藤原進之介です。このページでは佐賀大学1998年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「どちらを主役にして数えるか」を決める型。球を主役にすると一瞬で終わり、箱を主役にすると場合分けの沼にはまります。
1. なぜその一手を選ぶのか
球は 4 個で全部区別でき、箱も 2 個で区別できます。空の箱があってもよい——つまり制約が一切ありません。
ここで「箱に何個ずつ入るか」で分けたくなりますが、それは (0,4), (1,3), … と分割の場合分けが必要になり、しかも各分割ごとに球の割り当てを数え直すことになります。球ひとつひとつに注目すれば、入れる箱の選び方は独立に 2 通り。積の法則がそのまま使えます。
「区別できるものを配る」問題は、配られる側ではなく配る対象を主役にする——これがこの型の判断です。
2. 解答
- 1 個目の球の入れ方は 2 通り。
- 2 個目以降も、前の球がどこに入ったかに関係なく 2 通りずつ。
- 球は 4 個あるので、積の法則より 2 4 = 16 通り。
答え： 16 通り
3. 検算
全部の球を同じ箱に入れる入れ方が 2 通りあり、これは必ず答えに含まれます。また箱が 1 個なら答えは 1、球が 1 個なら答えは 2 になるはずで、24 の式はどちらも満たします。極端な値を入れて式が壊れないか見るのが、この型の一番速い検算です。
この型の一般化：区別できる 4 個を区別できる 2 個に配る（空を許す）なら、つねに sr 。ここから条件が付くと形が変わります——空箱を許さないなら包除原理で Σ(−1)i 2Ci(2−i)4、箱を区別しないなら第 2 種スターリング数、球も区別しないなら重複組合せ。「区別するか / 空を許すか」の 2 択 × 2 で 4 つの型があり、問題文のどの語がどの選択に対応するかを覚えるのが近道です。第13章 場合の数を参照。
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問題PDFをテキストでも確認
佐賀大学 1998年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 指数・対数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- ベクトル
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
1998年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、指数・対数、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。佐賀大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は18年度、微分・積分は17年度、関数・グラフは17年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形、指数・対数
(2) 2*24* +8"
[2] () PSAs 90° ORMPAT, AF
sin@ + V3 cosO = V2
を解け。
(2) 0"<の9s 90?*のとき, HEX
sin@ | V3 cos@=a
が異なる2 つの解をもつような定数 OPH OMPHERYH L.
[3] m. :を>ァ>0を満たす定数とする。 平面上で, 異なる 2 定点A。 BIC
対して
AP:PB=min
を満たす点 P のえがく図形は。線分 ABを :nに内分する点と外分する点を
直径の両端とする円であることを示せ。
[4] 座標平面上の点 ACL, 0 )を原点 0 のまわりに 120"回転した点を B とし,
さらに点 B を原点 0 のまわりに 120"回転した点を C とする。 実数: が条件
OSES 1.4 を満たしながら動くとき, Bt OP 7* OC で表される点をP
とする。次の問いに答えよ。
1) 三角形 ABP の重心G の座標を求めよ。
(2) ベクトル OG の大きさを? を用いて表し, その最大値を求めよ。
[5] peste ss. 関数Cx)ニws + pet + 5xー 4について、 KOMI
えよ。
(1) *がー 1から2 まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2) —1<a< 20. "(ao)と(1)で求めた平均変化率とが等しくなるよう
なo の値を求めよ。
[6] rtm otnowmers.
直線ッターpx+g.........1 と放物線 <x? .........2
の 2 交点をそれぞれ A(g, a?), BOB, 7)(g < お)とする。このとき, 次の問
いに答えよ。
(1) 直線1と放物線ので囲まれた部分の面積 S。 は -ま(8 — a)* であることを
示せ。
2) 放物線2と, LA, B における放物線2の接線とで囲まれた部分の面積 S。
をga, を用いて表し, 比S」 : S。 を求めよ。
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、指数・対数、整数、微分・積分
2) AG の長さを求めよ。
回 0S ェミーテー において定表される次の関数
了()= cos? x
gO (x)=asin?2x
について, 以下の問いに答えよ。ただし, alta > をみたず定数とする。
() Ar)ニア(x)- のCx)とおいて. ACOOMMEB, 区間(0, -)で
Ala) = 0 となる実数がただ1つ存在することを示せ。
20 a=1048, Ag)ニ 0 (a5) をみたすg を求め、0 =ェミにお
いてyニ=/(x). yーテの(*)およびy 軸で囲まれる部分の面積さを求めよ。
[4] 交交(k。)、y。Jが次の関係式をみたすとする。
SSR Ke 0, 3,7 F0
pas + 1 Q=1. 2. 3、...)
Yass = Xe by, a 1
このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) Xn Syn を示せ。
(2) Yasir > Yn EAS
(3). te4i — ne @ 9 (x。- y。)を示せ。
(4) BOL x.). My DRT SOLU.
問3画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、方程式・不等式、指数・対数、微分・積分
めよ。
(2) (1)で求めた条件をみたす点(g、 ち)の領域を図示せよ。
[4] Ccは. 次の等式をみたす。
f(x)= 3x2 + 4x f" Kg + 4-72)
以下の問いに答えよ。
(1) fx) BRK.
(2) 直線ャー ax と曲線ゞ= fi poate がx+=0の領域において, 異なる3点
で交わるとき, 定数g の値の幼囲を求めよ。
(3) (20の条件をみたす直線と曲線で囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなるよう
な定数 の値を求めよ。