信州大学 2005年度 過去問・解答

信州大学 教育学部 2005年度（平成17年度）前期日程 数学の全問解説です。「数学①」（4題）と「数学②」（2題）の2つの冊子が出題されていますが、数学②の2題は数学①の【3】【4】とまったく同じ問題なので、まとめると全4題10小問になります（各問75点）。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（60万点での不等式の判定・三角形を300通り取った共線の確認・400通りの での垂直二等分線の確認・5万通りの での条件判定） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 4題とも「置き換え」で見通しがよくなる問題です。【1】は 、【4】は と、問題文が置き換えを指示してくれています。置き換えたあとに「新しい文字の範囲」を書き添えられるかが、【1】の (2)(3) で効いてきます。
• 【2】【3】は「示せ」の問題で、書き方の自由度が高いのが特徴です。【2】は を で表す形にすれば1行で終わり、【3】は「2点から等距離」を使うと計算が軽くなります。方針の選び方でかかる時間が倍以上違います。
• 【4】(3) は「すべての で成り立つ」の扱いが山場です。 が の偶奇で式が変わるので、条件も偶数のときと奇数のときで分けて考え、両方を同時にみたす を求めます。片方だけ見ると答えが広がりすぎます。

【1】指数関数（置き換え）

(1) 方程式

【型】 とおく。、 に直す。

【なぜこうするか】　、 なので、この式は だけでできています。置き換えれば普通の2次方程式で、そのとき という条件が自動的に付いてきます。

(2) 不等式

【型】2つの不等式に分けて解き、 と合わせて共通部分をとる。

【なぜこうするか】　 は「 かつ 」の2本です。それぞれ の2次不等式になるので別々に解き、最後に も含めて共通部分をとります。 から に戻すのは、そのあとです。

検証　 を60万分割し、 の成否と上の範囲が完全に一致することを確認しました（）。

(3) での最大・最小

【型】 の範囲を の範囲に翻訳してから、2次関数の最大最小。

【なぜこうするか】　 は増加関数なので、 は に翻訳できます。あとは区間つきの2次関数の最大最小で、頂点が区間内かどうかを見るだけです。

検証　 を60万分割して を計算し、最大 （）、最小 （）を得ました。 と一致します。

【2】位置ベクトルと共線

(1) 3つのベクトル

【型】内分は 、外分は 。

【なぜこうするか】　位置ベクトルで各点を書いてから を引けば になります。外分は「内分の を にしたもの」と覚えておくと、公式を1つ覚えるだけで済みます。

(2) 3点が一直線上にあること

【型】 で なら、P は直線 QR 上。

【なぜこうするか】　 と が平行であることを示す方法もありますが、「係数の和が1なら直線上」という判定を使うと、答案が一気に短くなります。(1) で3本そろえておいたのは、この形にするためです。

検証　三角形の3頂点をランダムに300通り取り、P, Q, R を作って と の外積を計算したところ、すべて0（誤差 未満）でした。また となることも確認しています。

【3】垂直二等分線と回転

(1) の方程式

【型】垂直二等分線は「中点を通り、その線分を法線ベクトルとする直線」。

【なぜこうするか】　傾きを求めて点傾き形で書く方法もありますが、 のときに傾きが定義できない場合が出ます。法線ベクトルを使えば場合分けが不要です。
なお A も B も原点から距離1なので、原点は必ず 上にあります。答えが定数項0になるのはそのためです。

(2) が線分 PQ の垂直二等分線であること

【型】垂直二等分線＝「2点から等距離の点の集合」。異なる2点で等距離を示せば十分。

【なぜこうするか】　「PQ の中点を通り、PQ に垂直」を直接示してもよいのですが、計算がやや重くなります。「線分 PQ の垂直二等分線は、P と Q から等距離にある点の集合」という言い換えを使えば、 上の異なる2点で を確かめるだけで済みます（直線は2点で決まるため）。
ここでは 上の点として原点 O と、もう1点をとります。

この問題の背景　 の座標は、 を「原点のまわりに 回転してから 軸で折り返した」点になっています。この変換は原点を通る傾き の直線に関する対称移動で、その直線こそが です。だから P と Q は に関して対称、つまり が PQ の垂直二等分線になります。

検証　 をランダムに400通り取り、PQ の中点が 上にあること、 が と垂直であることを確認しました（いずれも誤差 未満）。

【4】連立漸化式と不等式

(1) と の関係式

【型】指示された置き換えを、漸化式にそのまま代入する。

【なぜこうするか】　 を漸化式に入れるだけです。 の項がきれいに消えるように が設計されているので、代入すれば定数だけが残ります。

(2) を求める

【型】 は、2つ先を見ると （周期2）。

【なぜこうするか】　公比が の形なので、1つ進むと符号が変わり、2つ進むと元に戻ります。つまり は2つの値が交互に並ぶだけ。 と を計算すれば全部決まります。

1つの式にまとめると　 を使って と書くこともできます（ が奇数なら 、偶数なら になります）。検証　 について漸化式から まで実際に計算し、この式と完全に一致することを確認しました。

(3) となる

【型】 が偶奇で変わるので、条件も偶奇に分けて書き、両方の共通部分をとる。

【なぜこうするか】　、 はどちらも の1次式ですが、 は偶奇で式が違います。「すべての 」は「すべての奇数 」かつ「すべての偶数 」なので、2つに分けて条件を出し、最後に共通部分をとります。

検証　 を5万分割し、各 について から まで を判定したところ、成り立つ範囲がちょうど であることを確認しました。

この年度で身につく「型」の一覧

検証について

この記事の数値は、次の3段階で確かめています。

1. 当塾で独立に解く（解答を見ずに、まず自分で最後まで解く）
2. Python による独立検算　【1】は60万点で不等式の成否と最大最小を走査。【2】は三角形を300通り取って3点の共線を確認。【3】は を400通り取って中点と垂直性を確認。【4】は4つの で まで漸化式から計算して一般項と照合し、さらに5万通りの で条件を判定。
3. 別解での全問確認（10小問すべて一致）

なお、この年度は「数学①」（4題）と「数学②」（2題）の2冊子構成ですが、数学②の【1】【2】は数学①の【3】【4】とまったく同じ問題です。本ページでは重複を1つにまとめて4題として扱いました。