東北大学 2014年度 過去問・解答

東北大学 2014年度（平成26年度）前期日程 数学の全問解説です。文系4題・理系6題ですが、文系第2問と理系第3問がまったく同じ問題なので、重複を1つにまとめると全9題21小問です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（積分の数式処理・玉の取り出し方15万通りの全列挙・4万8千点の領域走査・空間座標での立体の再構成・300通りの三角形での1次変換の確認・数値積分・不等式の全数確認） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
ただし理系第6問（2小問）の解答は、外部の解答例が入手できませんでした。そのため本ページの【9】だけは外部の解答例との突き合わせは行っていません。この点は【9】の中に明記したうえで、独立に2通りの方法で確かめた結果を載せています。

この年度の傾向（3行）

• 「前の小問が次の道具」という作りが徹底しています。【8】は (1)(2) から (3) が機械的に出ますし、【9】は (1) で示した「極小値が 」がそのまま (2) の不等式の本体になります。前問の結論をそのまま代入できないかを、まず疑ってください。
• 【9】(1) の正体は相加・相乗平均の一般形です。 を書き直すと となり、これは「 個の と1個の 」に対する相加相乗平均そのもの。(2) はこれを 個の数に育てて使います。
• 【2】(3) と【6】が計算量の山です。【2】(3) は「残った4個の積が平方数」という言い換えができるかどうか、【6】は座標を丁寧に置けるかどうか。どちらも方針が立てば単純作業なので、手を止めずに書ききる練習の題材として最適です。

【1】放物線の2接線と面積（文系 第1問）

(1)　 の座標

【型】2接線を書いて連立。接点の 座標の中点になる。

連立して 、すなわち 。 より

座標が中点、 座標が積。覚えておくと検算にも使えます。

(2)　面積

【型】「曲線 − 接線」は必ず完全平方になる。積分は の形。

【なぜこうするか】。接線は「接点で重解をもつ」ので、差は必ず （ は接点の 座標） になります。展開せずにこの形のまま積分するのが速さの決め手です。

の位置ではなく差だけで決まります。放物線を平行移動しても面積が変わらないことに対応しています。

(3)　 のときの の最小値

【型】垂直 ⟺ 傾きの積が 。そのあと を相加・相乗平均で評価。

の傾きは なので

と より 。したがって と書けて

等号は 、すなわち （）のとき。このとき 。 は について増加なので

　 の最小値は 　（ のとき）

検証：(2) の を数式処理で厳密に積分し と一致することを確認。(3) は を から まで30万点走査して の最小が 、そのときの が となることも確かめました。

【2】玉の取り出しと確率（文系 第2問 ＝ 理系 第3問）

(1)　積が10になる確率

【型】同じ数字の玉もすべて区別して数える。

【なぜこうするか】「1が書かれた玉が2個」のように同じ数字が複数あるとき、玉を区別しないと同様に確からしくなくなります。10個すべてに名前をつけて数えるのが原則です。

2個の取り出し方は 通り。積が となる数字の組は だけ（ は10がないので不可）。2の玉が2個、5の玉が2個なので 通り。

(2)　積が100になる確率

【型】素因数分解して形を絞る。。

【なぜこうするか】 は を割り切らないので3の玉は使えません。また を作るには5がちょうど2個必要（5は2個しかないので、5を2個とも使う）。残り2個の積が になればよく、 か です。

4個の取り出し方は 通りなので

(3)　前半3個と後半3個の積が等しい確率

【型】「6個の積が平方数」＝「残った4個の積が平方数」に言い換える。

【なぜこうするか】前半の積と後半の積が等しいなら、その共通の値を として6個の積は 、つまり平方数。10個全部の積は で平方数なので、残った4個の積も平方数でなければなりません。4個のほうが調べやすいので、こちらから攻めます。

残る4個の数字は、同じ数字が最大2個までなので、平方数になるのは次の2型です。

(i) の形（）　積は で平方数。 の選び方は 通り。
このとき取り出した6個の数字は、残った2種類以外の3種類が2個ずつ、つまり 。前半と後半の積が等しくなる分け方は「前半が 、後半も 」だけです。順番も込めて数えると

通り

（前半で をどの玉から選ぶかが 通り、並べ方が 。後半は残った玉で決まるので並べ方 のみ。）よって 通り。

(ii) の形（ は相異なり が平方数）　 で が平方数となるのは のみ。 は 以外の の3通り。

可能な2つの場合は、それぞれ

通り

（前半にどちらの組を置くかで2通り。）全事象は 通りなので

検証：(1)(2) は をすべて列挙して を確認。(3) は6個を順に取り出す15万1200通りをすべて列挙し、条件をみたすものが 通り、確率が となることを確かめました（ の重複を除いた 通りの数え方でも 通りで同じ確率）。

【3】三角形とベクトル（文系 第3問）

(1)　

【型】交点は一方の線分上に置いて、もう一方に乗る条件（係数の和が1）で決める。

は線分 上なので、実数 を用いて

ここで なので

は線分 上でもあるので、 の係数の和が ：

代入すると 、 なので

(2)　 と

【型】「頂角の二等分線が対辺と直交する三角形は二等辺三角形」——これを に使う。

【なぜこうするか】 は辺 上にあるので 。つまり は三角形 の頂点 の内角の二等分線です。それが対辺 と直交するなら、 は の二等辺三角形で、しかも は の中点になります。

第1段： を決める　 が の中点なので、(1) の途中式で の係数がともに ：

で なので 、すなわち

第2段：長さの比を決める　 で、 は を に内分するので 。したがって

内積で押す道もあります。 を と書くと

となり、 を入れると内積の項が消えて 、すなわち 。「角によらず成り立つ」ことが式の上でも見えるのが面白いところです。

検証：(1) は連立方程式を数式処理で解いて上の式と一致することを確認。(2) は を の3通りに取り、 として実際に座標を作り、 が （誤差 台）、かつ が二等分線方向と平行（外積 ）であることを確かめました。

【4】三角関数の最大・最小（文系 第4問）

(1)　 を で

【型】 と の組が出たら を作る。

【なぜこうするか】2乗して足すと で定数がまとまり、残った交差項がちょうど加法定理の形 になります。

(2)　 の最大・最小

【型】(1) の式に を入れ、 を使う。

【なぜこうするか】(1) は「 と の関係」なので、 を固定すれば の値は と1対1に対応します。あとは の値域が範囲を与えます。

等号が実現できるかを確かめます。 のとき 、すなわち （ は整数）。このとき なので

（複号同順）

なので、確かにそのような が存在します。

　 の最大値 　（）

の最小値 　（）

検証： を から まで4001点に区切り、各 について をみたす （ の2通り）を求めて を計算しました。最大 、最小 で と一致。そのときの 、 も確認しました。

【5】2次方程式の解の存在範囲（理系 第1問）

(1)　 の範囲

【型】相加相乗平均で終わらせない。等号成立の が定義域に入るかを確かめる。

【なぜこうするか】 は正しいのですが、等号は のとき。これは の外なのでこの評価は使えません。微分して増減を調べる必要があります。

では なので 、つまり は減少。

、 なので

(2)　 の存在範囲

【型】下に凸の2次関数が指定範囲に解をもつ条件は、軸が範囲の中か外かで場合分け。

【なぜこうするか】 の軸は 。軸が より右なら頂点が 軸以下であればよく、左なら端 が 以下であればよい。範囲が右に無限に伸びているので、これだけで尽くせます。

(i) （すなわち ）のとき　 は で増加なので、条件は ：

(ii) （すなわち ）のとき　軸が範囲の中なので、条件は頂点の値が 以下：

検証：、 を4万8441点に区切り、各点で の解を実際に求めて 以上の解があるかを判定しました。上の答えとの不一致は0件。境界の接続も で両方の式が となることを確認しています。

【6】平行六面体の切り口（理系 第2問）

(1)　 の座標

【型】平行六面体は3本のベクトルの整数倍の和で全頂点が書ける。まず全部書き出す。

なので

は の中点で 。 は 上なので と書けます。

より 、すなわち 。。

なので ⟺ 。よって 。

(2)　 軸との交点

【型】平面上の点は 。 軸上 ⟺ 成分も 成分も 。

軸上なので 成分と 成分が ：

　（ 成分は ）

(3)　切り口の面積

【型】切り口の形を確定してから面積。平行四辺形なら外積の大きさで一発。

【なぜこうするか】 は辺 上の点（ は 軸そのもので ）。切り口の4頂点 はそれぞれ別の面の上にあり、四角形 が切り口です。

2組の対辺がそれぞれ等しいので、四角形 は平行四辺形。したがって面積は の2倍で

なので

検証：平行六面体の点を と表すと、平面 は になります。8頂点での の値は で、値 をちょうど取る頂点が1つ（）、残りの交点が辺上に3つ現れることを確認しました。座標から面積を外積で計算すると 、 と一致します。 についても を300万点走査して となるのが の2つだけであることを確かめました。

【7】1次変換と領域（理系 第4問）

の必要十分条件

【型】 は「回転 × 拡大」。 倍に拡大して回すだけ。

【なぜこうするか】この形の行列は複素数 を掛けることに対応します。 とおけば と書けて

つまり原点からの距離がすべて 倍になり、向きだけが 回る変換です。

第1段：必要条件を絞る　 は原点から距離 、 は距離 なので、像はそれぞれ距離 。これらが に含まれる（距離が 以上 以下）ためには

　かつ　

後者から 、前者から 。したがって 、すなわち

第2段：十分性　 のとき は純粋な回転です。領域 は原点を中心とする円環なので、原点まわりの回転でそっくり自分自身に移ります。したがって に含まれる三角形 の像も に含まれます。

なお、条件が「 が内側の円上、 が外側の円上」となっているのが効いています。内側ぎりぎりの点と外側ぎりぎりの点の両方を持っているため、少しでも縮めば が内側の穴に落ち、少しでも伸びれば が外にはみ出す。だから しかありえないわけです。

検証：条件をみたす三角形 （ を内円上に、 を外円上に取り、内部の点をランダムに80点取って に入ることを確かめたもの）を300通り作り、それぞれについて の3通りの変換をかけて像が に入るかを判定しました。 のときだけ入り、それ以外は必ず外れるという結果で、不一致は0件です。

【8】積分の漸化式（理系 第5問）

(1)　

【型】「分子が分母の微分」の形は （分母の絶対値）になる。

(2)　

【型】差を作ると和積の公式で が約分される。

【なぜこうするか】 で、 とすると 。出てくる が分母とちょうど打ち消し合います。これがこの問題の設計です。

(3)　

【型】階差の和で途中が全部消える（telescoping）。

検証： を数式処理で厳密に計算して を確認。(2) は から まで、 と をそれぞれ数値積分して差を取り、公式の値と9桁一致することを確かめました（ で 、 で など）。(3) も を直接数値積分して 、 と一致しました。

【9】対数の極値と相加相乗平均（理系 第6問）

(1)　 の極値

【型】 だらけの式でも、微分すればただの分数関数。

より分母は正なので、 の符号は分子 と同じ。

極小値は を代入して求めます。 なので

　（極大値はない）

この結果の意味が (2) の鍵です。極小値が ということは、 のすべてで 。書き直すと

　…(★)

左辺は「 個の と1個の 」の相加平均の 乗、右辺はそれらの積。つまり (★) は相加・相乗平均の不等式そのもので、しかも等号成立が （全部等しいとき）というところまで一致しています。

(2)　不等式の証明

【型】右辺の正体を見抜く。（途中が全部約分）。

【なぜこうするか】 は隣どうしが打ち消し合って だけが残ります。したがって は 個の数 の相乗平均。左辺はそれらの相加平均。示すべきは「相加平均 > 相乗平均」です。

第1段：(1) から 個版の相加相乗平均を作る　正の数 に対し

　（等号は全部等しいときに限る）

を についての数学的帰納法で示します。 は等号で成立。 で成り立つとして、 個の正の数 を取り、(★) で とおくと

（2つ目の不等号が帰納法の仮定。）両辺の 乗根を取れば 個でも成立します。

等号について　1つ目の等号は (1) より のとき、2つ目は仮定より のとき。両方成り立つのは のときに限ります。

第2段：あてはめる　 とすると

のとき と が異なるので、すべてが等しいことはありません。よって等号は成立せず

（証明終）

検証：(1) は を数式処理で計算して となること、 が厳密に に簡約されることを確認しました。(2) は から まで、左辺を分数のまま計算して右辺と比較し、反例0件。たとえば で左 ・右 、 で左 ・右 です。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、【1】を数式処理と30万点走査、【2】を6個を順に取り出す15万1200通りの全列挙、【3】を3通りの角での座標構成、【4】を4001点の走査、【5】を4万8441点の領域走査、【6】を空間座標での立体の再構成、【7】を300通りの三角形での1次変換の確認、【8】を数値積分、【9】を数式処理と から までの全数確認で確かめました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

理系第6問（本ページの【9】、2小問）については、外部の解答例が入手できませんでした。そのため3段階目の照合ができていません。この大問だけは1と2の段階までを通したものとして掲載しています。該当箇所にも同じ注意書きを置いています。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。