東京農工大学 2019年度 過去問・解答

※ 問題文は東京農工大学が公表した平成31年度（2019年度）前期日程入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答そのものではありません。作成にあたっては大学公表の解答と全11問を突き合わせて一致を確認し、さらに は200万分割の数値走査と行列式による体積計算、 は複素数の直接代入、 は2円の中心・半径・接点距離の実測、 は数値積分（絶対値つき被積分関数）を について1001点でスキャンして独立に検算しています。

空間ベクトル——平面との交点・大きさの最大最小・四面体の体積

分野：空間ベクトル・三角関数の合成　難易度：標準　目標時間：22分

〔1〕　点 S の座標

【型】直線上の点は とおき、 座標の条件で を決める

【なぜこうするか】
直線と平面の交点を求める、空間ベクトルの基本中の基本です。手順はいつも同じで

1. 直線上の点を1 つの助変数 で表す：
2. 平面の条件（ここでは ）を代入して を決める
3. その を戻す

本問がやさしいのは、P の 座標が 、Q の 座標が であること。すると の 座標はちょうど になるので、 が即座に決まるのです。 を含む複雑な計算はいっさい要りません。
なお ということは、S は線分 PQ を に内分する点。だから と内分点の公式で書いても同じです。

S は直線 PQ 上の点だから、実数 を用いて と表せる。ここで

だから

S の 座標が だから 。代入して

よって

検算。 の 3 通りで、P と Q から直線の助変数表示を数値的に解いて となる点を求めたところ、上の式の値と3 通りとも全成分が一致 ✓（例： で ）。

【定石】「直線と平面の交点」は助変数 1 個で表して条件を代入。 座標が と の 2 点を結ぶ直線なら、助変数がそのまま 座標になるので即決できます。

【よくあるミス】 と向きを逆にすること。（終点 始点）です。また の計算で を入れたあと を などと間違えないように。

〔2〕　 の最大値・最小値

【型】 を展開すると が現れる（加法定理の逆）

【なぜこうするか】
大きさの最大最小は、まず 2 乗して根号を外すのが鉄則（ なので の最大最小がそのまま対応します）。
展開すると 、 がそれぞれまとまり、残るのは交差項だけ：

この括弧の中が加法定理そのもので 。これで の関数が 1 個に集約され、あとは の動く範囲を調べるだけになります。
最後に範囲のチェック。 なら 。この区間で は も も両方とる（ と ）ので、素直に が使えます。ここが半端な区間だと端点も調べる必要があるので、必ず確認する癖をつけましょう。

〔1〕より

展開して 、 を用いると

加法定理より だから

より であり、この範囲で は のすべての値をとる。よって

最小
最大

したがって、最大値は （）、最小値は （）。

検算（200万分割の数値走査）。 を から まで 200 万分割して を計算すると、最大 （）、最小 （）。一方 、、、 ですべて一致 ✓

【定石】ベクトルの大きさの最大最小は 2 乗して考える。展開したときに の形が出たら加法定理でまとめる——本問のように 1 個に化けるよう作られています。「まとまるはず」と信じて展開しきるのが大事。

【よくあるミス】 の範囲を の範囲のまま考えて、 に直し忘れること。また「 が最大 が最大」は だから言える、という一言を書き添えると丁寧です。 のとき は最小（符号がマイナスなので逆）という点にも注意。

〔3〕　OR 平面 OPQ となる と四面体の体積

【型】直線 平面 平面上の 2 つの（平行でない）ベクトルの両方と垂直

【なぜこうするか】
「直線が平面に垂直」を式にするとき、1 本のベクトルと垂直なだけでは足りません。平面を張る 2 本（ここでは と ）の両方と内積 になって初めて「平面と垂直」です。
そこで と を連立します。片方から候補を絞り、もう片方で確認する、という流れ。
体積は、OR が底面 OPQ に垂直とわかっているので が使えます（OR がそのまま高さ）。三角形の面積は空間では

が定番。「垂直」という条件を体積計算にそのまま活かすのがきれいな解き方です。

の決定。OR 平面 OPQ のとき かつ 。

より 。 だから 。

のとき ✓ で、こちらも満たす。よって

体積。 のとき

だから 、、。よって

また で、これが高さそのもの。したがって

検算（行列式による直接計算）。四面体 OPQR の体積は でも求められる。数値で計算すると 、一方 で一致 ✓　また での内積は 、 と、いずれも計算機の丸め誤差の範囲で ✓

【定石】直線 平面は「平面上の 2 本と垂直」を両方書く。空間の三角形の面積は （外積を習っていなくても使える公式）。垂直条件が与えられたら高さがタダで手に入るので、体積は一直線です。

【よくあるミス】 だけで と決めてしまい、もう一方の確認を書かないこと（今回はたまたま満たしますが、満たさない可能性を排除する記述が必要）。また の有理化を としてしまうこと（正しくは ）。

複素数平面——円が楕円に化ける変換と、焦点に隠された直角

分野：複素数平面・2次曲線　難易度：やや難　目標時間：22分

〔1〕　図形 の図示

【型】 が一定なら極形式 を代入する

【なぜこうするか】
という条件は「動く自由度は偏角 だけ」という意味。だから と1 文字 で表すのが自然です。
このとき が劇的にきれいになります。（絶対値 1 の複素数の逆数は共役）だから

つまり は「大きさ で反時計回りに回る点」と「大きさ で時計回りに回る点」の和。実部では足し算、虚部では引き算になるので、横に伸びて縦に縮む——これが円が楕円になる仕組みです。
一般に （、）はジューコフスキー変換と呼ばれ、半径 、 の楕円になります。本問は で 。

より、 と表せる。このとき

よって

（ は実数）とおくと 、 だから 、。 に代入して

したがって は楕円 （ 軸方向に から 、 軸方向に から ）である。

▲ 図形 （青い楕円 ）。赤い破線は原点中心・半径 の円で、〔2〕で使う「PQ を直径とする円」。

検算。 を から まで 8 等分して を直接計算し、 を求めると9 点すべてで ✓（例： で 、）。

【定石】（一定）なら極形式で 1 文字に。 のときの は最頻出。媒介変数表示 が出たら で を消す。

【よくあるミス】 を のままにすること。分母を実数化すると共役（虚部の符号が反転）になります。また「図示せよ」なのに式だけ書いて終わること。 切片 、 切片 を書き込んだ図を必ず描きましょう。

〔2〕（1）　 を満たす

【型】 A は線分 PQ を直径とする円の周上（直径に対する円周角）

【なぜこうするか】
「ある線分を見込む角が直角」と言われたら、迷わずタレスの定理（直径に対する円周角は直角）を使います。PQ の中点は原点、 なので、A は原点中心・半径 の円周上。式にすれば

これと楕円の式 を連立するだけ。2 式を引けば が消えて が一発で出ます。
なお豆知識として、 の焦点は より 。P、Q はこの楕円の焦点そのものです（出題者が意図的にそう置いています）。気づかなくても解けますが、気づくと「なるほど」となる仕掛けですね。

（）とおく。A が図形 上にあるから

　……①

また より、A は線分 PQ を直径とする円周上にある。PQ の中点は原点、半径は だから

　……②

②① より

②に戻して

したがって

検算。数値では 。 ✓（②を満たす）、 ✓（①を満たす）。さらに を計算すると で丸め誤差の範囲で 、すなわち ✓

【定石】「見込む角が直角」＝「その線分を直径とする円の上」。複素数平面でも図形の性質はそのまま使えます。2 つの 2 次曲線の連立は、引き算で片方の 2 乗項を消すのが基本手筋。

【よくあるミス】 の有理化を忘れること（）。また「実部と虚部がともに正」という条件を使わず を残すこと。符号の断りを必ず書くのが記述式の作法です。

〔2〕（2）　円 上にない

【型】分母を払って の 2 次方程式に。1 つの解は「円 上の点」とわかっているので、因数分解して他方を取り出す

【なぜこうするか】
まず の分母を払うと

という の 2 次方程式。解は 2 つあります。ここで「片方の解はすでに知っている」のが最大のポイント。 は図形 上の点、つまり円 上のある が で に写ってきたのだから、その が解の 1 つです。
〔1〕より と書けるので、（1）の結果 と見比べて

よって が解の 1 つ。2 次方程式で解の 1 つがわかれば、解と係数の関係で他方は割り算いらずで出ます：積が なので、もう一方は 。
この「積が 」は絶対値でも効きます。 なら他方の絶対値は 。 なので確かに円 上にない——ここまで見通せると気持ちがいい。

の両辺に を掛けて整理すると

　……③

は図形 上の点だから、〔1〕より と表せる。（1）の結果と比較して

（ ✓）。よって、〔1〕の対応する円 上の点

は③の解の 1 つである。したがって③の左辺は で割り切れ、解と係数の関係より 2 解の積が だから、他方の解は

すなわち③は

と変形できる。ここで

• 　→　円 上にあるので不適
• 　→　円 上にないので適する

したがって

検算（直接代入）。（）について を計算すると 。これは（1）で求めた と完全に一致 ✓　もう一方の （ で円 上）も同じ を与えることを確認しました ✓

別の見方（なぜ になるのか）。③の 2 解の積は なので、2 解の絶対値の積も 。一方の解が円 上（絶対値 ）なら、他方の絶対値は必ず 。つまり写像 は「半径 の円」と「半径 の円」を同じ楕円に写す——2 対 1 の対応になっているわけです。

【定石】2 次方程式の解の 1 つが問題文の構造からわかるなら、解と係数の関係（和・積）で他方を出す。因数分解や解の公式より速く、複素数係数でも安全です。「円 上にない」という条件は、絶対値を計算して選別する。

【よくあるミス】解の公式 を使って、複素数の平方根で詰まること（ の平方根を求める羽目になります）。「片方の解を知っている」ことに気づけば計算量は 1/5 以下。また の断りも忘れずに。

微分—— の凹凸・接線と法線・2 つの接触円

分野：微分（第2次導関数・接線・法線）　難易度：やや難　目標時間：22分

〔1〕　凹凸と変曲点

【型】凹凸は の符号。 の前後で符号が変われば変曲点

【なぜこうするか】
凹凸は第 2 次導関数の符号で決まります（ なら下に凸、 なら上に凸）。
計算のコツは合成関数の微分と商の微分を順に使うこと。

この は数学III で最頻出の関数なので、その導関数 は暗記しておいてよいレベルです。
そして重要なのは なので符号は分子 だけで決まるという読み。分母が正だと確定していれば、符号の議論は分子だけで済みます。

を微分して

さらに商の微分法より

より だから、 の符号は の符号と一致する。

		下に凸		下に凸		上に凸

だから

• ： より下に凸
• ： より上に凸

の前後で の符号が変わるから、 は変曲点を与える。そのとき だから、変曲点は

検算。数式処理で を計算すると ✓、 での は ✓。また （）で 、（）で と、符号の変化も確認できます。

【定石】 の微分は「合成関数」、 の微分は「商」。 は覚えてしまってよい。分母が正と確定していれば符号は分子だけで判定。

【よくあるミス】 を解いただけで「変曲点」と結論すること。前後で符号が変わることの確認が必須です（ でも変曲点でない例： の ）。また変曲点は 座標まで答えること。

〔2〕　点 A における接線と法線

【型】接線の傾きは 、法線の傾きは ——ただし のときは法線が縦線

【なぜこうするか】
接線・法線の公式は

接線：　　法線：

これ自体は機械的。本問で差がつくのは が で になるという点です。
のとき接線は （水平）で問題ありませんが、法線は「傾き 」となって定義できない。図形的には法線が 軸に平行な直線 になります。
問題文は「」としか言っていないので、 も範囲に入ります。この場合分けを書けるかどうかが本問の採点ポイント。実際、大学公表の解答も「 のとき」「 のとき 」と場合分けしています。

〔1〕より だから、点 A における接線の傾きは 。よって接線は

法線は、 または （すなわち ）のとき、傾きが だから

のときは接線の傾きが （接線は ）だから、法線は 軸に平行な直線

検算。 のとき接線の傾きは 。数値微分（中心差分、）で を求めると で一致 ✓　また のとき接線は となり、 を代入すると で、確かに点 P を通る ✓（この式は〔3〕で使います）。

【定石】法線を答えるときは「接線の傾きが になる場合」を必ず点検する。傾き のときの法線は （ は接点の 座標）。逆に接線が縦線になる場合（ が発散）は接線のほうを場合分けします。

【よくあるミス】 の場合を書かずに だけで済ませること。分母に が来た瞬間に「 すなわち は大丈夫か」と自問する癖をつけましょう。

〔3〕　接線と 軸に接する 2 円の中心間距離

【型】中心は「P における法線上」＋「 軸に接するので半径 座標」。求めるのは なので解と係数の関係で十分

【なぜこうするか】
条件を 2 つに分解します。

1. 接線と点 P で接する → 中心はP を通る法線上にあり、かつ半径
2. 軸に接する → 中心の 座標の絶対値が半径に等しい

中心を とおくと、①から （半径 、 軸の上側にあるので ）、②から が法線上。
ここからが本問のうまいところ。2 つの円の中心はどちらも同じ法線上にあり、しかもどちらも 軸に接するので、 は「両円の半径の和」——つまり です（下図参照：2 円は P で外接し、 軸に同じ側から接するので、中心間距離＝半径の和）。
そして は の 1 次式なので、 は から求まる。 は 2 次方程式の 2 解だから解と係数の関係で和だけ取り出せば十分——個々の値（無理数）を求める必要がまったくありません。

接線と法線。 だから、P における接線の傾きは 。よって法線の傾きは で、〔2〕の式（）より法線は

条件の立式。求める円の中心を とする。P を通り 軸に接する（半径 ）から

　……①

また中心は法線上にあるから

　……②

②を①に代入して

　……③

③の 2 実数解が の 座標 。解と係数の関係より

長さ。2 円はともに 軸に上側から接し、点 P で互いに接するから、 は 2 円の半径の和に等しい。半径はそれぞれ だから、②を用いて

▲ 点 P で接線（橙）に接し、 軸にも接する 2 円。大きい円 （半径 ）と、ごく小さい円 （半径 ）が P で外接する。破線が P における法線で、2 中心はこの上に並ぶ。

検算（中心と半径の実測）。実際に 2 円の中心を数値で求めると

	中心	半径	中心と P の距離	中心の 座標
		2.904407311	2.904407311	2.904407311
		0.063874517	0.063874517	0.063874517

「半径＝P までの距離＝ 座標」がどちらの円でも小数第 9 位まで一致 ✓　中心間距離は で、 と一致 ✓　半径の和 とも合っています ✓

【定石】「ある直線上の点と、ある直線に接する円」は中心の座標 を 2 式で縛る。求めるものが和や積なら解と係数の関係で済み、個々の解を出す必要はありません。「2 円の中心間距離＝半径の和（外接）または差（内接）」の判定は図で確認を。

【よくあるミス】③を解の公式で解いて を個別に求めようとし、 のような式で計算が重くなること。聞かれているのは和だけです。また半径を とせず符号を検討しないこと（本問は P が 軸の上にあるので ）。

絶対値つき定積分で定義された関数の最大最小

分野：定積分と関数（絶対値の場合分け・部分積分）　難易度：難　目標時間：24分

〔1〕　 の値

【型】絶対値の中身を因数分解 して符号を確定させ、区間を分割する

【なぜこうするか】
まず はつねに正なので、符号を決めるのは のほうだけ。そしてこれは

ときれいに因数分解できます。よって で負、それ以外で正（または 0）。
なら境界は と 。積分区間 は をまたぐのでそこで 2 分割します。
原始関数は、 の形なので部分積分を 2 回、または「答えを （2 次式）と予想して係数比較」で作れます。後者が速い： を使って係数を合わせるだけ。

であり、 だから

の範囲
または （2 根の外側）
（2 根の内側）

ここで、 を部分積分で求めると

そこで とおく。

の場合。境界は と 。積分区間 では

• ： なので正
• ： なので負

よって

のとき だから

したがって

検算（数値積分）。 を数値計算すると 。一方 で小数第 10 位まで一致 ✓

【定石】絶対値つき積分は「中身の符号が変わる点」で区間を分割。 の形なら境界は と即座にわかります。（ は多項式）は「（同じ次数の多項式）」を予想して微分し、係数比較すると部分積分より速い。

【よくあるミス】 も区間内だと勘違いして 3 分割すること（積分区間は なので は無関係）。また符号の向きを逆にすること： は2 根の外側なので正、 は内側なので負です。

〔2〕　 における最大値・最小値

【型】 の位置で「区間 が 2 根 に対してどう乗っているか」を場合分け → は 2 本の放物線をつないだ形

【なぜこうするか】
絶対値の中身が負になるのは 。積分区間は なので、 の範囲では

• のとき： かつ なので、区間 がまるごと 2 根の内側。分割不要で全域が負。
• のとき： が に入るので、 で 2 分割。

という 2 通りだけ。それぞれ計算すると、驚くほどきれいに

の範囲		展開した形	凸性
			下に凸
			上に凸

と、 の符号だけが違う 2 本の放物線になります。左側は下に凸（）、右側は上に凸（）。
あとは各区間で頂点を求めるだけですが、 の出番がここ。頂点 と が本当に区間内にあるか、そして最大値の候補 と のどちらが大きいかを判定するのに使います。 というのが決め手。

[1] のとき。 だから、 で分割して

と平方完成できることに注意すると計算が一気に軽くなる。すなわち

よって

これを展開すると で、。 より だから、 は区間内にあり、そこで 。

[2] のとき。 かつ だから、 でつねに 、すなわち中身は負。よって

展開すると で、。 より だから、 は区間内にあり、そこで 。

（ では両式とも となり、つながっていることも確認できる。）

増減表。

極値の計算は次のとおり。

大小の比較。最大値の候補は と 。 より だから

よって最大値は （）。最小値の候補は と 。 より であり、 より だから

よって最小値は （）。以上より

最大値 （）　　最小値 （）

▲ のグラフ。 を境に「下に凸の放物線」から「上に凸の放物線」へ切り替わる。左端 が最大、谷 が最小。

検算（1001 点の数値積分によるスキャン）。 を から まで 1001 点動かし、絶対値つき被積分関数を毎回数値積分して を求めた結果

	数値積分	上で導いた式
	2.718281828	2.718281828
	1.138581458	1.138581458
	0.731058579	0.731058579
	1.000000000	1.000000000
	1.581976707	1.581976707
	1.281718172	1.281718172

すべて小数第 9 位まで一致 ✓　またスキャン全体の最大は （）で ✓、最小は （、格子の刻み幅の誤差）で ✓。参考値は 、 です。

【定石】 と平方完成できることに気づくと、代入計算が劇的に軽くなる（ で になる！）。絶対値つき積分で定義された関数は、場合分けごとに「 のふつうの関数」として書き直してから微分する。

【よくあるミス】 のうち 側でも分割が必要だと思い込むこと（不要です）。また最大値の候補を頂点だけにして端点 を忘れること——本問の最大値はまさに端点で実現します。「 を用いてよい」というヒントは「大小比較が必要になりますよ」という合図だと読み取りましょう。