立命館大学 2007年度 過去問・解答

(第3 時限 : 100分)
2007年度 2
w
数 学 問 題
(理 系)
(全5ページ)
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, この問題司子の中を見てはいけません。
2. mo [| にあてはまる適当なものを, MEMROM ROM
に記入しなさい。
3. 解答用紙・下書用紙は, この民子の中に折り込んであります。
4, 試験終了後, 問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。

」 x 学
ROL, Ty 邊。Vの設問について問題文の | | にあてはまる適当なものを。
解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
I 実数z, あぁを定数として, 曲線

Fiy=ha-a)(x—b)(x—e)

と3点A(g, 0), BCO, 0), Cle, 0) を考える。ただし, g, db, ¢ は互いに異な

り, #% は0でないとする。

C1) 線分ABの中点を通り x 軸に垂直な直線と曲線が との交点Pの座標は

(2) 点Pにおける韻線 が の接線 7 の傾きは| ゥ | であぁる。

(3) 接線 と*南との交点の座標は [ 10) となる。

(4) 線分BCの中点を通り x 軸に垂直な直線と曲線 が との交点をQとし,点
Q における曲線 F の接線を の とする。接線 7 との が平行であるための
LEH a, 9。 c を用いて| SF | と表される。

en =

II 空間の4点O0, A, B, Cと実数ヵ (KEL lpl <1) について,
10A| =10B| =IOCI =1
かっ
OK OB = OB- OC = OC - OA =p
が成立しているとする。

このとき, 1AB| =1BC| =ICAI = | ヵ | amo, AABC は正三角形にな
Bo HG をAABC の重心とすると, 点Oから点Gの距離は10G|= と表
きれる。

4点 0, AB, Cが同一平面上にあるための条件は = | ク | であり,これ
5OAKO, AB, でが四面体の頂点となりうるのは| ク | <ヵく1が満たさき
れるとき, PO, そのときに限る。この四面体OABC の体積はレニ=
と表きれるから, が最大となるのは ヵニ= のときである。

は実数を入れよ。
ータテー

I #0, 半径1の円 S を考える。図のように, S 上に互いに異なる4点A P,
Q, Bをとり, ZAOP=a, ZPOQ=P, ZQOB=7 EBL. MPEMBMAQ
上に点P, をAAP」Q の面積が最大になるようにとり, AOP」= g」とおく。この
とき, aa となる。点 Q を含む弧 BP 上に点 Q。 をへBP」Q」 の面積が
最大になるようにとり, BOQiニ7」とおく。このとき, テー | シ | となる。
きらに, AP, を含む弧 AQ」 上に点 P。 をへAP。Q, の面積が最大になるようにと
0, ZAOP,=a, EBL. HQ, ESM BP。 上に点 0。 をへBP。Q。 OM MAE
大になるようにとり, ZB0Q,=7, EBS. 以下同様に, BPs, oo, Py ... と
FAQs, oo, Qa を交五にとっていき, ZAOP,=a,, のBOQ。 =ティ7。とおく。

ZOEK, gm yy Ty を使って表すと。 giー となる。 同様に。
Yer は gn Te を用いて toa = と表せる。これらを用いて,
aaモトッ (eg =1.2...)

となり, ER,
となる。これより,

mg=[テ|
である。よって,

lim 7, =

ioe
となる。
には a, B, 1 の式を入れよ。

ーー

a

W 0, 1, 2, ..., 9 と書いたカードがそれぞれ一枚ずつある。この 10 枚のカー
ドから無作為に 1 枚を選び, その数を X とする。そのカードをもとに戻して, 再
び 10 枚のカードから無作為に 1 枚を選び, その数を Y とする。以下では, 0は
3 の倍数とする。

(1 x+y omens [>], se XY の期待値は である。

(2) 和メ+Y が3の倍数となる確率は | ナ | ,積 XY が3の情数となる確
率は| = | cas.

(3) MX +Y が3の倍数のとき, MAY が3の倍数となる確率は| メ |で
ある。和アオY が3の倍数でないとき, 積 XY が3の倍数となる確率は
[Le] <2.

(1) a を0でない実数とし
f(x) =eesin (ax)
g(x) = e* cos (ax)
とおく。このとき,
zow=[テo+[ィ1の+
Loco = [2 Yr + Jo +
である。
ただし, ー には < の式を入れよ。
(2) MR y =e, * Ah, y Hh, WR =r とで開まれた図形を * HOE)
に 1回転してできる立体の体積を"とすると, VE である。
また, 曲線ッーのsinz。 x, y MH, 直線*ーァ とで囲まれた図形を *
HOH) CL 回転してできる立体の体積はょ。 の 倍である。
同様に, 曲線 ーのcosr,* My y Wh, 直線メーァ とで囲まれた図形を
* 軸のまわりに1回転してできる立体の体積は, の | ヶ | tees.
ただし, ~ には実数を入れよ。
— i

C1) 実数係数の整式7(x) = ett ax? tox tc BRK p,q, r を用いて,
Fla) = (2? + px t+ q(x? = pr tr) と因数分解できるとする。このとき,
が9, を用いて<=ニ| コ |,ゅ=| サ |,<=| シ | と表をる。 こ
れらより, p についての関係式
が導ける。

nee, La], Le]. には a, b,c の式を入れよ。

(2) BBR xt +x ar —F=0-0 を考えると, 1ょり 7=| タ |が
得られるから, 方程式@の解は| ナ |, [| ッ|,|テ|.[トと
なる。

ーー

Mo z はg>1 を満たす実数とする。このとき, 座標平面上で直線オッャニ2g
ER y= の交点を考え。 それらのうち 座標が y 座標より小さい方を点
Aとすれば, 直人の座標は a を用いて, A( | ナ | , ) と表きれる。

Kc, 原点0 と双曲線上の点 B(1, 1) を考え, 点Aと点Bを結ぶ双曲線の弧
と線分0A OB によって晒まれる図形の面積を 7 とおく。ここで、点ABからェ
軸に下ろした垂緑をそれぞれAH BH。 とすると。点H。の座標は ( 0
FH OMS (1,0) となる。

AOAH, の面積 S、 と AOBHa の面積 S。を比較すると, 3$。一 $= が
成り立つ。 面積 7 を a を用いて表すと,ア= となる。 このとき, HA
の座標を 7 の隊数として表すと, A [| ノ |, ) となる。

ーョー

WV 図のように平面上で, 原点0 を中点とする長き 2 の線分AB が, 原点Oのま
わりを一定の速きで回転している。 EK, 軸上の点G を中心とした半径 の円
C で閉まれた領寺を考える。ただし, HRD は円 C を含まない。 領域
において連続した作業を行いたいので, 作業中は線分 AB が領域 D と共有点をも
たないことが要求きれる。

線分0G の長きを 』 とすると, AS の場合は線分ABと領域 の は党
に共有点をもち, 4 のときは線分 AB と領域 の が共有点をもつことは
ない。よって, ここでは She の場合を考える。このとき, 線
分 AB が円 の接線となる時刻があるための ヵ の条件は である。

DFC, / =ァ とする。また, 線分 AB は時刻0で y 軸に重なり, 時間7 の
HICH at ラジアン回転するものとする。ここで, #ヵニア2ァ としたとき, 作業の
開始時刻を適切に選べば, 連続して作業できる時間 7 は最大で まで許さ
れる。この作業の開始時刻は + [3 Jar (1 =0,1, 2,6) となる。
また, h=VJ3r としたときは, 同様の 7 の最大値は となる。

も4
CD SA
O 3
BS
義一

(1) 340(0,0,0), U(1.0,一1), V(0,1,一2) を通る平面 O LOE
意の点 W(*。ゅ,。 2) は, ベクトル OU, OV を用いて
OW = OU 7OV (s, :は実数)
と表せる。 方程式 z 0 で表される平面 ア 上にあり, かつ平面 の 上にな
We Ag(a, 6, 0) から, 平面 O へ垂線を下ろし, その交点を B」 とすると,
AB, から平面 ア へ垂線を下ろし, その交点を A」(xi, yi, 0) とすると,
5 い
の関係式が成立する。
(2) 点A」から平面 〇 へ垂線を下ろし, その交点を B。 EL, AB, から平面
P へ垂線を下ろし, その交点を A。 とする。以下同様にして, 平面 0 上に
県Ba。...。B。。...。 平面 LISA, +, Aa... を交互にとる。そして, 点A。
の座標を (ty, yr 0) EF Bo COLE, (iy, mn) を Mis Ma で表すと,
となる。
(3) とを a,b を用いて表すことを考えよう。
la wl
T=
2 1
とおくと,
T=
GIT]
ー 3一

であり.
ne T=
となるから,
を満たす。
(4) また,
tim x, == _]
hae
tim = [3]
=
である。
-%—

町 平面上に異なる3点Pi(ri, y)。 Pole, 2), Pats, Js) がある。 0ミミ7ミ1
を満たす実数# に対し, 点 Qi(/) は時刻 0 に点P」を出発し, 時刻,ニ1
に点 P。 に到着するように, 線分PP。 上を一定の速度で運動する。 同様に, 点
Qz(/) は時刻 ,三0 に点P。 を出発し, 時刻#ー1 に点P。 に到着するように,
線分 P。P。 上を一定の速度で運動する。さきらに, 線分Qi(のQz(ひ) を (1ーりの
に内分するように動く点を B() とする。ただし,!ー0 と『=1 のときには,
B(0) =P\, B(1) = P。とみなす。

(1) 点Q」(の) の座標は とタカxy Yo, Ya アョ を用いて,

点 Qz() についても同じように求められるから, ABUL) の座標は とょ,

タッ 22> Yor Xa, Js を用いて

(2) HM P= BUSA BC ORME NWI, ry ym Hay Jey Hay Ie
を用いて (T= ], ) と表きれる。

(3) 3AP,, Po, Ps &Pi(—1,0), P2(0, ぁ), Pa(1, 0) とする (ただし,
h#0)o COLA, ABU) OMMERI Heel,

(4) 2<ap<ap PON>O ELT, 3点Pi, Po, Ppt Pulm, 0),
Py (xy, 4), Ps(rs, 0) EF Sot が 0ミ7ミ1 の範囲で変化するときに
B(t) が描く曲線と * 軸に囲まれた部分の面積は。*」, 12, xs, ヵ を用いて
と表される。

ーョ5ー

W 5個の文字 A, A, B, B, Xを横一列に並べる。ただし, 同じ文字どうしは区別

しないものとする。

(1) この並べ方は| ぁ | 通りあぁる。

(2) AとAが隣り合うような並べ方は| い | 通りある。

(3) ALAMO AY, Ho, BとBも陸り合うような並べ方は| ) |通り
ある。

(4) ALAM GT, かつ,BとBも隣り合わないような並べ方は| ぇ|
通りある。

(5) Xより右側と左側にそれぞれ1つずつAがあるような並べ方は| ぉ | 通
りある。(例:AXBAB)

—- =