埼玉大学 2000年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：2項間漸化式 a_n+1 = 4a_n + 7 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。

1. なぜその一手を選ぶのか

a_n+1 = pa_n + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 4 なので、その道は使えません。

次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して a_n+1 + β = 4( a_n + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 4a_n + 4β なので、4β − β = 7 、つまり β = 73 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。

2. 解答

1. 両辺に 73 を足すと a_n+1 + 73 = 4( a_n + 73 ) 。
2. よって数列 { a_n + 73 } は公比 4 の等比数列。
3. 初項は a₁ + 73 = 3 + 73 = 163 。
4. したがって a_n + 73 = 163 · 4ⁿ⁻¹ 。

答え： a_n = 163 · 4ⁿ⁻¹ − 73

3. 検算（ここまでを1セットにする）

n = 1： 163 × 1 − 73 = 3 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 4 × 3 + 7 = 19 。一般項からは 163 × 4 − 73 = 19 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。

この型の一般化： a_n+1 = pa_n + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（a_n+1 = pa_n + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pⁿ⁺¹ で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。