筑波大学 2008年度 過去問・解答

この年度の傾向（3行）

• 「置き換えて2次方程式に帰着」が2回出ます。【1】は とおいて の2次方程式の解の配置問題に、【6】は接点を文字において解と係数の関係に。見た目が違っても、やることは同じという好例です。
• 【2】は「先に断面を書く」が効きます。回転体と聞くと構えますが、 での断面が半径 の円板だと分かれば、(1) がそのまま (2) の被積分関数になります。(1) は (2) の下ごしらえです。
• 【4】は が保存される、という構造の問題。実際に数列を書き出すと となり、 の側にフィボナッチ数（）が並びます。背景を知らなくても解けますが、知っていると検算が速くなります。

【1】対数方程式と存在範囲（〔1〕）

点 の存在範囲

【型】対数を1文字におくと2次方程式。「解の配置」の問題に化ける。

【なぜこうするか】 なので、、、 とおけば方程式は 。しかも は と同値。求めるのは「 の2次方程式が正の解をもつ の条件」です。

第1段：実数解をもつ条件

第2段：正の解をもつ条件　こちらは「正の解をもたない」条件を作って否定するのが速いです。①が実数解をもつという前提で、正の解をもたないのは

軸 が にあり、かつ 定数項

のとき（下に凸の放物線が 側にだけ交点をもつ形）。この否定を取ると

または 　⟺　 または 　…③

　②かつ③

境界がつながる理由：直線 と双曲線 を連立すると 、すなわち で重解。だから交わるのではなく接します（接点 ）。もう一方も同様で、境界がなめらかにつながって見えるのはこのためです。

検証： を16万点に区切り、各点で①の解を実際に求めて正の解があるかを判定しました。上の条件との不一致は0件（境界近傍を除く）。また「 または（ かつ ）」という同値な言い換えでも一致することを確認しています。

【2】線分の回転体の体積（〔2〕）

(1)　

【型】直線上の点は1つのパラメータで書く。 座標からパラメータを決める。

【なぜこうするか】 の 座標が 、 の 座標が なので、 から へ向かうパラメータがそのまま 座標になります。だから「」の条件でパラメータが即決まります。

直線 上の点は、実数 を用いて

と書けます（ で 、 で ）。 座標が だから 。したがって

でまとめて

確かめ： で （ の原点からの距離の2乗）、 で （ の距離の2乗、実際 ）。両端で合っています。

(2)　体積

【型】点1個を回すと円。断面は半径 の円板。

【なぜこうするか】高さ では、線分 上の点はただ1点（交点 ）。それを 軸のまわりに回すと1本の円になり、囲まれる部分は円板です。半径はその点の 軸からの距離、つまり 。

3つの積分はいずれも です。

(3)　 の最大・最小

【型】 は合成して 。

が一周するので はすべて取れます。

　最大値 、最小値

数値では最大 、最小 。 なので最小値も正で、立体がつぶれることはありません。

検証：(1)(2) は数式処理で厳密に展開・積分して上の式と一致することを確認。(3) は を から まで200万点に区切って を計算し、最大・最小が と誤差 未満で一致することを確かめました。

【3】定積分で定めた関数の極限（〔3〕）

(1)　

【型】差を取ると分子が 。 で約分できる。

【なぜこうするか】この問題の設計はここにあります。 も も単独では計算できませんが、差を取ると分母が消えて、ただの多項式の積分になります。

(2)　

【型】はさみうち。下から 、上から与えられた不等式で押さえる。

下から： で 、 より 。したがって被積分関数は 以上で

上から：与えられた を使うと

（。）右辺は で に収束するので、はさみうちの原理より

（証明終）

(3)　定数

【型】(1)(2) を代入して を消す。残った有理式の極限を見る。

【なぜこうするか】 は直接扱えませんが、(1) より 。(2) より なので、 の「無限大での振る舞い」は だけで決まります。

（ を使いました。）

なので、求める条件は

左辺の分子が2次、分母が1次なので、極限が有限になるには2次の項が消えなければなりません。

このとき左辺は なので 。

検証：(1)(2) の積分値は数式処理で厳密に計算し、 と を確認。(3) は を入れたときに極限が厳密に になることを数式処理で確かめました。

【4】連立漸化式と整数（〔4〕）

(1)　

【型】「値が変わらない量」は次の項で計算してみる。帰納法の骨格はそれだけ。

【なぜこうするか】 を で書き下すと、うまく作られていれば そのものに戻ります。戻れば「最初の値がずっと保たれる」ことになります。

(I) のとき　 ✓

(II) で成立と仮定すると

の項がきれいに消えるのがこの漸化式の仕掛けです。よって でも成立。（証明終）

(2)　 は自然数、 は偶数

【型】 が付いた漸化式は、「割り切れること」を仮定に組み込んで帰納法。

【なぜこうするか】 が整数になるには が偶数である必要があります。 なので、 が偶数でありさえすればよい。だから「 が偶数」を仮定に入れておく必要があるわけです。問題が (2) でこの3つをまとめて聞いているのは、そのためです。

(I) のとき　 はともに自然数で、 は偶数 ✓

(II) で成立と仮定すると、 が偶数の自然数、 が自然数であることから

は偶数なので は自然数。したがって はともに自然数です。さらに

より は偶数。よって でも成立します。（証明終）

この数列の正体：実際に書き出すと

は フィボナッチ数列の1つおき（）、 はリュカ数列の1つおきです。 はペル方程式と呼ばれる型で、黄金比 と深く関わっています（ と書けます）。背景を知らなくても解けますが、書き出して数を眺めると検算になります。

検証：漸化式を まで実際に回し、各項で 、 が正の整数、 が偶数であることを確認（不一致0件）。また (1) の恒等式 を文字のまま展開して確かめました。

【5】行列の対角化（〔5〕）

(1)　

【型】両辺を計算して成分ごとに比較。

成分を比べると

第1式を第3式に代入すると

より 。第1式・第4式から 。これらは第2式もみたします（ ✓）。

やっていることは対角化です。 で が逆行列をもつなら 。 の対角成分 は の固有値で、 の列がそれぞれの固有ベクトルにあたります。実際 、 と確かめられます。

(2)　 となる

【型】(1) で作った ではさむ。対角行列の 乗は成分の 乗。

【なぜこうするか】 なら で、これは対角行列。対角行列の 乗は各成分を 乗するだけなので、行列の累乗が数の累乗の問題に化けます。(1) はこのための道具です。

を代入すると左辺は なので

　かつ　

ここからは数の話です。 と は だけ違うので決して等しくなりません。

• が奇数なら、 をみたす実数 はただ1つ。よって となり矛盾。
• が偶数なら、 をみたす実数は の2つ。等しくならないので 、すなわち 。

のとき なので 、つまり 。

確かめ： で、その2乗は ✓

検証：(1) は の4成分の連立を数式処理で解き、解が と の2つで、 を満たすのは前者だけであることを確認。(2) は を から まで32万点、 を から まで動かして を実際に計算し、 になるのが だけであることを確かめました。

【6】放物線の2接線の交点の軌跡（〔6〕）

(1)　

【型】接線を書いて連立。 座標は接点の中点、 座標は積。

連立して 、すなわち 。 より 。これを に代入して 。

(2)　 の軌跡

【型】2直線のなす角は正接の加法定理。そのあと (1) で に書き換える。

【なぜこうするか】接線の傾きは と なので、それぞれが 軸となす角の正接が分かります。2つの角の差の正接を取れば、なす角の条件が の関係式になります。

第1段：角の条件を の式に　直線 が 軸となす角を 、 が 軸となす角を とすると 。加法定理より

ここが要注意です。 より左辺は負なので、 でなければなりません。この不等式が最後に効きます。

第2段： に書き換える　両辺を2乗して を使うと

(1) より なので

について平方完成すると

これは中心 、漸近線 の双曲線です。

第3段：どちらの枝か　第1段の 、すなわち より、 は下側の枝の上だけを動きます。

なぜ が なのか： は方向 、 は方向 です（ は と の間の 座標にあるため、片方だけ向きが反転します）。だから2直線の「なす角」そのものではなく、その補角が になります。上の式で符号付きのまま扱っているのは、この事情を自動的に処理するためです。

検証： を から まで動かし、各 について となる を二分法で求めて171組を得ました。そのすべてで が誤差 未満で成り立ち、しかも の値はすべて から の範囲、つまり下の枝の上だけにありました。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、【1】を16万点の領域走査、【2】を数式処理と200万点の走査、【3】を数式処理による積分と極限、【4】を漸化式の39項までの実計算と恒等式の展開、【5】を32万点×39通りの行列の累乗計算、【6】を二分法による171組の数値探索で確かめました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

筑波大学は学類によって解答すべき問題が指定される方式です（ 印は必答、 印や 印は選択）。本ページでは問題冊子に載っている6題すべてを解説しています。志望学類がどれを解くかは、問題冊子1ページ目の表でご確認ください。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。