藤原進之介です。このページでは信州大学2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 3an + 5 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 3 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 3( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 3an + 3β なので、3β − β = 5 、つまり β = 52 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 52 を足すと an+1 + 52 = 3( an + 52 ) 。
- よって数列 { an + 52 } は公比 3 の等比数列。
- 初項は a1 + 52 = 6 + 52 = 172 。
- したがって an + 52 = 172 · 3n−1 。
答え： an = 172 · 3n−1 − 52
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 172 × 1 − 52 = 6 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 3 × 6 + 5 = 23 。一般項からは 172 × 3 − 52 = 23 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
信州大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 信州大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
信州大学 数学 過去問｜他の年度を見る
信州大学の数学の過去問は23年度ぶんを公開しています。そのうち4年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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信州大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 図形・三角関数
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 整数
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式、関数・グラフ、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。信州大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、微分・積分は23年度、関数・グラフは23年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、方程式・不等式、図形・三角関数、関数・グラフ
(2) Sy : Sp: Sy BRD.
(RA 7588)
< は0くっ< 9 OMMEB<SETS, COLE, KOMICBAL.
1 1 a ms
& バ a 示せ.
(1) 不等式 ato as ミ1 が成り立つことを示せ
(2) 14-2 2k SHED の最大値を求めよ
2 9-4r
平成 21 年度信州大学教育学部入学者選抜試験
(配点 75点)
zc の方程式
(セーcos9+ V3 sin0) + 4sin?9-2=0 es の
. について, 次の問に答えよ. ただし, 0 <9<180" とする.
(1) 1が実数解をもつとき, 9 の範囲求めよ.
(2) (1)のとき, 実数解を e. BETS. 6 を(1)の範囲で変化させるとき, 07 +8? OF
大値と最小値を求めよ.
(配点 75点)
2 つの放物線
の : y=22? +a, a>0 -
Co : 9gニーz2ー1
について, 次の問に答えよ.
(1) 放物線 の, Cy の 2 本の共通接線の方程式を求めよ.
(2) 2 本の共通接線と の,で囲まれる部分の面積を 5」, 2 本の共通接線と C。 で囲まれる
部分の面積を 9。 ETS. 5 : So を求めよ.
問2画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ
(2) 5, : Sg: Sy を求めよ-
(上 753%)
正の定数 m に対して, 放物線 y=m2? を 〇O とする. 〇 上の異なる2点A, BIC
おける C の接線が点 P で直交しているとする. C と直線 AB で囲まれる部分の面積を
S;, AAPB の面積を 5。 とするとき, 次の問に答えよ.
(1) Sy: So を求めよ.
(2) 5 の最小値を求めよ.
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ
(2) f(z) が極大となる > を=p とし, 曲線 ご :ッ=げ(z) LOR (p, f(p)) EP, 変曲
点を Q とする. MF OP, OQ および で囲まれる図形の面積を求めよ. KEL, O
は原点である.
(配点 7558)
a>0, の>0 とする. 2 つの曲線 ヵ= oz2, c= fy? の交点のうち, 原点でないほうを
P とする. 次の間に答えよ.
(1) 2 つの曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ.
(2) (1) の面積が定数 に等しいように o, が変化するとき, AP の軌跡を図示せよ.
問4画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、方程式・不等式
(2) a, 5は 2 以上の自然数で最大公約数が 1 であるとする。このとき, ak be
求めよ。
=
の
数 {an}, {og} ほう)er =n?, Sip =2" を満たすものとする。このとき」
次の和を求めょ。 I
(1) (ax)?
=
(2) ex)?
k=l
8) Sarde
k=1
=a—
i
a FEKETE. FER
|x® — 32? + 2] - a(x +1)-2=0
の異なる実数解の個数を求めよ。
問5画像OCR
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、数列、微分・積分
数 学 (4枚中 1 枚目)
(1 cos2z 一sinz寺1を解け。ただし, 一ミッミァとする。
(2) (logiox)** = x? EMIT. REL, ょ>1 とする。 2つある対数は, いずれも10を底とする>の対数である。
(3) m, m Ik ODES LIK OR BRR LIS. HLA B Orin と Osh 85 X Orin = Osinn を満たすとき, my なの値を求めよ。
ーー
平成21年度工学部前期日程入学試験問題
数 Ba (4 枚中 2 枚是)
BOI {a,} において Sa = ar + a2 taste + dn EBS o Sx =2dn— n(n tl) (カー1 2。 3 ......)のとき。 一般項 an を求めよ。
& 電気 i | ype | BH Ea ly
EE ap tk BR OR ge gallo | 得点
ーー一切 り 取り 導一ーーーーーーー oe -
= B| | 電気| | j | 環境 BR 1 A
SA OR gp bk wR om ee gait ooo | 得点 」 2
平成21年度工学部前期日程入学試験問題
数 学 (4 枚中 3 BE)
a 5 は正の数とする。すべての> 0に対して づ土6二の々ー26 が成り立つとき, 5の隊係を求めよ。
本 2B) || ae
BEDI oe |
nnn ーー
志 2 THEM | a | eae | oper | BRR Bel fii i F _
EDIE ae | 物質 Be peril iil 得点 3
平成21年度工学部前期日程入学試験問題
数 学 (4 枚中 4 BCA)
0ミ2ミ1 とする。 曲線リーダー(2十102十(2十1z と直線 ?ーァで囲まれた部分の面積 さ(Z) について次の問いに答えよ。
1) S(2) を 2 で表せ。
2) S(a) を最小にする 6の値を求めよ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーー 切り 取り 株ーーーーーーーー... Co