藤原進之介です。このページでは東京大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
問題PDFをテキストでも確認
東京大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。東京大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、空間図形は23年度、関数・グラフは21年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形
第 1 問
座標平面の原点を O とし, O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) を辺の長さが 1 の正方形の
頂点とする。3 点 P(p, 0), Q(0, g), Rr, 1) はそれぞれ辺 OA, OC, BC 上にあり, 3 点
0, P, Q および 3 点 P, Q, R はどちらも面積が $ の三角形の 3 頂点であるとする。
(1) ? と7 をゎぁで表し, ゎ. 7 それぞれのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) C2 の最大価 最小値を求めよ。
0Q
ー:人4一 ぐM3(29一39)
at 算 用 紙
(切り離さないで用いよ。)
ー5 一 るM3(129一40)
第 。 2 問
O を原点とする座標平面において, 点 A(2, 2) を通り, 線分 OA と垂直な直線を7
とする。 座標平面上を点 P(ヵ, 9) が次の 2 つの条件をみたしながら動く。
条件1 : 8SOA.OPsr7
条件 2 : 点 O と直線 7 の距離を c LL, 点 P(ヵ, 9) と直線 / の距離をすとす
るとき cg=(ゅー1)*
LOLS, P が動く領域を LTS, SSK, z 軸の正の部分と線分 OP のなす角を
のとする。
(1) り を図示し, その面積を求めよ。
(2) cos9 のとりうる値の範囲を求めよ。
6 i= M3 (129-41)
計 算 用 紙
(切り離さないで用いよ。)
= M3 (129-42)
座標平面の原点を O とし, O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) を辺の長さが 1 の正方形の
頂点とする。3 点 P(p, 0), Q(0, g), Rr, 1) はそれぞれ辺 OA, OC, BC 上にあり, 3 点
0, P, Q および 3 点 P, Q, R はどちらも面積が $ の三角形の 3 頂点であるとする。
(1) ? と7 をゎぁで表し, ゎ. 7 それぞれのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) C2 の最大価 最小値を求めよ。
0Q
ー:人4一 ぐM3(29一39)
at 算 用 紙
(切り離さないで用いよ。)
ー5 一 るM3(129一40)
第 。 2 問
O を原点とする座標平面において, 点 A(2, 2) を通り, 線分 OA と垂直な直線を7
とする。 座標平面上を点 P(ヵ, 9) が次の 2 つの条件をみたしながら動く。
条件1 : 8SOA.OPsr7
条件 2 : 点 O と直線 7 の距離を c LL, 点 P(ヵ, 9) と直線 / の距離をすとす
るとき cg=(ゅー1)*
LOLS, P が動く領域を LTS, SSK, z 軸の正の部分と線分 OP のなす角を
のとする。
(1) り を図示し, その面積を求めよ。
(2) cos9 のとりうる値の範囲を求めよ。
6 i= M3 (129-41)
計 算 用 紙
(切り離さないで用いよ。)
= M3 (129-42)
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分
第 1 問
次の定積分を求めよ。
ュ
BEE a ュー 。
/ ("+ Vita )G+ 1+ 2の)V1T Jae
ー 4一 ぐM4(129一53)
at 算 用 紙
(OMS BO THK.)
= 6 M4 (129—54)
第 2 問
一辺の長さが 1 の正方形 ABCD を考える。3 点 P、 Q, R はそれぞれ辺 AB、 AD, CD
上にあり, 3点A POおよび3点POR はどちらや面節が さ の三角形の 3 頂点
であるとする。
5 OK, 最小値を求めよ。
ー6 一 やM4(129一55)
at 算 用 紙
COMES BUY CHK.)
ー7ー M4 (129-56)
次の定積分を求めよ。
ュ
BEE a ュー 。
/ ("+ Vita )G+ 1+ 2の)V1T Jae
ー 4一 ぐM4(129一53)
at 算 用 紙
(OMS BO THK.)
= 6 M4 (129—54)
第 2 問
一辺の長さが 1 の正方形 ABCD を考える。3 点 P、 Q, R はそれぞれ辺 AB、 AD, CD
上にあり, 3点A POおよび3点POR はどちらや面節が さ の三角形の 3 頂点
であるとする。
5 OK, 最小値を求めよ。
ー6 一 やM4(129一55)
at 算 用 紙
COMES BUY CHK.)
ー7ー M4 (129-56)
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