東京理科大学 2008年度 過去問・解答

東京理科大学2008年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1](1) 7⁷⁷⁷ の下3桁

下3桁を求める、つまり 1000 で割った余りを求める問題です。

指数を扱いやすい形にまとめる

777 = 4 × 194 + 1 なので

7⁷⁷⁷ = (7⁴)¹⁹⁴ × 7 = 2401¹⁹⁴ × 7

2401 = 2400 + 1 と、末尾に0が並ぶ数 + 1 の形になったのがポイントです。

二項定理で展開する

(2400 + 1)¹⁹⁴ = ₁₉₄C₀ + ₁₉₄C₁·2400 + ₁₉₄C₂·2400² + … + 2400¹⁹⁴

2400² = 5760000 は下3桁が000なので、2400² 以降の項はすべて1000の倍数です。したがって下3桁に効くのは最初の2項だけ。

1 + 194 × 2400 = 1 + 465600 = 465601

よって 2401¹⁹⁴ を1000で割った余りは 601。

最後に7を掛ける

601 × 7 = 4207 なので、下3桁は

検算：実際に 7⁷⁷⁷ を1000で割った余りを計算すると 207 です。底を「キリのよい数 ± 1」の形に変形するのが、下何桁を求める問題の王道です。7⁴ = 2401 に気づけるかどうかが分かれ目になります。

[1](2) 出た目のどれもが他を割り切らない確率

さいころを n 回投げ、出た目のうちどの目も他の目を割り切らない確率を p_n とします。

使える目の絞り込み

まず条件から次のことが分かります。

[1] 1 は出てはいけない（1 はすべての数を割り切るため）
[2] 同じ目が2回出てはいけない（同じ数どうしは割り切るため）
[3] (2, 4), (2, 6), (3, 6) の組は出てはいけない（前者が後者を割り切るため）

使える目は 2, 3, 4, 5, 6 の5つで、そこから上の禁止組を除きます。

n = 2 のとき

2〜6 から2つ選ぶ組は ₅C₂ = 10 通り。ここから禁止組 (2,4), (2,6), (3,6) の3つを除いて 7通り。

(2,3) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,6)

目には出る順序があるので、各組につき2通りの並び方があります。

n = 3 のとき

3つ組で条件を満たすのは

{2, 3, 5}、{3, 4, 5}、{4, 5, 6} の 3通り

それぞれ 3! = 6 通りの並び方があるので

3つ組を探すときは、2つ組の7通りを土台に「3つ目を足せるか」を調べると漏れがありません。たとえば (2,3) に足せるのは 5 だけ（4 は2で、6 は2と3で割り切れる）。

n ≧ 4 のとき

2, 3, 4, 5, 6 の5つから4つ以上を選ぶと、必ずどこかに割り切る関係が生まれます。

実際、2 と 4、2 と 6、3 と 6 の3つの禁止ペアを避けながら4つ選ぶことはできません（5 は必ず入れるとしても、残り3つを 2, 3, 4, 6 から選ぶと必ず禁止ペアを含みます）。

この年の学習ポイント

(1) は「大きい数の下何桁」を求める典型で、手順は決まっています。

(あ) 指数を分解して、底をキリのよい数 ± 1 にする／(い) 二項定理で展開する／(う) 求める桁数より下が0になる項を切り捨てる。

(2) は「割り切る／割り切られる」という関係を、禁止ペアのリストに翻訳してしまえば単純な数え上げになります。1〜6 という小さい範囲なので、(2,4)(2,6)(3,6) の3組だけを覚えておけば十分です。

東京理科大学2008年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。