藤原進之介です。このページでは東北大学2010年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
すべての実数 に対して が成り立つとする。
そのような点 全体の領域を図示し、その面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
東北大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 東北大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 東北大学 国語の対策——記述で問われる力を型から
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東北大学の数学の過去問は24年度ぶんを公開しています。そのうち5年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
東北大学 2010年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- ベクトル
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2010年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、微分・積分、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。東北大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、確率・場合の数は23年度、微分・積分は23年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、方程式・不等式、ベクトル、空間図形
(1) C上の点 Pe.を通り。PにおけるでCの接線に直交する直線の方程式
を求めよ。
2) 7を(1)で求めた直線とする。gキ 0 のとき, 直線*ニを/に関して対称に
折り返して得られる直線 の方程式を求めよ。
(3) 2で求めた直線はの値によらず定点F を通ることを示し. F の座標を
求めよ。
一 Bo M2 (394—23)
前期: 文学部・教育学部・法学部経済学部
| 医学部保健学科看護学専攻
数直線上を動く点Pがある。 裏表の出る確率が等しい硬貨を 2 枚投げて,
2 枚とも表が出たらPは正の向きに 1 だけ移動し, 2枚とも裏が出たらPは負
の向きに 1 だけ移動し, それ以外のときはその位置にとどまるものとする。Pが
原点 0 を出発点として, このような試行をヵ 回繰り返して到着した位置を $』 と
する。 以下の問いに答えよ。
(1) S。ニー1 となる確率を求めよ。
(2) S』 = 1 となる確率を求めよ。
(3) 試行をヵ回繰り返して出た表の総数を 7 とするとき, $。 を求めよ。
4) #を整数とするとき, $。三ぇとなる確率を求めよ。
四面体 ABCD において, WABOHARE M, 辺CD の中点をN とする。以下
の問いに答えよ。
(1) est
PA + PB=PC+ PD
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
2) RQ AE
[QA + QB] = |QC + QDI
を満たしながら動くとき, 点Qが描く図形を求めよ。
(3) ARR attest
IRAP + IRBP-= IRC? + [RDP
を満たしながら動くとき, 内積MN・MR は R のとり方によらず一定である
ととを示せ。
A) (1220の点Qが描く図形と(33の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件
は1AB| = 1CD| であることを示せ。
—F— M2 (394—24)
を求めよ。
2) 7を(1)で求めた直線とする。gキ 0 のとき, 直線*ニを/に関して対称に
折り返して得られる直線 の方程式を求めよ。
(3) 2で求めた直線はの値によらず定点F を通ることを示し. F の座標を
求めよ。
一 Bo M2 (394—23)
前期: 文学部・教育学部・法学部経済学部
| 医学部保健学科看護学専攻
数直線上を動く点Pがある。 裏表の出る確率が等しい硬貨を 2 枚投げて,
2 枚とも表が出たらPは正の向きに 1 だけ移動し, 2枚とも裏が出たらPは負
の向きに 1 だけ移動し, それ以外のときはその位置にとどまるものとする。Pが
原点 0 を出発点として, このような試行をヵ 回繰り返して到着した位置を $』 と
する。 以下の問いに答えよ。
(1) S。ニー1 となる確率を求めよ。
(2) S』 = 1 となる確率を求めよ。
(3) 試行をヵ回繰り返して出た表の総数を 7 とするとき, $。 を求めよ。
4) #を整数とするとき, $。三ぇとなる確率を求めよ。
四面体 ABCD において, WABOHARE M, 辺CD の中点をN とする。以下
の問いに答えよ。
(1) est
PA + PB=PC+ PD
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
2) RQ AE
[QA + QB] = |QC + QDI
を満たしながら動くとき, 点Qが描く図形を求めよ。
(3) ARR attest
IRAP + IRBP-= IRC? + [RDP
を満たしながら動くとき, 内積MN・MR は R のとり方によらず一定である
ととを示せ。
A) (1220の点Qが描く図形と(33の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件
は1AB| = 1CD| であることを示せ。
—F— M2 (394—24)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、微分・積分、方程式・不等式
(1) 点Pから曲線に接線がちょうど3 本引けるような点(g, のの存在する叙
城を図示せよ。
2) 点Pから曲線Cに接線がちょうど2 本引けるとする。 2 つの接点をAB
としたとき, APB ALG’ より小さくなるための。と1 の条件を求めよ。
ar ee: NM3(394一28)
(8 BES BES GLY BREMEN Tk RRR MHD |
1, 2, 8, 4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて, 次の手順で
5 桁の整数をつくる。まず 1 枚を取り出して現れた数字を 1 の位とする。取り出
した 1 枚を元に戻し, 4 枚のカードをよく混ぜて, 再び1枚を取り出して現れた
数字を 10 の位とする。このような操作を5回繰り返して, 5桁の整数をつく
る。得られた整数をとするとき, 以下の問いに答えよ。
() メに数字 1がちょうど2回現れる確率を求めよ。
(12 に数字1 と数字 2 がちょうど1 回ずつ現れる確率を求めよ。
8) にちょうど2 回現れる数字が 1 種類以上ある確率を求めよ。
四面体ABCD において. 辺 ABの中点をM. 辺CDの中点をNとする。以下
の問いに符えよ。
() 等式
PA + PB=PC+ PD
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
QQ) 点Qが等式
IQA+GH|=1QC+QDI
を満たしながら動くとき, 点 Qが描く図形を求めよ。
(3) 点Rが等式
IRAP? + [RBI?= IRC)? TIRDE
を満たしながら動くとき, 内積MN・MR はR のとり方によらず一定である
こともポせ。
A) (2の点Qが描く図形と(3の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件
は1AB| 1CD| であることを示せ。
—5> M3 (394—29)
(oh: Sa eSeas (See ReanSE eR RRR RL eR)
次の | 5 | [6] は理学部 医学導(学科、保人学科放和技術科学専攻・検
胡技術科学専攻) ・歯学部・薬学部・工学部の受験者のみ解答すること。
0 <, ご3 OER, 連立不等式
0ミッミsinz
(ee,
の表す傾域を*軸のまわりに回転して得られる立体の体積を"(のとする。
LV W= -生となるとそのときの了(の の値を求めよ。
[6] > 曽にいて 原点を中心としP(1, 0) を頂吉の1つとする正 角形を
とする。4 を 2 次の正方行列とし, の各頂点(x。y)に対して, 行列4の表す
移動
U0)
a Jy
で得られる点(*/。)はの辺上の点(頂点を含む)であるとする。以下の問い
CBRE
(1) APATHA の表す移動でP自身に移るとき, えの各頂点はそのいずれか
の頂点に移ることを示せ。また, そのときの行列 4 を求めよ。
2) 点Pが行列4 の表す移動でYのある頂点に移るとき, XOSMAILXOW
TNPOMMCBSCLE RE EL, そのときの行列4 を求めよ。
ー6 一 M3 (394—30)
城を図示せよ。
2) 点Pから曲線Cに接線がちょうど2 本引けるとする。 2 つの接点をAB
としたとき, APB ALG’ より小さくなるための。と1 の条件を求めよ。
ar ee: NM3(394一28)
(8 BES BES GLY BREMEN Tk RRR MHD |
1, 2, 8, 4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて, 次の手順で
5 桁の整数をつくる。まず 1 枚を取り出して現れた数字を 1 の位とする。取り出
した 1 枚を元に戻し, 4 枚のカードをよく混ぜて, 再び1枚を取り出して現れた
数字を 10 の位とする。このような操作を5回繰り返して, 5桁の整数をつく
る。得られた整数をとするとき, 以下の問いに答えよ。
() メに数字 1がちょうど2回現れる確率を求めよ。
(12 に数字1 と数字 2 がちょうど1 回ずつ現れる確率を求めよ。
8) にちょうど2 回現れる数字が 1 種類以上ある確率を求めよ。
四面体ABCD において. 辺 ABの中点をM. 辺CDの中点をNとする。以下
の問いに符えよ。
() 等式
PA + PB=PC+ PD
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
QQ) 点Qが等式
IQA+GH|=1QC+QDI
を満たしながら動くとき, 点 Qが描く図形を求めよ。
(3) 点Rが等式
IRAP? + [RBI?= IRC)? TIRDE
を満たしながら動くとき, 内積MN・MR はR のとり方によらず一定である
こともポせ。
A) (2の点Qが描く図形と(3の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件
は1AB| 1CD| であることを示せ。
—5> M3 (394—29)
(oh: Sa eSeas (See ReanSE eR RRR RL eR)
次の | 5 | [6] は理学部 医学導(学科、保人学科放和技術科学専攻・検
胡技術科学専攻) ・歯学部・薬学部・工学部の受験者のみ解答すること。
0 <, ご3 OER, 連立不等式
0ミッミsinz
(ee,
の表す傾域を*軸のまわりに回転して得られる立体の体積を"(のとする。
LV W= -生となるとそのときの了(の の値を求めよ。
[6] > 曽にいて 原点を中心としP(1, 0) を頂吉の1つとする正 角形を
とする。4 を 2 次の正方行列とし, の各頂点(x。y)に対して, 行列4の表す
移動
U0)
a Jy
で得られる点(*/。)はの辺上の点(頂点を含む)であるとする。以下の問い
CBRE
(1) APATHA の表す移動でP自身に移るとき, えの各頂点はそのいずれか
の頂点に移ることを示せ。また, そのときの行列 4 を求めよ。
2) 点Pが行列4 の表す移動でYのある頂点に移るとき, XOSMAILXOW
TNPOMMCBSCLE RE EL, そのときの行列4 を求めよ。
ー6 一 M3 (394—30)