藤原進之介です。このページでは信州大学2008年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
📑 この年度の大問インデックス（全4問）
解説が長いので、解きたい大問へ直接移動できるようにしています。解けなかった問題は、解説を読んだあとに同じ型の問題で当て直すと定着が速くなります。
🧭 信州大学 2008年度｜大問ごとに「使う型」を対応させた表
解けなかった大問がどの型に属するのかを一覧にしました。解説を読んだあと、型のページで同じ判断を使う問題を数問当てると定着が速くなります。この年度は難易度と目標時間を掲載していないため、それらは載せていません。
型の全体像は解法パターン事典、他の年度・他大学は過去問解説の総索引から。信州大学の年度一覧は各ページ末尾のナビでも確認できます。
信州大学 教育学部 2008年度（平成20年度）前期日程 数学の全問解説です。「数学①」（4題）と「数学②」（2題）の2つの冊子が出題されていますが、数学②の2題は数学①の【2】【4】とまったく同じ問題なので、まとめると全4題7小問になります（各問75点）。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（ から までの実際の和・144万点の格子での最小値の走査・200万点での最大値の走査・7万通りの で条件を判定） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
| 大問 | 分野 | 答え |
|---|---|---|
| 【1】 | 数列（ の和） | 証明 |
| 【2】 | 空間ベクトルの長さの最小 | ／最小値 |
| 【3】 | 2曲線が囲む領域と線形計画法 | 最大値 （与える点は2つ） |
| 【4】 | 3次関数の増減と符号 | または |
この年度の傾向（3行）
- 4題とも「手を動かせば必ず進む」構成です。奇をてらった設定はなく、数列の和・ベクトルの最小・領域と最大値・3次関数の増減という定番が並びます。誘導も素直なので、計算を最後まで正確に運べるかで差がつきます。
- 【3】は「最大値を与える点が2つある」という珍しい答えです。領域の左上の境界に接するときと、右端の角を通るときで、値がぴったり一致します。片方だけ書くと不十分なので、候補を全部調べる姿勢が問われます。
- 【4】は最小値の候補が2つある形です。 での最小値は「 での値」と「 での極小値」のどちらか。その2つの大小を で場合分けするところが山場で、これは教科書の章末問題ではあまり練習しない形です。
【1】数列（1, 11, 111, … の和）
数列 を次のように定める。 このとき、 を示せ。
和の公式の証明
【型】「111…1」は 。まず一般項を式で書くところから始める。
【なぜこうするか】 のままでは足し算ができません。しかし なので、その 倍だと気づけば一般項が式になります。そこまで来れば、あとは等比数列の和の公式1本です。
は1が 個並んだ数だから （ としてもよい。）よって ここで だから
検証 から まで実際に を計算すると となり、右辺の式の値と一致します（この和が と並ぶのは、この問題の隠れた面白さです）。
【2】空間ベクトルの長さの最小
空間内に3点 がある。このとき、ベクトル の長さを とおく。
(1) を固定して を変化させるとき、 が最小となる を で表せ。
(2) の最小値を求めよ。
(1) を固定したときの最小
【型】 ではなく を扱う。2変数のときは片方を定数と見て平方完成。
【なぜこうするか】 根号のまま扱うのは面倒ですが、 なので が最小 ⟺ が最小です。成分で書けば は の2次式になり、 を定数と見て について平方完成すれば頂点がそのまま答えになります。
だから よって について平方完成すると を固定すると、これは のとき最小になる。
(2) の最小値
【型】(1) の残りをさらに平方完成。2変数の最小は「1文字ずつ」で処理できる。
【なぜこうするか】 (1) で についての最小はもう終わっているので、残った だけの式を最小にすればそれが全体の最小です。2変数の最小値は、こうして1文字ずつ潰していけば求まります。
(1) より、 を固定したときの の最小値は これは のとき最小値 をとる。よって よって の最小値は 。 （このとき で、ベクトルは 。）
検証 をそれぞれ から まで1201分割（約144万点）した格子で を計算し、最小が （）で 付近であることを確認しました。 と一致します。
【3】2曲線が囲む領域と最大値
2つの曲線 と で囲まれる領域を とする。
(1) を図示せよ。
(2) 点 が 上を動くとき、 の最大値と、最大値を与える点 を求めよ。
(1) 領域 の図示
【型】まず交点を出し、次に3次関数の増減を調べて、上下関係を確定させる。
【なぜこうするか】 2曲線の交点は から求まります。因数分解できる形に整理するのがポイントで、 となり交点は3つ。3つあるので、囲まれる部分も2か所に分かれます。
交点の 座標は より 。
また とおくと だから、 は で極大値 、 で極小値 をとる。
の符号を調べると よって は次の図の水色部分（2つの部分が の交点でつながった形）である。
(2) の最大値
【型】 を直線と見て動かす。候補は「境界に接するとき」と「角を通るとき」。
【なぜこうするか】 は傾き の直線で、 は 切片の 倍。だからこの直線を平行に動かして、 と共有点をもつ最も上の位置を探せばよいことになります。候補は「曲線に接する」か「領域の角（交点）を通る」かの2つです。
とおくと、これは傾き の直線である。図より、 が最大になる候補は
・曲線 に接するとき
・領域の右端の角 を通るとき
の2つ。
[i] 接するとき より 図から採用できるのは 。このとき [ii] 点 を通るとき 2つの値は一致する。よって よって最大値は 、 であり、最大値を与える点は の2つである。
検証 を200万分割し、各 について領域の上端の を取って を計算しました。最大値は で、 と一致します。
また、答えが2点になることを見落とすのもよくあります。値が偶然一致するので、両方とも答えです。
【4】3次関数の増減と符号
とする。ただし とする。
(1) の増減を調べ、極大値、極小値があればそれらを で表せ。
(2) に対し となる の値の範囲を求めよ。
(1) 増減と極値
【型】 を因数分解する。2つの解の大小関係で場合分けする。
【なぜこうするか】 は と因数分解できます。解が と なので、条件 は「」を意味します。等号のとき（）は重解になって極値が消えるので、そこだけ別扱いです。
[i] のとき だから、増減は次のようになる。
| 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
極大値は 極小値は [ii] のとき だから は単調増加で、極値はない。
(2) で となる
【型】「つねに0以上」＝「最小値が0以上」。最小値の候補を絞り、その大小で場合分けする。
【なぜこうするか】 での最小値の候補は、区間の左端 と、極小点 の2つだけです（ では ）。どちらが小さいかは の符号で決まるので、そこで場合分けするのがいちばん短くなります。
で となることは、 での の最小値が0以上であることと同値である。
[i] のとき は単調増加だから最小値は 。よって適する。
[ii] のとき (1) より での最小値は と のうち小さい方である（ のときは で が唯一の極小点、 のときは と が候補）。ここで だから、次のように場合分けできる。
・ のとき なので最小値は 。つねに条件をみたす。
・ のとき なので最小値は 。条件は の解は だから 以上をまとめると（ に注意して）
検証 を7万分割し、各 について の4000点で の最小値を計算して、上の範囲と一致することを確認しました（境界の2点を除いてすべて一致）。境界は と です。
この年度で身につく「型」の一覧
| 問 | 型 |
|---|---|
| 【1】 | 「111…1」は 。まず一般項を式にする |
| 【2】(1) | 長さの最小は2乗で考える。2変数は1文字ずつ平方完成 |
| 【2】(2) | 残った1文字の式をさらに平方完成すれば全体の最小 |
| 【3】(1) | 交点は因数分解できる形に整理してから解く |
| 【3】(2) | の最大は、直線を平行移動して境界に触れる位置を探す |
| 【4】(1) | を因数分解し、2解の大小で場合分け |
| 【4】(2) | 「つねに0以上」＝「最小値が0以上」。候補の差の符号で分ける |
検証について
この記事の数値は、次の3段階で確かめています。
- 当塾で独立に解く（解答を見ずに、まず自分で最後まで解く）
- Python による独立検算 【1】は から まで実際に足し算。【2】は の格子144万点で を走査。【3】は を200万分割して領域の上端での値を走査。【4】は を7万通り取り、各 で の最小値を計算して条件を判定。
- 別解での全問確認（7小問すべて一致）
なお、この年度は「数学①」（4題）と「数学②」（2題）の2冊子構成ですが、数学②の【1】は数学①の【2】と、数学②の【2】は数学①の【4】とまったく同じ問題です（数学②の【1】は小問に分かれておらず「最小値を求めよ」だけになっています）。本ページでは重複を1つにまとめて4題として扱いました。
信州大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 信州大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
信州大学 数学 過去問｜他の年度を見る
信州大学の数学の過去問は23年度ぶんを公開しています。そのうち4年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
信州大学 2008年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 空間図形
- ベクトル
- 確率・場合の数
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2008年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、指数・対数、空間図形に関する語句や設問を確認できました。信州大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、微分・積分は23年度、関数・グラフは23年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、ベクトル、空間図形、図形・三角関数、微分・積分
(2) d の最小値を求めよ.
平成 20 年度信州大学教育学部入学者選抜試験
(配点 75点)
2 つの曲線 ヵ=ァ2? と=ニッ?ー3z十3 で囲まれる領域を LTS. 次の問に答えよ.
(1) D を図示せよ.
(2) 点 (, 9) が の 上を動くとき, 3c+4y の最大値と最大値を与える点 (z, y) を求めよ.
(配点 75点)
fl) = Fat (tals? + dar + a? とする. ただし, aS1 とする. 次の問に答えよ.
(1) y=f(c) の増減を調べ, 極大値, 極小値があればそれらを a THE.
(2) z=0 に対し 7(z) = 0 となる a の値の範囲を求めよ.
問2画像OCR
検出分野: ベクトル、関数・グラフ、空間図形、微分・積分
(2) <ミ0 に対し f(c) 20 となる a の値の範囲を求めよ.
問3画像OCR
検出分野: 指数・対数、数列、整数、方程式・不等式
gm tba +c, =atbte
2an — ba — Cn = (-3'w ー5ー9
(2) Jim g を求めよ
(配点 75:8)
ヵ は自然数とする. 次の問に答えよ.
(1) z> 0 のとき, 不等式
Vz >log(z十1)
が成り立つことを示し。 Jim + tog (n+) を求めよ.
ュ
(2) 1-ye=t と層換して, / (1-va)" dg を求めよ。
1 o
@) mm (/ (1-vz)" ae) を求めよ
問4画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、指数・対数、確率・場合の数、関数・グラフ
(2) 赤玉が5 個以上取り出される確率を求めよ。
(3) 取り出きれる赤玉の個数の期待値を求めよ。
7 は正の定数とする。半径 r の円に内接する正三角形 ArBiG+ の面積を 9 と
し, 正三角形 AiBiC」 の内接円 0,の面積を 71 とする。 次に, AO. に内接す
る正三角形 AB2C。 の面積を 8。 とし, 正三角形 AaBzC。 の内接円 O。 の面積
を 75 とする。きさらに同様の操作を繰り返してできる円 O。-」 に内接する正三角
形 AaB。C。の面積を 5$。とし, 正三角形 AB。C。の内接円 O。 の面積を 7。 と
する。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) Sn, Tn を を用いて表せ。
(2) Un = 5。 一7とおく。このとき,。 AOU. en を用いて表せ。
kal
座標平面上に相異なる 3 点 A(0, a), B(0,), C(1, 0) をとる。ある行列 P TH
される移動によって, MA, B はそれぞれ点 A', B' に移り, AC は動かないと
する。そのような行列 P のうち三角形 A'B'C が正三角形となるものをすべて求
めよ。
ーー
回 対数は自然対数とする。曲線 〇 :り=1logz 上の点 P(u,logu) (u>1) におけ
る接線, 曲線 の, および直線 = 1 で囲まれた図形の面積を 9」(x) とする。また
点 A(1, 0) と点 P を結線分。 および曲線 の で囲まれた図形の面積を S。(x) とす
Bo Su) = 91(t) - Sou) とおくとき, 次の問いに答えよ。
(1) PBR S(u) を求めよ。
(2) 曲線 ゃ= S(u) の変曲点を求めよ。
(3) 関数 S(u) はただ 1 つの極大値をもち, その値は正であることを示せ。
ーー
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、空間図形、指数・対数、微分・積分
数 = (4枚中1枚目)
Q) sin 20°+sin 40° = sin 80° であることを示せ。
(2) 空間に定点 A(0, 4, 2), B2V3, 2, 2) CHR PO, 0, ヵ) がある。ンAPB の大きさの (0S OSz) の最大値と.そのときのゎの
値を求めよ。
(3) logs12 は有理数でないことを示せ。
ze | eR | eae | pee | BOE Biwi) Pid 1
= Z)we EE ce ee om ried 人きすTi 得点 |
平成20年度工学部前期日程入学試験問題
数 学 (4 枚中2 枚目)
a, 5は正の定数とする。関数ゅ一ァ2ー be の最大値が2, 最小値が ー /3 となるようにga。 ちの値を求めよ。
志 思 ER 44 i eel ye | BOR Bel Eid i 4
ーー り 取 り 線 Sa
=e 1 電気 i | yap | 環境 gwmei iii i ,
平成20 年度工学部前期日程入学試験問題
数 = (4 枚中 3 A)
HER Ky =cosae (—Esxst) Ly MLORAEPEL, MRK LEAP EMESROC, cos2l) ELS. BPO の垂直2 等
PC y HHERDSMEREDS,
1) ARO y Re t CACHE,
©) 2HP, Qを通り, AP CHARA と共通な接線をもつ円を C とする。点Qが点Pに限りなく近づくとき, 円どの半算ヶはどのような
値に近づくか。
志 BR fee | el ee | 1 環境 eel iii di a
PE B)aw BE oe wm om Be eer ei iil an
semistitaatgnais delat apemndienenc eee BP OL Up pl onedans enone Ss Sanat ann
ze PM oe | ange | tye | BOE Bel Eid a
LS 2 | wm wep OR ME ge ga(Pii | 得点 3
平成20年度工学部前期日程入学試験問題
数 = (4 枚中 4 枚目)
S(a)= [\lat-2rtalde (<a<l) を最小とする々の値を求めよ。
& 2 HR 物質 | BOR Bel fii i 4
ニニニニ ine
a2 [RS eee | ce | copie | 受験|] Pid | axe