東京農工大学 2015年度 過去問・解答

東京農工大学2015年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1][1] 平面に関して対称な点を、空間ベクトルで求める

四面体OABCについて、内積が次のように与えられています。

|OA|² = 2、OA・OB = 0、OA・OC = 1、|OB|² = 18、OB・OC = 27

点Dを平面OABに関して点Cと対称な点とし、OD = s·OA + t·OB + u·OC と表したときの s, t, u を求めます。

当塾公開の解答PDFでは冒頭の内積の並びに表記の誤りがあり、「OB・OC = 18、OA・OB = 27」と印字されていますが、以降の式変形（18t + 27u − 27 = 0 の係数）から分かるとおり、正しくは |OB|² = 18、OB・OC = 27 です。以下はこの正しい値で計算しています。

「対称」を2つの条件に分解する

点Dが平面OABに関して点Cと対称 ⇔ 次の2条件がともに成り立つこと。

① CD が平面OAB に垂直
② 線分CD の中点が平面OAB 上にある

「対称」という言葉を、そのまま計算できる条件に翻訳するのが第一歩です。この2条件で必要十分になります。

条件①を式にする

CD が平面OABに垂直 ⇔ 平面上の2つの基底ベクトル OA, OB の両方に垂直。

CD = OD − OC = s·OA + t·OB + (u − 1)OC なので

CD・OA = 0：s(OA・OA) + t(OB・OA) + (u−1)(OC・OA) = 0

数値を代入して 2s + 0 + (u − 1) = 0、すなわち 2s + u − 1 = 0

CD・OB = 0：s(OA・OB) + t(OB・OB) + (u−1)(OC・OB) = 0

0 + 18t + 27(u − 1) = 0、9で割って 2t + 3u − 3 = 0

条件②を式にする

線分CDの中点をMとすると

OM = (OC + OD)/2 = (s/2)OA + (t/2)OB + {(u + 1)/2}OC

Mが平面OAB上にあるということは、OM が OA と OB だけで表せるということ。C は平面OAB上にないので、OC の係数が0でなければなりません。

(u + 1)/2 = 0　⇔　u = −1

連立して解く

u = −1 を代入すると

2s + (−1) − 1 = 0　⇔　s = 1
2t + 3(−1) − 3 = 0　⇔　2t = 6　⇔　t = 3

検算：CD = 1·OA + 3·OB + (−1−1)OC = OA + 3OB − 2OC。
CD・OA = 2 + 0 − 2(1) = 0 ✓
CD・OB = 0 + 3(18) − 2(27) = 54 − 54 = 0 ✓
確かに平面OABに垂直です。

この年の学習ポイント

空間ベクトルで「平面に関する対称点」を扱うときの手順は次の2つに分解されます。

(あ) 垂直条件 — 平面を張る2つのベクトルとの内積がともに0
(い) 中点条件 — 中点が平面上にある（＝平面外方向の成分が0）

特に (い) の翻訳が要点です。「平面OAB上にある」を「OC の係数が0」と読み替えられるのは、OA, OB, OC が一次独立（四面体をなす）だから。この前提を答案に書くことも忘れないでください。

内積の値が数値で与えられている問題では、成分を求める必要は一切ありません。与えられた内積表を機械的に代入していけば、連立1次方程式に帰着します。

東京農工大学2015年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。