東京理科大学 2007年度 過去問・解答

東京理科大学2007年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[2] 連立漸化式を、和と差で分離する

a₁ = 3、b₁ = 1 で、a_n+1 = 4b_n + 2、b_n+1 = a_n + 1 で定まる2つの数列を考えます。

c_n = a_n − 2b_n、d_n = a_n + 2b_n とおきます。

(1) {c_n} と {d_n} の漸化式

c について

c_n+1 = a_n+1 − 2b_n+1 = (4b_n + 2) − 2(a_n + 1) = 4b_n + 2 − 2a_n − 2

= −2(a_n − 2b_n) = −2c_n　（定数項がきれいに消えます）

c₁ = 3 − 2·1 = 1

d について

d_n+1 = a_n+1 + 2b_n+1 = (4b_n + 2) + 2(a_n + 1) = 2a_n + 4b_n + 4

= 2(a_n + 2b_n) + 4 = 2d_n + 4

d₁ = 3 + 2·1 = 5

なぜ「±2倍して足し引き」でうまくいくのか。a_n+1 = 4b_n、b_n+1 = a_n の部分に注目すると、a と 2b を組にしたとき a_n+1 = 2·(2b_n)、2b_n+1 = 2a_n と対称な形になります。対称なものは和と差に分けると分離できる — これが連立漸化式の基本方針です。

(2) c_n, d_n の一般項

{c_n} は初項1・公比 −2 の等比数列なので

c_n = (−2)ⁿ⁻¹

{d_n} は特性方程式 x = 2x + 4 の解 x = −4 を使って

d_n+1 + 4 = 2(d_n + 4)

d₁ + 4 = 9 なので d_n + 4 = 9·2ⁿ⁻¹、すなわち

もとの a_n, b_n に戻す

c_n + d_n = 2a_n、d_n − c_n = 4b_n なので

a_n = {(−2)ⁿ⁻¹ + 9·2ⁿ⁻¹ − 4}/2、b_n = {9·2ⁿ⁻¹ − 4 − (−2)ⁿ⁻¹}/4

検算：n = 1 で a₁ = (1 + 9 − 4)/2 = 3 ✓、b₁ = (9 − 4 − 1)/4 = 1 ✓　n = 2 で a₂ = (−2 + 18 − 4)/2 = 6（漸化式からも 4·1 + 2 = 6）✓、b₂ = (18 − 4 + 2)/4 = 4（漸化式からも 3 + 1 = 4）✓

(3) 和 Σc_k、Σd_k

Σc_k：初項1・公比 −2 の等比数列の和なので

Σ_k=1ⁿ(−2)^k−1 = {1 − (−2)ⁿ}/{1 − (−2)} = {1 − (−2)ⁿ}/3

Σd_k：等比部分と定数部分に分けます。

Σ_k=1ⁿ(9·2^k−1 − 4) = 9 × (2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 4n = 9(2ⁿ − 1) − 4n

検算：n = 1 なら Σc = (1 + 2)/3 = 1 = c₁ ✓、Σd = 9(2−1) − 4 = 5 = d₁ ✓　n = 2 なら Σc = (1 − 4)/3 = −1 = 1 + (−2) ✓、Σd = 9·3 − 8 = 19 = 5 + 14 ✓

この年の学習ポイント

連立漸化式の標準的な解法は「適切な定数 k を選んで a_n + k·b_n の形を作る」ことです。この問題では k = ±2 が誘導として与えられていますが、与えられなかった場合は次のように探します。

a_n+1 + k·b_n+1 = (4b_n + 2) + k(a_n + 1) = k·a_n + 4b_n + (2 + k)

これが α(a_n + k·b_n) + 定数 の形になるには α = k かつ αk = 4、すなわち k² = 4 で k = ±2。2次方程式を解いて k を決めるという手順を、誘導なしでも実行できるようにしておいてください。

東京理科大学2007年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。