東京大学 1995年度 過去問・解答

※ 問題文は東京大学が公表した1995年度（平成7年度）前期日程の入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。東京大学は解答を公表していないため、各問について別解・数値代入・具体例による検算を行い、その内容を本文中に明記しています。

第1問　不等式が常に成り立つ の最小値【文理共通】

分野：不等式／最大最小　難易度：標準　目標時間：20分

第1問　 の最小値

【型】「常に成り立つ の最小値」＝比 の最大値。斉次式は1文字に落とす

【なぜこうするか】
条件は「すべての で 」。つまり求める の最小値は、右辺の最大値そのものです。まずこの読み替えが第一歩。
次に、分子・分母とも を 倍すると 倍になる斉次式（同次式）だと気づくこと。斉次なら比だけで値が決まるので、 と置いて1文字の関数にできます。文字が2つから1つに減れば、あとは微分で片づきます。
さらに が出てくるので と置き直すと有理関数になり、微分が一気に楽になります。

より だから、条件は

がすべての で成り立つことと同値。したがって求める最小値は右辺の最大値である。両辺とも正なので2乗して考える。 とおくと、分子・分母を で割って

さらに とおくと

を微分すると

では なので、 の符号は の符号に一致する。よって は で増加、 で減少し、 で最大となる。

等号は 、すなわち 、すなわち のとき成立する。したがって

であり、 で等号が成り立つから

検算。 を代入すると左辺 、 だから比は で、確かに最大値と一致する。
他の点でも比が小さいことを確認する： なら 、 なら 、 なら 。いずれも 未満で整合する。

【定石】コーシー・シュワルツの不等式を使えば一瞬です。 等号は 、すなわち （）のとき。 の和を 一つで押さえる形はコーシーの独壇場です。

【よくあるミス】最大値をとる （あるいは ）を示さずに「 だから最小値は 」と結論すること。「最小値」と言うには等号が実際に成立することの確認が必須です。また2乗して考えるとき、両辺が正であることの断りを忘れないように。

第2問　8方向のベクトルで作る8角形

分野：平面ベクトル／面積　難易度：標準〜やや難　目標時間：35分

第2問(1)　 の証明

【型】 は8本の移動ベクトルの和。向かい合う向きのペアで消える

【なぜこうするか】
を示すとは、移動ベクトルを全部足すと だと示すこと。8本を 倍のもの（奇数番）と 倍のもの（偶数番）に分けて、それぞれの和を計算します。
ここで効くのが（ なので真反対を向く）という関係。奇数番は で、 だから和は 。偶数番も同様。
成分を書き下してもよいのですが、「 だけ回すと逆向き」という一言で済ませるほうが速くて安全です。

は原点を始点とする長さ のベクトルで、 軸の正の向きとのなす角が である。よって

いま

だから

よって 、すなわち 。（証明終）

【定石】 ずつ回した 本の単位ベクトルの和は 。本問は ずつ回した4本が2組という形です。正多角形・正 角形の頂点ベクトルなどでも同じ事実が繰り返し使えます。

【よくあるミス】8本すべての成分を書き出して力ずくで足すこと（できますが時間を失います）。また を と混同するミス。 は角 、つまり です。

第2問(2)　8角形の面積

【型】頂点をすべて座標で書き出し、座標による多角形の面積公式（たすきがけ）で計算する

【なぜこうするか】
面積を「三角形に切って足す」のは、8角形では場合分けが煩雑になりがち。頂点の座標さえ出せば、たすきがけ（シューレースの公式）で機械的に計算できます。
座標は から順に移動ベクトルを足していくだけ。 が繰り返し出るので、 と1文字に置くと式が見違えるほど短くなります。
なお から、この8角形は点対称（ と が中心について対称）。検算に使えます。

とおく。移動ベクトルは順に

だから、順に足して

（ となり (1) と整合する。）

座標による多角形の面積公式（頂点を反時計回りに とすると ）を用いる。各項を計算すると

これらの和は だから

より だから

検算。 のとき、8本の移動ベクトルはすべて長さ で向きが ずつ回るから、この8角形は1辺 の正八角形になる。正八角形の面積の公式は 。上式に を代入すると

で一致する。

【定石】頂点の座標が全部書ける多角形は、たすきがけ（シューレースの公式）で一発。三角形分割より速く、符号のミスも起きにくい。座標が汚くなりそうなときは、本問の のようにまとめて1文字に置くのがコツです。

【よくあるミス】たすきがけを時計回りの順で適用して符号を落とすこと（絶対値をつければ問題ありません）。また を と取り違えるミス。 だから です。

第2問(3)　 から を求める

【型】2式を並べて引き算し、 と を出す。あとは対称式で を復元

【なぜこうするか】
(2) で 。もう一つの条件から の長さを計算すると、やはり と だけで書ける形になります。
このように2本とも の対称式になっているので、差をとれば が単独で出る——これが最短ルートです。 が分かれば も分かり、そこから と を作れば が求まります。
なお の役割は対称なので、解は入れ替えた2組になるはずだと予想しておくと安心です。

(2) の座標より 。よって

条件 より だから

条件 より

(2) (1) より 、すなわち

これを (1) に代入して 。よって

より 、また 。したがって は

すなわち

検算。 のとき だから

で条件を満たす。 でも が同じなので同様に成立。2組とも適する。

【定石】2つの条件がどちらも「 と の1次式」なら、連立して と を求める。そこから と を得れば、 は2次方程式 の2解として復元できます（本問なら 、すなわち ）。

【よくあるミス】 を と二重根号の形に見抜けず、 のまま止まってしまうこと。 と分けるのがコツです。また解が2組あることに気づかず片方だけ答えるミスも頻出。

第3問　3次曲線の接線と角の二等分

分野：微分法／図形と方程式　難易度：やや難　目標時間：35分

第3問　 の最小値とそれを与える

【型】「角の二等分」は傾きの角度に翻訳。 の2倍角で式にする

【なぜこうするか】
まず登場人物を （P の 座標）と で全部書き出します。O における接線は 、P における接線の 切片が Q です。
問題の核心は「角の二等分」をどう式にするか。ここでは3本の半直線 OQ、OP、そして二等分線 がすべて原点から出ているので、それぞれの「傾きの角度」で考えるのが最も素直です。
OQ は 軸の正の向き（角 ）、二等分線は角 、OP は角 。二等分の条件は というただの角度の式。ここに を通せば、2倍角の公式で と の関係が得られます。
面積は、OQ が 軸上にあるので「底辺 OQ、高さ＝P の 座標」で一瞬。最後は相加相乗平均で最小値が出ます。

ステップ1：登場人物を で表す。 より 。原点における接線の傾きは だから、その接線は 。
P の 座標を とすると で、P における接線は

よって 。 より Q は 軸の正の部分にある。

ステップ2：角の二等分条件を式にする。半直線 OP の方向ベクトルは 、 で割って 。その偏角を とすると 。
半直線 OQ の偏角は 。二等分線 の偏角を とすると 。二等分の条件は

両辺の をとると、 より

したがって 、すなわち

より右辺は正だから、この はただ一つ定まる。

ステップ3：面積 。O、Q はともに 軸上にあり 、P から 軸までの距離は だから

ステップ4：最小値。 において相加平均・相乗平均の関係より

等号は 、すなわち のとき。よって 、したがって

で、 のとき最小値 をとる。

検算。 のとき (3) より 、。このとき

P における接線の傾きは で、 の 切片は 。確かに と一致する。
また半直線 OP は 軸の正の向き（偏角 ）、半直線 OQ は 軸の正の向き（偏角 ）だから二等分線の偏角は 、すなわち 。原点における接線は で一致する。
面積は で一致。
さらに でも確かめる：(3) より 、。OP の傾きは で偏角は 。二等分線の偏角は で と一致。面積は で、確かに のときより大きい。

【定石】原点を頂点とする角の二等分は「偏角の平均」。3本の半直線が原点を通るなら、 の2倍角・半角で必ず式にできます。片方が座標軸だと が入って計算がさらに簡単になるので、軸を含む配置は積極的に角度で処理しましょう。

【よくあるミス】角の二等分線の公式（点と直線の距離が等しい）を使おうとして、絶対値の場合分けで混乱すること。本問はすべて原点から出る半直線なので角度で処理するのが圧倒的に楽です。また面積を求めるとき、Q の 座標 を と取り違えないように（Q は接線の 切片であって曲線上の点ではありません）。

第4問　傾けた半球形の器と水の体積

分野：積分法（体積）／三角方程式　難易度：やや難　目標時間：35分

第4問　 の値

【型】たまる水は「球を水平面で切った球冠」。切る高さは器のふちの最も低い点で決まる

【なぜこうするか】
この問題の8割は「たまっている水がどんな立体か」を正しくつかむことです。
半球形の器のふち（＝半径 の円）は、器を傾けると斜めになります。水はふちのいちばん低い点まで来た瞬間にあふれる。つまり水面は、その最低点を通る水平面。
球の中心 O を原点にとると、ふちの円は中心を通る大円。その最低点の高さは、器を 傾けたことにより となります（半径 の円周上で最も下がる量が ）。
そして水の部分は、球のうち の部分（球冠）そのものになります。「器の内側」という条件が余計な制約にならないことは確認が必要ですが、実際、 の点はすべて器の内側に入ります。
ここまで見えれば、あとは球冠の体積を積分で出して、注いだ量と等しいとおくだけ。 の3次方程式になり、 が見つかります。

ステップ1：水の形をつかむ。球の中心を原点 O とし、鉛直上向きを 軸とする。半球形の器のふちは半径 の円（中心 O を通る大円）で、その円をふくむ平面は水平面と角 をなす。
この円周上の点の 座標の最小値は （円の半径 、平面の傾き より）。水はこのふちの最低点に達した瞬間に流れだすから、そのときの水面は平面 である。

ステップ2：水の部分が球冠であることの確認。ふちをふくむ平面の法線ベクトルを とし、器の内側を の側とする。ふちの最低点は である。
球内の点 が を満たすとする。 とおくと だから

よって水面より下の球の部分はすべて器の内側にある。したがって水の部分は、球を平面 で切ったときの下側の球冠そのものである。

ステップ3：球冠の体積。平面 による球の断面は半径 の円だから、体積は

とおくと

ステップ4：方程式を解く。毎秒 の割合で 秒入れたのだから

（ を用いた。）両辺に を掛けて

を代入すると となり成り立つから、 を因数にもつ。実際

より だから、 と は不適。よって

検算。 のとき で、球冠の高さは 。体積は

一方、注いだ時間は 秒、注いだ量は

で完全に一致する。
また球冠の体積公式 （）でも と同じ値が得られる。

【定石】球を平面で切った「球冠」の体積は （ は冠の高さ）。導出は なので、公式を忘れても積分で出せます。「傾けた容器」の問題は、たいてい容器ごと傾けるのではなく水面（水平面）で切ると考えるのが定石です。

【よくあるミス】器を傾けた分だけ座標系ごと回してしまい、水面を斜めの平面として扱うこと。水面は必ず水平です。回すべきは器（＝ふちの平面）のほう。もう一つは、あふれる条件を「ふちの最高点」としてしまうミス。水は低いところからあふれます。