滋賀大学 2007年度 過去問・解答

滋賀大学2007年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] 1次式が加わった漸化式を、等比数列に帰着させる

a₁ = 2、a_n+1 = 2a_n − 2n + 1 で定まる数列 {a_n} を考えます。b_n = a_n − (αn + β) とおいたとき {b_n} が等比数列になるような α, β を求め、一般項と和を出します。

(1) α, β を決める

{b_n} が公比 r の等比数列だとすると b_n+1 = r·b_n、すなわち

a_n+1 − {α(n+1) + β} = r{a_n − (αn + β)}

a_n+1 について解くと

a_n+1 = r·a_n + (1 − r)αn + (1 − r)β + α

これが与えられた a_n+1 = 2a_n − 2n + 1 とすべての n について一致するので、係数を比較します。

r = 2 を代入すると (1 − 2)α = −α = −2 より α = 2。

(1 − 2)β + 2 = −β + 2 = 1 より β = 1。

漸化式に n の1次式が加わっている場合は、a_n − (αn + β) とずらすのが定石です。定数項だけがずれている（a_n+1 = pa_n + q 型）なら特性方程式で済みますが、n が入ると1次式でずらす必要があります。

(2) 一般項 a_n

b_n = a_n − (2n + 1) なので、初項は

b₁ = a₁ − (2 + 1) = 2 − 3 = −1

公比は r = 2 なので b_n = −1 × 2ⁿ⁻¹ = −2ⁿ⁻¹。

a_n = b_n + 2n + 1 に戻して

検算：a₁ = −1 + 2 + 1 = 2 ✓　a₂ = −2 + 4 + 1 = 3。漸化式からも a₂ = 2·2 − 2 + 1 = 3 ✓　a₃ = −4 + 6 + 1 = 3、漸化式では 2·3 − 4 + 1 = 3 ✓

(3) 和 S_n

S_n = Σ_k=1ⁿ(−2^k−1 + 2k + 1) と、3つの部分に分けて計算します。

等比部分：Σ_k=1ⁿ(−2^k−1) は初項 −1、公比2の等比数列の和なので

= −1 × (2ⁿ − 1)/(2 − 1) = −(2ⁿ − 1)

等差部分：Σ_k=1ⁿ2k = 2 · n(n+1)/2 = n(n + 1)

定数部分：Σ_k=1ⁿ1 = n

合計すると

S_n = −(2ⁿ − 1) + n(n + 1) + n = −2ⁿ + 1 + n² + n + n

検算：n = 1 なら −2 + 1 + 2 + 1 = 2 = a₁ ✓　n = 2 なら −4 + 4 + 4 + 1 = 5 = 2 + 3 ✓　n = 3 なら −8 + 9 + 6 + 1 = 8 = 2 + 3 + 3 ✓

この年の学習ポイント

漸化式 a_n+1 = pa_n + f(n) の攻略法を整理しておきます。

f(n) が定数のとき：特性方程式 x = px + q の解 x = c を使って a_n+1 − c = p(a_n − c)
f(n) が n の1次式のとき：a_n − (αn + β) とおいて係数比較
f(n) が n の2次式のとき：a_n − (αn² + βn + γ) とおく

いずれも「ずらすことで等比数列に化ける形を探す」という同じ発想です。この問題では α, β を求めさせる誘導がついていますが、誘導なしでも自分で「1次式でずらす」と決められるようにしておきましょう。

滋賀大学2007年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。