埼玉大学 2003年度 過去問・解答

埼玉大学2003年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1] メネラウスの定理とベクトルの併用

三角形ABCにおいて、AB = p、AC = q とします。辺AB上に AD : DB = 1 : 2 となる点D と AE : EB = 2 : 1 となる点E、辺AC の中点をF とし、直線CD と直線EF の交点を H とします。

(1) AH を p, q で表す

メネラウスの定理で比を求める

三角形 ADC と直線 EF（E, H, F が一直線）にメネラウスの定理を適用します。

(ED/AE) × (HC/DH) × (FA/CF) = 1

AB の長さを 3 とすると AD = 1、AE = 2 なので ED = AE − AD = 1、したがって ED/AE = 1/2。

F は AC の中点なので FA/CF = 1。代入して

(1/2) × (HC/DH) × 1 = 1　⇔　HC : DH = 2 : 1

内分点の公式で AH を出す

H は線分DC を DH : HC = 1 : 2 に内分するので

AH = (2·AD + 1·AC)/3 = (AC + 2AD)/3

AD = (1/3)AB = (1/3)p、AC = q なので

AH = (1/3)q + (2/3)·(1/3)p

メネラウスの定理は「三角形を1本の直線が横切るとき、3つの比の積が1」という形です。どの三角形とどの直線に適用するかを決めるのが最初の関門。ここでは「求めたい比 HC : DH を含む三角形」を選びます。

(2) 直線AH と辺BC の交点 I、およびベクトル HI

I は直線AH 上なので、実数 a を用いて AI = a·AH と書けます。

AI = (2a/9)p + (a/3)q

I は辺BC 上にあるので、AI = s·p + t·q と表したときの係数の和が1でなければなりません（B, C, I が一直線上にある条件）。

2a/9 + a/3 = 1　⇔　(2a + 3a)/9 = 1　⇔　(5/9)a = 1　⇔　a = 9/5

したがって

AI = (2/9)(9/5)p + (1/3)(9/5)q = (2/5)p + (3/5)q

最後に HI を求めます。

HI = AI − AH = (2/5 − 2/9)p + (3/5 − 1/3)q

2/5 − 2/9 = (18 − 10)/45 = 8/45、3/5 − 1/3 = (9 − 5)/15 = 4/15 なので

検算：AI の係数の和は 2/5 + 3/5 = 1 ✓（I が直線BC上にあることの確認）
また HI = (4/5)AH であるはずです（AI = (9/5)AH なので HI = AI − AH = (4/5)AH）。実際 (4/5)(2/9, 1/3) = (8/45, 4/15) ✓ 一致します。

この年の学習ポイント

この問題は初等幾何（メネラウス）とベクトルの合わせ技です。

(あ) メネラウスの定理で「交点が線分をどう分けるか」を求める
(い) その比を使って、内分点の公式でベクトル表示する

ベクトルだけで解こうとすると、H を2通りに表して係数比較する必要があり、連立方程式が発生します。メネラウスで比を先に確定させれば、その手間が省けます。

(2) の 「点が辺BC上 ⇔ 係数の和が1」は、平面ベクトルで最も使う判定条件です。逆に「係数の和が1でない」なら直線BC上にはない、という判定にも使えます。必ず反射的に出るようにしておいてください。

埼玉大学2003年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。