滋賀大学 2011年度 過去問・解答

滋賀大学2011年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[I] 1 から 2n までの整数から3個選び、等差数列になる確率

1, 2, 3, …, 2n の 2n 個の整数から異なる3個を選びます。

(1) 公差2の等差数列になる選び方

小さいほうから順に書き出してみます。

「1, 3, 5」「2, 4, 6」「3, 5, 7」…「2n−4, 2n−2, 2n」

3数のうち最も小さい数に着目すると、1 から 2n−4 まで1ずつ増えていきます（最大の数が 2n を超えないため、最小の数は 2n−4 まで）。

(2) 等差数列になる確率

公差 k のときの個数

まず公差の範囲を押さえます。公差 k の3数は「a, a+k, a+2k」で、最大の a + 2k が 2n 以下でなければなりません。a ≧ 1 なので 2k + 1 ≦ 2n、すなわち k ≦ n − 1/2。k は整数なので 1 ≦ k ≦ n − 1。

公差 k のときは (1) と同じ数え方で

「1, k+1, 2k+1」「2, k+2, 2k+2」…「2n−2k, 2n−k, 2n」

と並び、2n − 2k 個あります。

合計を求める

Σ_k=1ⁿ⁻¹(2n − 2k) = 2n(n − 1) − 2 · {(n−1)n/2} = 2n(n−1) − n(n−1)

= n(n − 1)

別の見方をすると、2n − 2k は k = 1 のとき 2n−2、k = n−1 のとき 2 という等差数列です。項数 n−1、初項 2n−2、末項 2 なので和は (n−1)(2n−2+2)/2 = n(n−1) ✓ 同じ結果です。

全体の場合の数

2n 個から3個選ぶので

_2nC₃ = 2n(2n−1)(2n−2)/(3·2·1) = (2/3)n(n−1)(2n−1)

確率

n(n−1) ÷ {(2/3)n(n−1)(2n−1)}。n(n−1) が約分されて

検算：n = 3（1〜6から3個選ぶ）のとき、等差数列は「1,2,3」「2,3,4」「3,4,5」「4,5,6」（公差1）と「1,3,5」「2,4,6」（公差2）の計6個。公式 n(n−1) = 6 ✓　全体は ₆C₃ = 20 なので確率 6/20 = 3/10。公式 3/{2(2·3−1)} = 3/10 ✓
n = 4 でも 12/56 = 3/14 = 3/{2·7} ✓ と一致します。

この年の学習ポイント

この問題の型は「まず具体的に書き出し、規則を見つけ、一般化する」という素朴な手順そのものです。

(あ) (1) で公差2の場合を実際に並べ、「最小の数が動ける範囲」が答えだと気づく
(い) (2) でそれを公差 k に一般化し、2n − 2k 個と表す
(う) k の動く範囲を「最大の数が 2n を超えない」条件から決める
(え) Σ で合計し、₂ₙC₃ で割る

特に (う) の k ≦ n − 1 という上限を正しく出せるかが分かれ目です。「公差が大きすぎると3つ目が範囲外に出る」という当たり前の事実を、不等式に翻訳してください。

答えが n(n−1) というきれいな形になるのも印象的です。数え上げの結果が単純になったら、より直接的な数え方があるはずと考える習慣も大切です（実際、等差数列は「両端の2数の平均が真ん中」なので、両端が同じ偶奇である組の個数 2 × ₙC₂ = n(n−1) と数えることもできます）。

滋賀大学2011年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。