号違い」。交点は連立

【なぜこうするか】
の傾きは 。 より なので、垂直な直線 の傾きは （積が ）。Q を通るから

切片がちょうど になる——しかも に依存しません。この が (ⅲ) の答え S と同じ点であることに、ここで気づけると先が読めます（じつは はこの放物線の焦点）。
交点 R は と を連立して

両辺に を掛けると 、整理して 。左辺は なので

が約分で消えるのが気持ちいいところ。 座標は に代入して ——R は 軸上です。

解答。 の傾きは で だから、 に垂直な直線 の傾きは 。 は を通るので

R は と の交点だから

このとき だから

検算（垂直条件と具体値）。傾きの積 ✓ 垂直。
：、、交点は より すなわち 。公式の ✓。
：、、交点 より 、 ✓、 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】垂直 傾きの積が 。交点は連立してから分母をはらう（今回は ）。共通因数（）が現れたら約分できる合図——きれいに消えたら計算が正しい証拠です。

【よくあるミス】 の傾きを としてしまうこと（逆数にするのを忘れる）。もう一つは Q の 座標 を と読み違えるミスです。

〔Ⅲ〕(ⅲ)　S の座標

【型】「対称点」＝「垂線の足が中点」。R がすでに垂線の足なので

【なぜこうするか】
点 Q の直線 に関する対称点 S とは、「線分 QS の中点が 上にあり、かつ QS が に垂直」な点のこと。
ここで(ⅱ) が完璧な下ごしらえになっています。 は Q を通り に垂直な直線、R は と の交点——つまりR は Q から に下ろした垂線の足。したがってR は線分 QS の中点です。
とおくと

よって 。S は に依存しない——ここが本問の山場です。
なぜ によらないのか： は 、つまり より の標準形で、焦点 ・準線 をもつ放物線です。問題の Q は準線上の点。放物線には「準線上の点を接線で折り返すと焦点に来る」という美しい性質（＝反射の法則）があり、S はまさにその焦点。パラボラアンテナが平行光線を1点に集めるのと同じ原理です。

解答。 は Q を通り に垂直な直線で、R は と の交点だから、R は Q から に下ろした垂線の足。S は に関して Q と対称な点だから、線分 QS の中点が R である。 とおくと

より 。よって

（ の値によらず一定。）

検算（対称性の2条件を直接確認）。 のとき 、、。
① 中点 は 上： ✓。
② と の方向ベクトル の内積は ✓ 垂直。
：、。中点は で ✓、 と方向 の内積 ✓。
どの でも S が であることが確認できました ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】直線に関する対称点は「垂線の足が中点」。垂線の足がすでに求まっていれば と1行で出ます。 は焦点 ・準線 ——この背景を知っていると答えの形を予測できます。

【よくあるミス】中点の式を と符号を誤ること。もう一つは「対称点」を「 軸に関する対称点」と混同するミスです。

〔Ⅲ〕(ⅳ)　 の方程式と T の 座標

【型】直線の対称移動は「その直線上の2点の像」で決まる。 上の点は動かない

【なぜこうするか】
直線 を折り返した像 を求めるのに、すべての点を写す必要はありません。 上の2点の像を求めれば、それを結んだ直線が です。
うまい2点の選び方：

• 点 P：P は 上にあり、同時に 上（接点なので）。対称軸上の点は動かないので、像も P。
• 点 Q：Q は 上（ は の縦線で、Q はその上）。像は (ⅲ) で求めた S。

よって は P と S を通る直線。傾きは

S を通るので 切片は 。したがって 。
次に T。 と の交点は

ここで解と係数の関係を使うのが最短です。2解の積は 。1つの解が （P の 座標）と分かっているので、もう一方は

因数分解の形でも確認できます：。 ✓ 一致。
が一定——これは「焦点を通る弦（焦点弦）では2つの接点の 座標の積が一定」という放物線の有名な性質です。

解答。P は 上にあるので に関する対称移動で動かず、像は P 自身。また Q は 上の点で、その像は (ⅲ) より S。よって は2点 P、S を通る直線であり

と の交点の 座標は

より 。P の 座標が だから、T の 座標は

検算（具体値と、T が 上にあること）。： の傾きは 、すなわち （水平線）。 との交点は より 。P の だから T の ✓。
：。 より 、 で 。T の ✓。
数式処理システムでも交点は ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】直線の対称移動は「その上の2点の像」で決める。対称軸上の点は動かないので、直線が対称軸と交わる点は最優先で使う。交点の一方が分かっているときは解と係数の関係（2解の積・和）でもう一方を出すのが最速です。

【よくあるミス】（縦線 ）を折り返したものも縦線だと思い込むこと（対称軸が傾いているので像は傾きます）。もう一つは2次方程式を解の公式で解こうとして計算が破綻すること—— が解だと分かっているので因数分解できます。

〔Ⅲ〕(ⅴ)　線分 ST、線分 OS、および で囲まれた部分の面積

【型】「上の線 下の線」を交点から交点まで積分。積分区間の端は と

【なぜこうするか】
まず領域の形を押さえるのが先決です。3つの境界線は

• 線分 OS： と を結ぶ—— 軸上の縦線分
• 線分 ST： と を結ぶ——直線 の一部
• 曲線 ：O から T までの放物線の弧

より T の 座標 は負。つまり領域は 軸の左側にあります。この範囲では上が直線 、下が放物線 。したがって

ここでの工夫：被積分関数は (ⅳ) の因数分解を使って

（ の ）（ の ）

と書けます（2つの交点が と だから）。ただし積分区間は から までで、もう一方の交点 までではないので、 公式はそのままでは使えません。素直に展開して積分します。

原始関数は 。 で 、 では

よって 。
なので、中かっこは 。したがって

解答。 より T の 座標 は負であり、 において直線 は放物線 の上側にある。求める面積は

図（ の場合）。 では がちょうど水平線 になり、領域の形がいちばん見やすくなります。青の曲線が 、赤が接線 、緑が 、紫の太線が線分 OS と線分 ST、水色の部分が求める面積です。

検算（ を4通り変えて 万分割の数値積分）。公式 と、実際に数値積分した値を比べました。

	公式の値	数値積分
	25.3333333	25.3333333
	4.6666667	4.6666667
	1.3333333	1.3333333
	0.7654321	0.7654321

4通りすべて小数第7位まで一致 ✓。
手計算でも確認： のとき 、 なので面積は 。公式は ✓ 一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】囲まれた面積は「上 下」を交点から交点まで積分。まず領域の位置（ 軸の左か右か）を確認してから積分区間を決める。 公式は「2つの交点を端とする区間」でしか使えない——今回のように片端が交点でないときは素直に展開して積分します。

【よくあるミス】積分区間を から までとしてしまうこと（それは と が囲む領域全体で、本問の領域ではありません）。もう一つは の符号ミスです。