佐賀大学 2011年度 過去問・解答

(1) 中心が点(1, 2), 半径が 3 の円がある。点Pがこの円上を動くとき, 点
A(-3, 6 ) と点P を結ぶ線分 AP を 2 : 1 に内分する点 Q の軌跡を求めよ。
(2) 5 個の数字1, 2 3, 4. 5から異なる 3 個を取って 3 桁の自然数を作る。 3

の倍数にも 5 の倍数にもならないものはいくつあるか。
eee as やM2(365一12)

人AABC の辺 BCの中点をD とする。点 B, Cから対辺またはその延長線上に
垂線 BE. CF を下ろす。へDEF が正三角形となるとき, 乙A の大きさを求め
よ。

一: 2 一 のM2(365一18)

Ei
(1) 正方形ABCD が図のように3つの線 A H D
SEG, FH, CGによって4つの部分に
分割されている。
四角形AEGH は面積が 400 の正方形
になり, 三角形FCGは面積が8にな E G
Bo
このとき, 正方形ABCD の面積を求
2 B F C
(2) 「2116 の正の平方根を求めよ」という問題に対して以下のような答案があっ
た。 この答案の意図を解説せよ。
(BR)
HF 40? < 2116 ぐ50?なので, 2116 一40?三516 を出す。次に516 を2
で割って 258 が出る。 この 258 を 40 で割ると商が 6 で余りが 18 になる。さ
らに余りの 18 に 2 をかければ 36 = 6? となり商の 2 乗が出る。
最後に40*?と6?とから40十6三46 が得られる。
以上により, 求める答えは 46 になる。
—3— M2 (365—14)

ロロ

(1) 定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ。

(i) fx) =2?

(i) f@)=1
(2) KOBRE BE TRE S (x), および定数 を求めよ。

[pare
(等式/7)ーー/ 7のみ を満たす関数(<*) を求めよ。
ー4 一 o\M2G65一5

(1) 定数。 を用いて, sind + cosdEasin(O のの形に表せ。ただし
a>0, 0ミ5ぐ2ァとする。

(2 SOS OET, sind + cos 9 の最大値と最小値を求めよ。

(3) 7王sm9寺cosのとおくとき, sin9・cosのを7を用いて表し, 05082
DIGIC, sin + cos 9 の最大値と最小値を求めよ。

A) = sind + cos とおくとき, sin?9+ cos?を!を用いて表し. 0る9々ァ
の範囲で, sin? + cos!9 の最大値と最小値を求めよ。

oie M3 (365—17)

多項式 /C)ニポーゼー Mae td OWT, f+ VD) =O ID
つとする。ここで, c, 4は有理数とする。 次の問いに答えよ。
(1) S={at+V2b|a, 5は有理数}とする。集合$ぐの元z王o寺2 (ただ
L, a, 5は有理数)に対して, 7(z)ニッーゾ2 1と定義むる。ゞの任意の元
2, のに対して. fle + w) =fl2) + jw) および7(ze)ニ2)7(w)が成り立つ
ことを示せ。
(2) (1を用いて, $ の元々がげ(?) 0 を満たせば, げ7(z))ニ0が成り立つこと
を示せ。このことを用いて, (1 一2 )= 0 を示せ。
(33) 有理数c. を求め, f(x) を有理数の範囲で因数分解せよ。
ome ea OMB (365-18)

_ ft og
ra)= [Pa G>0
を考える。ただし, 対数は自然対数とする。
(1) この定積分をャー ty によって置換することにより,
= トコ * logy
=e! [549 ay + fe dy
4 f' logy ニー logf メニ
) eae dy =~ 7 を示せ。
(3) MBPS’ (1) を求めよ。
(44 BIR F(t) の極値を求めよ。
yt a ぐやM3(365一19)

a b
Wa, b, IHL T, 行列4ニ | | をとる。次の問いに答え
@ Ss b:
ま。
s t
(1) 行列の= | | HUT,
0 gz
s(s?—1) t(s? + ut + su -1)
@-Q=
0 ula? —1)
となることを示せ。
6x y
@) tks yzに対して, 行列セー| | | ees. cOzR, TT
ER DERI IME CHS LEER,
1 0
(@) P= [ ‘| とおくとき, おー P4P-! を求めよ。さらに, 行列
Lp — BY の各成分が整数であることを示せ。
(4 行列年(4 一4)* の各成分が数であることを示せ。
ー 4一 M3 (365—20)

(1) 定数Z,。 ?を用いて, sind + cosé €asin(6+ VOIR. KEL,
a>0, 0ミ5ぐ2ァとする。

(2) 0S @S 7 OMT, sind + cos 9 の最大値と最小値を求めよ。

(3) 7王simの9十cosのとおくとき, sin9・cosのを7を用いて表し, 0の9ミァ
の範囲で, sin9・cosのの最大値と最小値を求めよ。

4) +王sin9二cosのとおくとき, sine + cos?9 を7 を用いて表し, 0 ミミァ
の範囲で, sin*9 + cos39 の最大値と最小値を求めよ。

+ 上 ae やM4(365一22)

多項式 な)ニポーキー 1直すについて, (1/3)ニ0が成り立
つとする。ここで, c, 4は有理数とする。次の問いに答えよ。
(1) $={g+ア2 bla, 5は有理数)とする。集合ぐの元z三e+72 5(ただ
し, a, 5は有理数)に対して, 7(z)ニゥーソ2 5 と定義する。$の任意の元
2, のに対して, f(z + w)=jlz) +i (w) BE j (ew) = j(2)j(w) BLY LD
ことを示せ。
Q) (1)を用いて, S の元zがげ(z)王0 を満たせば, ア7(々))ニ 0 が成り立つこと
を示せ。このことを用いて, fF 一2 ) = 0 を示せ。
(8) 有理数c. のを求め, f(x) を有理数の範囲で因数分解せよ。
me 2a ぐM4(365一23)

平面上の原点をOとし 放物線ターニー<%をCとする。 ただし, 』はーー
より大きい定数とする。Cの点 P(/, んー/?)が7三0の範囲で動くとき OPの長
さが最小となるPをP。 とおく。
(1) Po の座標を求めよ。
OQ) Oとf。を通る直線と。 Pu における Cの接線が直交することを示せ。
8) OとPF。を通る直線の休きが 1 のとき, の値を求めよ。
(4 OとP。を通る直線の傾きが1 OLS, 平面の第 1 RICH, * Hh,
) 軸および放物線 C に接する円のうち小さい方の半径を求めよ。
= 2 M4 (365—24)

c を実数とし, a=c, ggのー 2および
ga2王のarューg。 (n21)
THI a,} を定義する。
(1) ヵ放1のときg。+。ー artes, — ay となることを示せ。
(22) <=ソ2 のとき guw を求めよ。
ー 4一 M4 (365—25)