東京大学 2009年度 過去問・解答

第 1 問
座標平面において原点を中心とする半径 2 の円をC, とし, KA, 0)を中心とす
る半径 1 の円を C。 とする。また, Ala, の)を中心とする半径#の円 Caが, CIA
EEL, かつC: に外接すると仮定する。ただし, 》 は正の実数とする。
(1) a, 5を7を用いて表せ。また, 7がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) ,が(1) で求めた範囲を動くとき, 〉 の最大値を求めよ。
4 やM3(376一42)

第 2 問
BRR mS 2IKL, m — 1 個の二項係数
mCi, mCx °°, mCm—1
BBA, THSTNTORKAMKE dn EFS. TUDES 9。はこれらすべてを割
り切る最大の自然数である。
(1) 娘が素数ならば, dn =m THOETL EMR
(2) すべての自然数をに対し. 4” ーをがgd。で割り切れることを, ぁに関する数学的
帰納法によって示せ。
0 ぐM3(376一44

a 。 3 問

スイッチを 1回押すごとに, RM, 黄, 白のいずれかの色の玉が 1 個、等確率
-二 で出てくる機械がある。 LOOMLER を用意する。次の 3 種類の操作を考え
る。

(A) 1回スイッチを押し, 出てきた玉をしに入れる。

(B) 1回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる。

(C) 1回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉をしに

AN, L にあればその玉を R に入れる。

(1) しとRは空であるとする。操作(A)を5 回おこない, さらに操作(B)を5 回お
こなう。このときLにも R にも 4 色すべての玉が入っている確率 P, を求めよ。
(2 しとRは空であるとする。操作(C)を5 回おこなう。このときしに4色すべて

の玉が入っている確率 P。 を求めよ。
(8) しとRは空であるとする。操作(C)を 10 回おこなう。このときしにもR にも4
色すべての玉が入っつている確率を Ps とする。 oa を求めよ。
fom M3 (376—46)

第 4 =F
2 RAF OBR f(x) = ax? + bx + c HL

s= fr lar
を考える。
(1) f(0)=0, げ(2)ニ2 のときゞをoの関数として表せ。
(2) 7(0)=0, げ(2)= 2 をみたしながらげが変化するとき, ゞの最小値を求めよ。
ーー10:一 ぐM3(376一48)

第 1 問
BRK m= 2 に対し, 一1 個の二項係数
CaCaーュ
BBA, これらすべての最大公約数を g。とする。すなわちの』。はこれらすべてを割
り切る最大の自然数である。
(1) が素数ならば, 7』ー であることを示せ。
(2) すべての自然数をに対し, 4" をがg。で割り切れることを, に関する数学的
帰納法によって示せ。
(3) 娘が偶数のとき 。 は 1 または 2 であることを示せ。
ー4 一 ぐM4(376一56)

第 。 2 問
ひ
smenmceotin a= (" | ERK, sが下の条件() (i, MEAKT
e
とする。
(i) s>1
r r
1 1
1 Xn
ii) ar(‘)-( | (n=1, 2, ...)とするとき, Hm x』三 lim y。=0
Ya po ォー
このとき以下の問に答えよ。
Lo g\_ (1) oe
11 g-[ | a Je cr, 5 を用いて表せ。
0 1 0 1
1 Zn
(2) wi[ | (n=1, 2....)とするとき, lim 2,三 lim %。王0を示
we ォーー FE
せ。
(3) <0かつ lal 1 を示せ。
16 一 ぐM4(376一58)

第 3 問

スイッチを 1 回押すごとに, HW, 黄, 白のいずれかの色の玉が1個, 等確率
-二で出てくる機械がある。 2 つの箱しとR を用意する。次の 3 種類の操作を考え
る。 ]

(A) 1回スイッチを押し, 出てきた玉をしに入れる。

(B) 1回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる。

(C) 1回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, し になければぱその玉をしに

An, しにあればその玉を R に入れる。

(1) しとRは空であるとする。操作(A)を5 回おこない. さらに操作(B)を5回お
こなう。このときしにも R にも 4 色すべての玉が入っている確率 Pi を求めよ。
(2 しとRは空であるとする。操作(C)を 5 回おこなう。このときしに4色すべて

の玉が入っている確率 P。 を求めよ。
Q) しとR は空であるとする。操作(C) を 10 回おこなう。このときしにもR にも4
色すべての玉が入っている確率を Pu とする。 5にを求めよ。
ーョー

第 。 4 問
を正の実数とし, 空間内の 2 つの円板

Di=((x, y, 2)lx?+y?S1, z2=ah,

Dr=((x, y, z)|e2+y?S1, z=-a}
を考える。かの」 Sy 軸の回りに 180° 回転して > に重ねる。ただし回転は 軸の正の
部分を* 軸の正の方向に傾ける向きとする。 この回転の間に り」 MHSBPE ELT
Bo ちの体積を(gc) とし, EE((x, y, 2)|x20 EDKHRAOKME Wale
する。
(1) 路(2) を求めよ。
(2) Jim Via) を求めよ。

一JH0 一 ぐM4(376一62)

第 5 問
(1) 実数*がー1ぐ*ぐ1.*才0をみたすとき, 次の不等式を示せ。
1ーめすく(すす
(2 次の不等式を示せ。
0.9999 て0.99 <0, 9999"
ー12一 M4 (376—64)

第 6 問
平面上の 2 点P Qの距離を AP, Q) と表すことにする。 平面上に点 0 HET
る一辺の長さが1000 の正三角形人AiAzA』がある。ムAiAzA』 の内部に3点Bi,
B, Bsを, d(Ay, B)=1(n=1, 2, 3)となるようにとる。また,
ai=A\A, @:=A2Ay, 5ーAAi
er=AiBy e:=AzB,, e:=AaBs

EBS. n=l, 2, 3のそれぞれに対して, 時刻 0 にA。を出発し。 の向きに速さ

1 で直進する点を考え, 時刻#におけるその位置を P。()) と表すことにする。

(1) ある時刻#で(Pi(), Pz())Sミ1が成立した。ベクトルー eg と。 ベクトル
FT とのなす角度を9 とおく。このとき |sin9| Spy となることを示せ。

(2 角度 62, 9』をのニンBiAiA。 62= ZBrAzAs, ニンBsAsAiによって
定義する。g を0 くgぐかつsing= Vy をみたす実数とする。 WEMUK
定のもとで, 0:4 9 の値のとる範囲を z を用いて表せ。

13) Mt, な なのそれぞれにおいて, 次が成立した。

9(Pz(ヵ), Ps(t:))S1, d(Ps(t2), Pilt2))S1, d(Pi(ts), Po(ts))S1
. 10007。 ir条還に
このとき, BERTIE において同時に
a(P\(T), 0)S3, 2(Pz(7), 0)S3, d(P(T), O)ミ3
が成立することを示せ。
ー14一 やM4(376一66)

第 1 問
多くのデータを扱うことは, さまざまな分野で必要になる。 大量のデータ を整理す
る際に, ある基準によってデータの間に序列をつけることが有用である。また, デー
タを転送するときには, ノイズによる転送の誤りの確率を小さくするような工夫が必
要である。
A
ヶ種類の成分4, ..., 4。を混ぜ合わせて製品を作る。この製品に含まれる
Ay ...。 4。 の重さの比率のデータをが, ..., か。 とする。こことで, か かは
Deal. 0和み k=l, 0
SHE TEMCHS, HEA, ..., 4。 の単位重量あたりの価格を*ヵ, ..., *, ET
Bo KIEL, wy で 2は
Kater, を王1。... ター1
を満たす正の定数である。 この製品の単位重量あたりの材料の費用は
の三 bay Xe Pe
hol
で表される。
(A-1) 材料の費用?が最小となるような, か, ..., ヵヵの値を求めよ。
ーー Ai ぐM10 (876—274)

(A-2) au, のも
py ae=1,0Saq:S1, k=1, 4 2
ユ
を満たす実数とする。
すべての 三1, ...。 ぁみー1 に対して
る bes x 9%
k=l k=l
となるとき, それぞれの製品の材料の費用について
る as に Lede
k=l kal
が成り立つことを示せ。
(A-3) ヵヶテ83とし,
pizbs pr=ps
が成り立つとする。このとき, '材料の費用ヵ が最大となるような, pi, px がを
求めよ。
=o M10 (376—275)

B
コンピュータで扱うデータは, 2 つの数字 0 , 1からなる列として表されること

が多い。数字 0 , 1 からなる長さヵ の列を, 送信者A から受信者 B に転送すること

を考える。 情報を転送する際にノイズが入るために, 0が1に, 1が0に, CHE

れ確率)ヵで入れ替わって伝わる。ことことで, pleOSp<l を満たす定数である。
例えば, HX 8 の数字の列 01001100 が

と伝わる確率は, 1番目の数字のみが入れ替わっているので, p(1—p)' CHS.
また 01001100 が

と伝わる確率は, 2LBAC4BAOMFEMANHDITHSOT, が(1一の)?で

ある。

(B-1) 数字0.1からなる長さヶの列を1回送るとき, 誤って伝わる数字の個
数が偶数個である確率を (%ヵ) とおく。ただし, 誤りがない場合は 0 個の誤りが
あったと考える。P(ヵ十1)をヵとア(ヶ) を用いて表せ。

(B-2) P(ヵ)をヵとぁヶを用いて表せ。

00一 MI0(376一276)

データが誤って伝わる確率を小さくするために, データを表す 0. 1からなるぁヵ
個の数字の列の後に. データの中に 1 が奇数個あめるときは 1 を, 偶数個あるときは
0 を付け加えて, 全部でぁ 1 個の数字の列をA からBに送る。この未尾に付け
加える数字をパリティビットとよぶ。受信者Bは, パリティビットが, 受け取っ
たデータのヶヵ 個の数字の中の 1 の個数と合っつていれば, 情報が正しく送られたと
判断してそのまま情報を受け取る。合っていなければ, 情報が誤って送られたと判
断して, A に再度同じ情報, つまりヵ個の数字の列とパリティビットを送っても
らう。この手続きを, 受信者Bが, 正しくデータを受信できたと判断するまで次
り返す。ただし, パリティビットも, 他のヵ個の数字と同様に確率あで入れ替
わって伝わる。

(B-3) 送信者Aが, ぁヵ個の数字からなるデータとパリティビットを合わせて
ヶ十 1 個の数字からなる列を 1 回目に送るとき, 受信者BがAに再送を要求す
る確率をヵ とヵ を用いて表せ

(B-4) Bがデータを正しく受信したと判断して通信が終了するまでに, Aが送
信する数字の個数の期待値をのヵとヵを用いて表せ

= it ©M10(376—277)

第 2 ff
時間によって移動する点の動きなど, 連続的に変化する現象を調べるときには, 現
象を表す関数の値を数列によって近似して, 離散的なモデルを考えることができる。
とれらを対照して考察することや, 連続的な現象を離散果なモデルの極限としてとら *
えることとは, しばしば有効である。
A
数列(z。}に対して, bn =Gn4i— An n=1,2,-°°- EBS. BAO HS
butt =D toy, n=1, 25%
an
を満たすとする。また6」三1, ムー 1 とする。
(A-1) ぁみ=テ1,2,... について,
しアー
が成立することを示せ。
(A-2) すべての自然数 について,
き 1
を示せ。
(A-3)
の会3ヶー2
となることを示せ。
ーーすーっ やM10(376一278)

数直線上を運動する点Pの座標を時間7の関数としてャヶーア(ので表す。ただ
し, 7 科 0 とする。点Pの速度?(ひニア(のひについて
に
v(t)= Fay?
が成立するとする。また, f(ON=1, p(0)三1 とする。ここでげ(の, ?(のは徴
分可能な関数であるとする。
(A-4) 不等式
F(t)2z1+t
が成り立つことを示せ。
(A-5)
プ(人ミ1十2一log(1 +2)
を示せ。ただし, log(1+ のは自然対数を表す。
ag M10(376—279)