東京農工大学 2018年度 過去問・解答

東京農工大学2018年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1] 三角形の内部の交点をベクトルで表す

三角形OABにおいて OA = a、OB = b とします。0 < x < 1 として

辺OA上に点C（OC = (x/2)a）、辺OB上に点D（OD = (1−x)b）をとり、線分BCと線分ADの交点をPとします。

〔1〕OP を a, b, x で表す

2通りの表し方を用意する

P は線分BC上なので、0 ≦ s ≦ 1 なる実数 s を用いて

OP = s·OC + (1 − s)OB = (sx/2)a + (1 − s)b

P は線分AD上なので、0 ≦ t ≦ 1 なる実数 t を用いて

OP = t·OD + (1 − t)OA = (1 − t)a + (1 − x)t·b

係数を比較する

a と b は一次独立（三角形の2辺なので平行でない）なので、係数どうしが一致します。

sx/2 = 1 − t　…①　／　1 − s = (1 − x)t　…②

①より t = 1 − sx/2。これを②に代入して

1 − s = (1 − x)(1 − sx/2) = 1 − sx/2 − x + sx²/2

両辺から1を引いて整理すると

−s + sx/2 − sx²/2 = −x　⇔　s(x² − x + 2)/2 = x

割ってよいことを確認する

x² − x + 2 = (x − 1/2)² + 7/4 > 0 がすべての実数 x について成り立つので、安心して割れます。

s = 2x/(x² − x + 2)

OP に戻す

sx/2 = {2x/(x²−x+2)} × (x/2) = x²/(x² − x + 2)

1 − s = {(x² − x + 2) − 2x}/(x² − x + 2) = (x² − 3x + 2)/(x² − x + 2)

検算：2つの係数の和は {x² + x² − 3x + 2}/(x² − x + 2) = (2x² − 3x + 2)/(x² − x + 2)。これは一般に1になりません — 当然です。P は直線AB上の点ではないので、係数の和が1になる必要はないからです。
具体値で確かめます。x = 1/2 のとき係数は (1/4)/(7/4) = 1/7 と (3/4)/(7/4) = 3/7。a = (1,0)、b = (0,1) として実際に交点を計算すると P(1/7, 3/7) となり一致します ✓

この年の学習ポイント

「2直線の交点をベクトルで表す」問題の解法は完全に定型です。

(あ) 交点を、2本の直線それぞれの上の点として2通りに表す（媒介変数 s, t を導入）
(い) 基底ベクトルが一次独立であることから、係数を比較して連立方程式を作る
(う) s, t を解いて、どちらかの表現に代入する

この問題で特に大切なのは (う) の途中に出てくる 「x² − x + 2 で割ってよいか」の確認です。文字を含む式で割るときは、必ず0でないことを示してください。ここでは平方完成して (x − 1/2)² + 7/4 > 0 と一行で示せます。

なお「一次独立だから係数比較できる」という根拠を書くことも、記述式では必須です。平面ベクトルの表し方の一意性が保証しているのだ、と理解しておきましょう。

東京農工大学2018年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。