藤原進之介です。このページでは上智大学2017年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
10 個の数字 1, 2, …, 10 から異なる 4 個を選んで並べる。
奇数が少なくとも1個含まれる並べ方は何通りあるか。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
上智大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
[1](1) 指数が対数になっている不等式
x^(log₃x³) ≧ (27/x²)³ を解きます。
まず真数条件・底の条件
対数 log₃x³ の真数は x³ > 0、すなわち x > 0。この条件のもとで両辺はともに正なので、対数をとることができます。
両辺の底3の対数をとる
log₃ は単調増加なので、不等号の向きは変わりません。
log₃{x^(log₃x³)} ≧ log₃{(27/x²)³}
左辺：log₃(A^B) = B·log₃A の形なので
= (log₃x³) × log₃x = 3log₃x × log₃x = 3(log₃x)²
右辺：
= 3·log₃(27/x²) = 3(log₃27 − log₃x²) = 3(3 − 2log₃x)
t = log₃x とおいて2次不等式に
3t² ≧ 3(3 − 2t) ⇔ t² ≧ 3 − 2t ⇔ t² + 2t − 3 ≧ 0
(t − 1)(t + 3) ≧ 0 ⇔ t ≦ −3 または t ≧ 1
x に戻す
t = log₃x ≦ −3 ⇔ x ≦ 3⁻³ = 1/27
t = log₃x ≧ 1 ⇔ x ≧ 3
真数条件 x > 0 と合わせて
答 0 < x ≦ 1/27、または 3 ≦ x
検算：数値で確認しました。
x = 0.02 → 左 1.41×10¹⁸ ≧ 右 3.08×10¹⁴ ✓（成立）
x = 1/27 → 左右とも 7.63×10¹²（等号成立）✓
x = 0.05 → 左 4.40×10¹⁰ < 右 1.26×10¹² ✗（不成立、境界の外）✓
x = 3 → 左右とも 27（等号成立）✓
x = 2.9 → 左 22.1 < 右 33.1 ✗ ✓ x = 4 → 左 190 ≧ 右 4.81 ✓
境界の内外が予想どおりに切り替わっています。
この年の学習ポイント
指数の肩に対数が乗っている式は、「両辺の対数をとる」のが唯一の入り口です。手順を整理します。
(あ) 真数条件を確認し、両辺が正であることを保証する
(い) 両辺の対数をとる（底は式に合わせて選ぶ。ここでは3）
(う) log₃(A^B) = B·log₃A で、指数を前に降ろす
(え) t = log₃x とおいて、t の2次不等式にする
(お) t の範囲を x の範囲に戻す
(う) の適用で (log₃x)² という2次の項が生まれるのがこの型の特徴です。「対数の中に x があり、指数にも x がある」という状況では、対数をとることで両方が同じ log₃x に統一されます。
また (お) で、底3が1より大きいので不等号の向きは変わらないことを確認してください。底が1より小さい場合（log1/3 など）は逆転します。
上智大学2017年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
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上智大学の数学の過去問は24年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
上智大学 2017年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 指数・対数
- 空間図形
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2017年度の問題PDFでは、整数、微分・積分、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数に関する語句や設問を確認できました。上智大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、関数・グラフは24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 指数・対数、関数・グラフ、図形・三角関数、数列、整数
(1) 不等式 aber? > (人 を解くと
である。
(2) f(z) = 2十8z とし, ARK f(x) = 0 OME a, 8 (ea <のとす
る。g <@,の<5を満たす実数g, 5に対して,
な な
/ルOle- / 7のg-
である。
(8) 2,y は実数とする。 次の| カ |~| 7 | にあてはまるものを,下
の選択肢から選べ。
(i) cty> 0は,zg > 0であるための
(i) a2 4-4? > 2cy は,デ9りであるための
(iii) 関数
ーー222二7z十12 (eZミー)
げ(7) =( の十222ー7z一4 人(-1 <zS2)
| ja? 62 +16 -8 (<2)
ONL, 2 = 4,818, f(x) が最小値をとるための
」 (a) 必要条件であるが十分条件でない。
(b) 十分条件であるが必要条件でない。
(c) 届要十分条件である。
(G 必要条件でも十分条件でもない。
- ーー
[2] 直線PQが点Aを中心とする円Cに点Pで接している。 円で上の
点尼について9の=ノンQPR とおき, ZQPS = 29となる円で上の点を8
LTB. COLE, 次の仁質を満たしているとする。
0<9<ィ
PR =1
PS ニ2cos29上3cosの9一1
G)
cog ーーーー-, PS = ーードー
である。
(2) 0< aS 5 WRI ROOT, MAPS a: 1の)に内
BTSEReT EL, 直線 RT と円Oの交点のうち, でない点を
U とする。RT=TU となるとき,
MM
cr ーー su=4/[F]
である。
ーーター
(3) (2) の条件を満たすとき, 直線 AR と線分SU の交点をVとし,
二線AR と線分PS の交点をW とする。このとぎき, SW = =
CH),
である。
容器A。 容器Bにそれぞれ粘土がkg ずつ入っている。 1 日ごとに 4
Bのそれぞれに入っている粘寺の重きを計測し, 20%, SHA に入っ
ている灯圭のうち 5 ORE BA, BEBEASTHSHLD IS a
ORE A へ移す。ただし, 粘土は容毅A と Bから同時に取り出する
のとする。ヵ日目の計測時点でA た入っている粘土の重きを g。(ke),
Bに入っている粘土の恒きを (kg) とする。例えば, n= 1のとき,
gmー1、ちーー1である。 なお, 必要であれば,
jogo2 = 0.3010, logyg3 = 0.4771, logyg 1.1 = 0.0414
logyg 1.3 = 0.1139, logy 1:7 = 0.2304, logy, 3.1 = 0.4914
として用いてよい。
(1) a5 と by EENTNMMDCRT. LOLS, 分子のーの位の
数字は, as については [A ].% については である。
(2) BB {a,} と数列 {6。 の一般大は, それぞれ
nl
= + = |
nl
= SS pe | =
である。
(3) 2g。 S bn となる最小のみほは,カー である。
_¢-
|
である。
(2) f(z) = 2十8z とし, ARK f(x) = 0 OME a, 8 (ea <のとす
る。g <@,の<5を満たす実数g, 5に対して,
な な
/ルOle- / 7のg-
である。
(8) 2,y は実数とする。 次の| カ |~| 7 | にあてはまるものを,下
の選択肢から選べ。
(i) cty> 0は,zg > 0であるための
(i) a2 4-4? > 2cy は,デ9りであるための
(iii) 関数
ーー222二7z十12 (eZミー)
げ(7) =( の十222ー7z一4 人(-1 <zS2)
| ja? 62 +16 -8 (<2)
ONL, 2 = 4,818, f(x) が最小値をとるための
」 (a) 必要条件であるが十分条件でない。
(b) 十分条件であるが必要条件でない。
(c) 届要十分条件である。
(G 必要条件でも十分条件でもない。
- ーー
[2] 直線PQが点Aを中心とする円Cに点Pで接している。 円で上の
点尼について9の=ノンQPR とおき, ZQPS = 29となる円で上の点を8
LTB. COLE, 次の仁質を満たしているとする。
0<9<ィ
PR =1
PS ニ2cos29上3cosの9一1
G)
cog ーーーー-, PS = ーードー
である。
(2) 0< aS 5 WRI ROOT, MAPS a: 1の)に内
BTSEReT EL, 直線 RT と円Oの交点のうち, でない点を
U とする。RT=TU となるとき,
MM
cr ーー su=4/[F]
である。
ーーター
(3) (2) の条件を満たすとき, 直線 AR と線分SU の交点をVとし,
二線AR と線分PS の交点をW とする。このとぎき, SW = =
CH),
である。
容器A。 容器Bにそれぞれ粘土がkg ずつ入っている。 1 日ごとに 4
Bのそれぞれに入っている粘寺の重きを計測し, 20%, SHA に入っ
ている灯圭のうち 5 ORE BA, BEBEASTHSHLD IS a
ORE A へ移す。ただし, 粘土は容毅A と Bから同時に取り出する
のとする。ヵ日目の計測時点でA た入っている粘土の重きを g。(ke),
Bに入っている粘土の恒きを (kg) とする。例えば, n= 1のとき,
gmー1、ちーー1である。 なお, 必要であれば,
jogo2 = 0.3010, logyg3 = 0.4771, logyg 1.1 = 0.0414
logyg 1.3 = 0.1139, logy 1:7 = 0.2304, logy, 3.1 = 0.4914
として用いてよい。
(1) a5 と by EENTNMMDCRT. LOLS, 分子のーの位の
数字は, as については [A ].% については である。
(2) BB {a,} と数列 {6。 の一般大は, それぞれ
nl
= + = |
nl
= SS pe | =
である。
(3) 2g。 S bn となる最小のみほは,カー である。
_¢-
|
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、数列、整数、図形・三角関数
(1) AO, A'B!, BC をそれぞれo,5 で表せ。
以下, ZAV'BIC が直角であるとする。
(2) 6と5が満たすべき関係を式で表せ。
(3) 9がとり得る値の範囲を求めよ。
(4) AA'BIC の面積の最大値と最小値を求めよ。
1 me
R
中 3
b EE
B —
a
[2] 。4を正の実数とする。数列 (on) MER
‘n=d tyr=atte (x21)
で定義されるとする。
G) c> 内 とする。
(i) 数列記 はすべての自然数ぁに対して, z。 < Saar を満た
すことを示せ。
(fi) Jim z。 = ooであることを示せ。ただし, 数列 {on}, {un}
た対して, him Yn = oo かつ, すべての自然数々について
cn 2 Yn であるならば, dima =o0f であることは使って
もよいものとする。
(2) < EFS. DHHMK 2? —240= 0022086 & SEM
をei とする。o <9< 8であるとき, 数列 {a,} はすべての自
然数に対して
eくosくお かつ >
を満たすことを示せ。
にミラ
みは6以上の自然数とする。1 からゎまでの数字が 1 つずつ書かれた
る枚のカードがある。これらの中から同時に 3 枚のカードを引くと
き, この3枚のカードの最小の数字が 3 である確率を ヵ。 とする。
Q) =一 pr = == である。
(2)
(-[]) (- =)
ーー
¢-2)C-E)C-E)
でぁる。 xe, [a] <[¥], [7] <[7]< [3] ;
である。
8) Dn < Paar となる最大のヵ は である。また, p。ー am と
BE nik である。
(4) n= [2]; DEX, py は最大値 == をとる。ただし,
< である。
ーーュー
次のグラフ (1), 2), (3), (4) が表す関数 = fle) それぞれに対して
F(a) =/ 了げ(17みと定義する。 y= Fa) のグラフとしてふさわしい
SOBRE (2)~() から選べ。
(1) (2)
a
1 2 3 4 5 6” <I 4 3 o*
(3) (4)
ae]
(a) (b)
a
|
. (e) 9
L— An
re ee
Ty G)
以下, ZAV'BIC が直角であるとする。
(2) 6と5が満たすべき関係を式で表せ。
(3) 9がとり得る値の範囲を求めよ。
(4) AA'BIC の面積の最大値と最小値を求めよ。
1 me
R
中 3
b EE
B —
a
[2] 。4を正の実数とする。数列 (on) MER
‘n=d tyr=atte (x21)
で定義されるとする。
G) c> 内 とする。
(i) 数列記 はすべての自然数ぁに対して, z。 < Saar を満た
すことを示せ。
(fi) Jim z。 = ooであることを示せ。ただし, 数列 {on}, {un}
た対して, him Yn = oo かつ, すべての自然数々について
cn 2 Yn であるならば, dima =o0f であることは使って
もよいものとする。
(2) < EFS. DHHMK 2? —240= 0022086 & SEM
をei とする。o <9< 8であるとき, 数列 {a,} はすべての自
然数に対して
eくosくお かつ >
を満たすことを示せ。
にミラ
みは6以上の自然数とする。1 からゎまでの数字が 1 つずつ書かれた
る枚のカードがある。これらの中から同時に 3 枚のカードを引くと
き, この3枚のカードの最小の数字が 3 である確率を ヵ。 とする。
Q) =一 pr = == である。
(2)
(-[]) (- =)
ーー
¢-2)C-E)C-E)
でぁる。 xe, [a] <[¥], [7] <[7]< [3] ;
である。
8) Dn < Paar となる最大のヵ は である。また, p。ー am と
BE nik である。
(4) n= [2]; DEX, py は最大値 == をとる。ただし,
< である。
ーーュー
次のグラフ (1), 2), (3), (4) が表す関数 = fle) それぞれに対して
F(a) =/ 了げ(17みと定義する。 y= Fa) のグラフとしてふさわしい
SOBRE (2)~() から選べ。
(1) (2)
a
1 2 3 4 5 6” <I 4 3 o*
(3) (4)
ae]
(a) (b)
a
|
. (e) 9
L— An
re ee
Ty G)
問3画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数
(2017年度)
1 数 学 問 we 0s)
(この開題早子は 5 ページ, 3問である。)
受験についての注意
1. RRBABONRYSLEC 問題世子を開いてはならない。
2. 試験開始前に, 試験監督者から指示があったら, 解答用紙の右上の番号が自分の
| SRESL-MISCLEMRL, 所定の欄に氏名を記入すること。次に, 解答用
紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名が番かれ
AMM EMOML, MEKEK CL.
| 3. 試験監示者から試験開始の指示があったら, COMMMEA, 上に記したページ
数どおりそろっていることを確かめること。
4, PERG, HHか『かHBの黒鉛筆またはシャープペンシルに限る。 万年筆・ボポー
ルペンなどを使用してはならない。 時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機能.
辞書機能やスマートウゥウォッチなどのウェアラブル端末を使用してはならない。
5. 解答は, 解答用紙の各間の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマーク
| 補をぬりつぶすこと。
6. マークをするとき. マーク欄からはみ出したり, 白い部分を残したり, 文字や番
号,〇やxをつけたりしてはならない。また, マータク人所以外の部分には何る書い
| てはならない。
7 町正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り除く
: ak.
・ 8 解答用紙を折り上曲げたり, 破ったりしてはならない。
9. 拭験路骨者の許可なく試験時間中に退場してはならない。
10. 解答用紙を持ち帰ってはならない。 :
ll 問題舞子計算用紙は必ず持ち帰ること。
12. この開題折子の余白を計算用紙として使用してよい。
ーュー
マークによる数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の艇にマークせよょ。その際, はじめの位の数が0
のときも, 必ずマークすること。 -
符号繝がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークせよ。
(0 または正数の場合は。 HHMI 7 LAV.)
分数は,既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, MMR PMOPEDIC
RPL, 分征を 1 とする。根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の
平方でもりきれないものとする。
角答が所定構で表すことができない場合, あるいは二つ以上の符が得ちられる坦
合には, 各位の棚ともにマークせよ。 (符号杉がもうけられている場合。一に
はマーク LR) 7
(和志入例) |ア |に7. | イ|にー26をマークする場合
pile Lee es § 78 PtP 2 eas ee Oe
IOlIWOOOOOOOOOOIOOOOoooowooOo
PINU NAS § 1k PASS ASO EES e
@}00800000000|00000080000
(RSD
dz, しLose
日
0%, 日Pe ober,
な。 LIP. |
Se, にあてはめる場合 -下= とする。
和則 ME
ーデキャを| e+| >+| |にあてgkゅる場合
[-ijt+[ i |r+[o eva.
—
(a) BEB
7 = (log, 22)? + tog, (6e") G Ses 3)
yz]
は>ニーエー ee hl 2 | をとる。
(2) ABS 30 + by = 2 のすべての整数解 , を次で表す。
ァーogた寺ち ya=ck+d. (は整数)
ただし, a,b, c,d BEROHZRT, a> c, 15d| <5 を満たすもの
とする。このとぎ,gあ9は,
(3) a= -1+V3i, B= 14+ V38iE TS. COLES, 自然数に対し
at? + 2aMl + de® + 3a + 1204 + 120%
Be — 265 + 684
cal
の値は === + == | シ|iでぁs。
ーーュー
るちとを実数とする。2 つの関数
f(z) ューg二る g(a) = 2° +00? + bate
を考える。2点 A(-1. (0) BQ) は, 9ー f(a) とりー g(x) の
グラフの共有点である。 -
(11 b= [2 Ja+ [=], と= [y]e+ である。
(2) gl) = 0 を満たすとする。このとき,g= CHS, ER,
曲線 y = 9(z) LOM P(x, g(a)) が ー1 <2 < 2 OMA CMH < &
き, A, B,P を頂点とする へABP の面積が最大となるのは,
BO
のときである。
(3) < > 0 とし, A, B と, 点 Q(0,g(0)) を頂点とする AABQ の面積
BELT, COLE, S = (o+ [2]) cos. ま
た,QとBを通る直線を6とし,《と放物線9ニナ(c) が囲む図形
の面積を SETS. あー SP a=
のとき最小となる。 」
ーー
さいころを 2 回投ザ, 1 回目に出た目を m 2 回目に出た目を とす
る。この7w とぁを用いて, 座標空間に点 P(xx。0) をとる。 また, 平
面々= 0上において, 次の連立不等式の表す領域を とする。
a>0, y>0, のの<36
(1) Pがりた含まれる mE noe, 組ある。
(2) 座標案間において, 原点を中心とし, 半径が6 OIRO を考える。
P(m,n,0) が り に含まれる とき, RO の球面上に点 Q(m,n, a)
をとり, AOPQ の面積を 9 とする。ただし,a> 0 とする。
(0 kant とおくとき,9をぁで表すと,
である。
(i) 9の最大値 を与える とのの組は, 組ある。
(ii) Pが のに含まれるときに,7ミ9る となる確率は
ーー である。 また,Pがのに含まれ,さらに?7く9る
（続きは問題PDFで確認できます）
1 数 学 問 we 0s)
(この開題早子は 5 ページ, 3問である。)
受験についての注意
1. RRBABONRYSLEC 問題世子を開いてはならない。
2. 試験開始前に, 試験監督者から指示があったら, 解答用紙の右上の番号が自分の
| SRESL-MISCLEMRL, 所定の欄に氏名を記入すること。次に, 解答用
紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名が番かれ
AMM EMOML, MEKEK CL.
| 3. 試験監示者から試験開始の指示があったら, COMMMEA, 上に記したページ
数どおりそろっていることを確かめること。
4, PERG, HHか『かHBの黒鉛筆またはシャープペンシルに限る。 万年筆・ボポー
ルペンなどを使用してはならない。 時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機能.
辞書機能やスマートウゥウォッチなどのウェアラブル端末を使用してはならない。
5. 解答は, 解答用紙の各間の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマーク
| 補をぬりつぶすこと。
6. マークをするとき. マーク欄からはみ出したり, 白い部分を残したり, 文字や番
号,〇やxをつけたりしてはならない。また, マータク人所以外の部分には何る書い
| てはならない。
7 町正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り除く
: ak.
・ 8 解答用紙を折り上曲げたり, 破ったりしてはならない。
9. 拭験路骨者の許可なく試験時間中に退場してはならない。
10. 解答用紙を持ち帰ってはならない。 :
ll 問題舞子計算用紙は必ず持ち帰ること。
12. この開題折子の余白を計算用紙として使用してよい。
ーュー
マークによる数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の艇にマークせよょ。その際, はじめの位の数が0
のときも, 必ずマークすること。 -
符号繝がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークせよ。
(0 または正数の場合は。 HHMI 7 LAV.)
分数は,既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, MMR PMOPEDIC
RPL, 分征を 1 とする。根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の
平方でもりきれないものとする。
角答が所定構で表すことができない場合, あるいは二つ以上の符が得ちられる坦
合には, 各位の棚ともにマークせよ。 (符号杉がもうけられている場合。一に
はマーク LR) 7
(和志入例) |ア |に7. | イ|にー26をマークする場合
pile Lee es § 78 PtP 2 eas ee Oe
IOlIWOOOOOOOOOOIOOOOoooowooOo
PINU NAS § 1k PASS ASO EES e
@}00800000000|00000080000
(RSD
dz, しLose
日
0%, 日Pe ober,
な。 LIP. |
Se, にあてはめる場合 -下= とする。
和則 ME
ーデキャを| e+| >+| |にあてgkゅる場合
[-ijt+[ i |r+[o eva.
—
(a) BEB
7 = (log, 22)? + tog, (6e") G Ses 3)
yz]
は>ニーエー ee hl 2 | をとる。
(2) ABS 30 + by = 2 のすべての整数解 , を次で表す。
ァーogた寺ち ya=ck+d. (は整数)
ただし, a,b, c,d BEROHZRT, a> c, 15d| <5 を満たすもの
とする。このとぎ,gあ9は,
(3) a= -1+V3i, B= 14+ V38iE TS. COLES, 自然数に対し
at? + 2aMl + de® + 3a + 1204 + 120%
Be — 265 + 684
cal
の値は === + == | シ|iでぁs。
ーーュー
るちとを実数とする。2 つの関数
f(z) ューg二る g(a) = 2° +00? + bate
を考える。2点 A(-1. (0) BQ) は, 9ー f(a) とりー g(x) の
グラフの共有点である。 -
(11 b= [2 Ja+ [=], と= [y]e+ である。
(2) gl) = 0 を満たすとする。このとき,g= CHS, ER,
曲線 y = 9(z) LOM P(x, g(a)) が ー1 <2 < 2 OMA CMH < &
き, A, B,P を頂点とする へABP の面積が最大となるのは,
BO
のときである。
(3) < > 0 とし, A, B と, 点 Q(0,g(0)) を頂点とする AABQ の面積
BELT, COLE, S = (o+ [2]) cos. ま
た,QとBを通る直線を6とし,《と放物線9ニナ(c) が囲む図形
の面積を SETS. あー SP a=
のとき最小となる。 」
ーー
さいころを 2 回投ザ, 1 回目に出た目を m 2 回目に出た目を とす
る。この7w とぁを用いて, 座標空間に点 P(xx。0) をとる。 また, 平
面々= 0上において, 次の連立不等式の表す領域を とする。
a>0, y>0, のの<36
(1) Pがりた含まれる mE noe, 組ある。
(2) 座標案間において, 原点を中心とし, 半径が6 OIRO を考える。
P(m,n,0) が り に含まれる とき, RO の球面上に点 Q(m,n, a)
をとり, AOPQ の面積を 9 とする。ただし,a> 0 とする。
(0 kant とおくとき,9をぁで表すと,
である。
(i) 9の最大値 を与える とのの組は, 組ある。
(ii) Pが のに含まれるときに,7ミ9る となる確率は
ーー である。 また,Pがのに含まれ,さらに?7く9る
（続きは問題PDFで確認できます）
問4画像OCR
検出分野: 微分・積分、整数、ベクトル、関数・グラフ、図形・三角関数
(1) 平面のペクトルゼー (3,1), B= (1,8) 289, FP = (pn)は
(マー) LP を満たしながら動く。
(i) ベクトルカ程式
(EE2(EID)
が成り立っ。
(ii) |B] = 3V2 かつ pi > 0となるのは,# = 一 のときで
ある。
(ii) FLV のなす角を9とする。9 = 45 かつ > 0となる
Ott, t= = のときである。
回
(2) 平らな土地に塔が立っている。塔から少し離れた地点からその
塔の上端を見上げたとき, 地面からの仰角が a であった。その
地点から塔に向かって17m 近づいた地点で再び落の上端を見上
げると, 地面からの仰角は2o であった。tano = i であるとき,
How tk | * |mであぁる。
ーー
|2 | すべての避到からなる集合を全体集合とし, その部分集合 (ただし
メデの に関する以下の条件P を考える。
P: の要素の中で最小の数が存在する。
(1) 選択肢の中から, P であるための必要十分条件をすべて選べ。も
し存在しなければ, Z をマークせよ。
(2) 選択肢の中から, P であるための必要条件であるが十分条件でな
い条件をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
(3) 選択肢の中から, P であるための十分条件であるが必要条件でな
い条件をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
(4) P の否定を〒 とする。 選択肢の中から,Pであるための十分条件
をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
選択肢 :
A: は有限集合である。
B: は無限集合である。
C: のどの要素よりも小さな整数が存在する。
D: nExDLEn-2QEX CHS,
E: の要素はすべて自然数である。
F: の補集合には最小の数が存在しない。
ws en
2つの曲線
Ci:y= 22? (x20), Criy= 52-3) (c= 0)
の共有点をP とする。長方形 ABCD を以下の通りに定める。
*Aはの上にあり, かつ原点OとPの間にある。
s B、Cはともにゃ軸上にある。
s Dは〇。 上にあり, かつP と点 (3,0) の間にある。
Aのcz座標ををとする。
(1) P の座標は ((7]; [7]) である。
(2) Dの座標は (| = | + |テレ| でぁる。
回
(3) 長方形ABCD の面積は 回 [e]e Ch), t=—— の
とき最大値 一一 をとる。
|
— tien
1 辺の長さが。の正六角形ABCDRP を底面とし, O を頂点に持つ大角
# O-ABCDEF を考える。O0A=OB=0C=OD=OB=OF=Y2
とする。
(1) 大角氏の底面の面積を7 とすると,の=ェー一 の
である。
(2) 交角鈴の表面積をさとすると
Ss 7 El, ー g2
であり, 体積をしとすると
V
である。
(=
(3) x = 1のとき, AMMAR SRO VA 一一 + ユーーー
である。
(4) 大角備のすべての頂点を通る球の半径は ーーーーー- であり、
中 ..."
大角名の体積 をその丈の体積で制った値が最大となるのは。
V
a=L— のときである。
あー
(マー) LP を満たしながら動く。
(i) ベクトルカ程式
(EE2(EID)
が成り立っ。
(ii) |B] = 3V2 かつ pi > 0となるのは,# = 一 のときで
ある。
(ii) FLV のなす角を9とする。9 = 45 かつ > 0となる
Ott, t= = のときである。
回
(2) 平らな土地に塔が立っている。塔から少し離れた地点からその
塔の上端を見上げたとき, 地面からの仰角が a であった。その
地点から塔に向かって17m 近づいた地点で再び落の上端を見上
げると, 地面からの仰角は2o であった。tano = i であるとき,
How tk | * |mであぁる。
ーー
|2 | すべての避到からなる集合を全体集合とし, その部分集合 (ただし
メデの に関する以下の条件P を考える。
P: の要素の中で最小の数が存在する。
(1) 選択肢の中から, P であるための必要十分条件をすべて選べ。も
し存在しなければ, Z をマークせよ。
(2) 選択肢の中から, P であるための必要条件であるが十分条件でな
い条件をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
(3) 選択肢の中から, P であるための十分条件であるが必要条件でな
い条件をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
(4) P の否定を〒 とする。 選択肢の中から,Pであるための十分条件
をすべて選べ。もし存在しなければ, Z をマークせよ。
選択肢 :
A: は有限集合である。
B: は無限集合である。
C: のどの要素よりも小さな整数が存在する。
D: nExDLEn-2QEX CHS,
E: の要素はすべて自然数である。
F: の補集合には最小の数が存在しない。
ws en
2つの曲線
Ci:y= 22? (x20), Criy= 52-3) (c= 0)
の共有点をP とする。長方形 ABCD を以下の通りに定める。
*Aはの上にあり, かつ原点OとPの間にある。
s B、Cはともにゃ軸上にある。
s Dは〇。 上にあり, かつP と点 (3,0) の間にある。
Aのcz座標ををとする。
(1) P の座標は ((7]; [7]) である。
(2) Dの座標は (| = | + |テレ| でぁる。
回
(3) 長方形ABCD の面積は 回 [e]e Ch), t=—— の
とき最大値 一一 をとる。
|
— tien
1 辺の長さが。の正六角形ABCDRP を底面とし, O を頂点に持つ大角
# O-ABCDEF を考える。O0A=OB=0C=OD=OB=OF=Y2
とする。
(1) 大角氏の底面の面積を7 とすると,の=ェー一 の
である。
(2) 交角鈴の表面積をさとすると
Ss 7 El, ー g2
であり, 体積をしとすると
V
である。
(=
(3) x = 1のとき, AMMAR SRO VA 一一 + ユーーー
である。
(4) 大角備のすべての頂点を通る球の半径は ーーーーー- であり、
中 ..."
大角名の体積 をその丈の体積で制った値が最大となるのは。
V
a=L— のときである。
あー
問5画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分
(2017年度)
3 数 学 間 是 60分
(この問題購子は 6 ページ, 3 問である。)
受験についての注意
1. 試験監督者の指示があるまで, 問題周子を開いてはならない。
2. 試験開始前に, 試験監督者から指示があったら, 解答用紙の右上の番号が自分の
受験番号と一致することを確認し, 所定の欄に氏名を記入すること。次に, 解答用
紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名が書かれ
た切片を切り離し, 机上に置くこと。
3, 試験芝芝者から試験開始の指示があったら, COMMMPA, 上に記したページ
数どおりそろっていることを確かめること。
4. 筆記具は, HHかFかHBの黒鉛筆またはシャープペンシルに限る。 万年筆・ボー
ルペンなどを使用してはならない。時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機能,
辞書機能やスマートウォッチなどのウェアラブル背末を使用してはならない。
5. 解答は, 錠答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで, そのマーク
欄をぬりつぶすこと。
6. マークをするとき, マーク欄からはみ出したり, 自い部分を残したり, 文字や番
号。つやx をつけたり してはならない。また, マータク人箇所以外の部分には何も書い
てはならない。
7. 訂正する場合は, 消しレゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り除く
こと。
8. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはならない。
9. 試験監督者の許可なく試験時間中に喜場してはならない。
10. 解答用紙を持ち帰ってはならない。
11. FUE, 計算用紙は必ず持ち帰ること。
12, この間題司子の余白を計算用紙として使用してよい。
if
マークによる数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の欄にマークせよ。その際, はじめの位の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークせよ。
(0 または正数の場合は, 符号拉にマークしない。)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の
平方でわりきれないものとする。
解答が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各位の欄ともZにマークせよ。 (符号欄がもうけられている場合。 一 に
はマーク しない。)
(人和記入倒] | ア |に7. | イ|にー96をマークする場合
町 woe | 198 |
ア 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z1O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z
人@OOOOOOOOooOlOOoOoOoOoOo@WOOoO
ィ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z
OO條OOOOOOOOIOOOOOO旬OOOO
〔解答表示例〕
を ao
男
LJ
0%, 回 とする。
&, LIP. |
Yt, == にあてはめる場合 == /| 3 | とする。
ze aL] mv
-ダキタを | e+| トド+| |にぁcゅる場合
[-aJe*+ [2 Je+[o Jes.
ーー
(1 BR f(x) %
a= f(a —sttaydt Ge>0
fle) fo i+ a)di (w > 0)
とする。ただし,cを正の実数とする。
|
| () f(a) は, 0<a< = ならば極値をとり,
a> = ならば極値をとらない。
(ii) f(a) が極値をとらない場合を考える。 y = f(a) のグ
ラフにおいて, 接線の傾きが最小となる接点のヵ座標
はである。
(2) 2 つの整式 /(z), g(x) は, 次の3つの条件を満たす。
7(1) =0
f(a?) =a f(t) +05 ー1
f(w+1)+ @-I{ole- 1) -1} = 2f(e) + {9)P +1
010 720=|* ], 0) = [7 ] cas.
(ii) 7(222) + 9(3) a? を 2z 一 1 で割ったときの余りは,
である。
ーョー
-辺の長きが 3 の立方体 ARCD-EEGH を考え, WBE * 3:1
に内分する点を 辺DHを1:1に内分する点を Q とする。 A
線 AP と直線 F の交点を 直線 AQ と直線 EH の交点をJと
し, 3点A, P, Q の定める平面をy とする。
11 FTの長きは| サ | であり, の長きは| シ | でぁぁ。
(2) 直線 FG と平面@の交点を K とする。このとき。,
~ -
AK = AT + AJ
al
である。
(3) 立方体 ABCD-EEFGH を平面 。 で切断したときの切断面
の周の長さは,
Saal SVE
である。ただし, < とする。
(4) AB=0,AD=d,AB =e とする。このとき,
CE = | ト | 主因
CHS. Ki, 直線 CE と平面@ の交点をしとする と,
_, ーー
== ce
である。
ーー
ん D
| |
i
i
i
i
|
en H
rie る
eo
KO WHR Hite THB, q.7 18H.
pt+q+r=6, p=gtr
(1) (Dar) のとり得る組は全部で| ホ | 組ある。*のとり得る
値のうち最小の7は であり, COLE p= [=]
q= である。 ・
(2) Par) のとり得るすべての組を7 の値が大きいものから
順に 、
(pi, 91571); (Pa, の,75), (3, G73) °°
と並べる。
(i) lg| =とおく。o以下の自然第のうち, a と互いに
素である数の個数は | メ | 個である。
（続きは問題PDFで確認できます）
3 数 学 間 是 60分
(この問題購子は 6 ページ, 3 問である。)
受験についての注意
1. 試験監督者の指示があるまで, 問題周子を開いてはならない。
2. 試験開始前に, 試験監督者から指示があったら, 解答用紙の右上の番号が自分の
受験番号と一致することを確認し, 所定の欄に氏名を記入すること。次に, 解答用
紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名が書かれ
た切片を切り離し, 机上に置くこと。
3, 試験芝芝者から試験開始の指示があったら, COMMMPA, 上に記したページ
数どおりそろっていることを確かめること。
4. 筆記具は, HHかFかHBの黒鉛筆またはシャープペンシルに限る。 万年筆・ボー
ルペンなどを使用してはならない。時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機能,
辞書機能やスマートウォッチなどのウェアラブル背末を使用してはならない。
5. 解答は, 錠答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで, そのマーク
欄をぬりつぶすこと。
6. マークをするとき, マーク欄からはみ出したり, 自い部分を残したり, 文字や番
号。つやx をつけたり してはならない。また, マータク人箇所以外の部分には何も書い
てはならない。
7. 訂正する場合は, 消しレゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り除く
こと。
8. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはならない。
9. 試験監督者の許可なく試験時間中に喜場してはならない。
10. 解答用紙を持ち帰ってはならない。
11. FUE, 計算用紙は必ず持ち帰ること。
12, この間題司子の余白を計算用紙として使用してよい。
if
マークによる数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の欄にマークせよ。その際, はじめの位の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークせよ。
(0 または正数の場合は, 符号拉にマークしない。)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の
平方でわりきれないものとする。
解答が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各位の欄ともZにマークせよ。 (符号欄がもうけられている場合。 一 に
はマーク しない。)
(人和記入倒] | ア |に7. | イ|にー96をマークする場合
町 woe | 198 |
ア 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z1O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z
人@OOOOOOOOooOlOOoOoOoOoOo@WOOoO
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〔解答表示例〕
を ao
男
LJ
0%, 回 とする。
&, LIP. |
Yt, == にあてはめる場合 == /| 3 | とする。
ze aL] mv
-ダキタを | e+| トド+| |にぁcゅる場合
[-aJe*+ [2 Je+[o Jes.
ーー
(1 BR f(x) %
a= f(a —sttaydt Ge>0
fle) fo i+ a)di (w > 0)
とする。ただし,cを正の実数とする。
|
| () f(a) は, 0<a< = ならば極値をとり,
a> = ならば極値をとらない。
(ii) f(a) が極値をとらない場合を考える。 y = f(a) のグ
ラフにおいて, 接線の傾きが最小となる接点のヵ座標
はである。
(2) 2 つの整式 /(z), g(x) は, 次の3つの条件を満たす。
7(1) =0
f(a?) =a f(t) +05 ー1
f(w+1)+ @-I{ole- 1) -1} = 2f(e) + {9)P +1
010 720=|* ], 0) = [7 ] cas.
(ii) 7(222) + 9(3) a? を 2z 一 1 で割ったときの余りは,
である。
ーョー
-辺の長きが 3 の立方体 ARCD-EEGH を考え, WBE * 3:1
に内分する点を 辺DHを1:1に内分する点を Q とする。 A
線 AP と直線 F の交点を 直線 AQ と直線 EH の交点をJと
し, 3点A, P, Q の定める平面をy とする。
11 FTの長きは| サ | であり, の長きは| シ | でぁぁ。
(2) 直線 FG と平面@の交点を K とする。このとき。,
~ -
AK = AT + AJ
al
である。
(3) 立方体 ABCD-EEFGH を平面 。 で切断したときの切断面
の周の長さは,
Saal SVE
である。ただし, < とする。
(4) AB=0,AD=d,AB =e とする。このとき,
CE = | ト | 主因
CHS. Ki, 直線 CE と平面@ の交点をしとする と,
_, ーー
== ce
である。
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KO WHR Hite THB, q.7 18H.
pt+q+r=6, p=gtr
(1) (Dar) のとり得る組は全部で| ホ | 組ある。*のとり得る
値のうち最小の7は であり, COLE p= [=]
q= である。 ・
(2) Par) のとり得るすべての組を7 の値が大きいものから
順に 、
(pi, 91571); (Pa, の,75), (3, G73) °°
と並べる。
(i) lg| =とおく。o以下の自然第のうち, a と互いに
素である数の個数は | メ | 個である。
（続きは問題PDFで確認できます）
問6画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、整数、図形・三角関数、微分・積分
(1) 四角形ABOD において, AB = 1, ZABO = an ZBAC = や
Zapp = る ZBADニエッ である。このとき,
Mi 回
HOニゴイーー 。 pgD=とーーィイエーー
であり,
中
CD? = —— + +——
である。
(2) 5cを実数とする。3次関数ターィァ9十gz2十婦十とのグラフが
点 (1,2) に関して対称であるとき
である。 さらに, この関数のグラフがz 軸に接するとき
回
であり, gz軸とこのグラフで囲まれた図形の面積は — であぁ
る。
ー
四面体OABC において
（続きは問題PDFで確認できます）
Zapp = る ZBADニエッ である。このとき,
Mi 回
HOニゴイーー 。 pgD=とーーィイエーー
であり,
中
CD? = —— + +——
である。
(2) 5cを実数とする。3次関数ターィァ9十gz2十婦十とのグラフが
点 (1,2) に関して対称であるとき
である。 さらに, この関数のグラフがz 軸に接するとき
回
であり, gz軸とこのグラフで囲まれた図形の面積は — であぁ
る。
ー
四面体OABC において
（続きは問題PDFで確認できます）