東京理科大学 2009年度 過去問・解答

東京理科大学2009年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[2] 和積の公式と、半角による微分

0 < t < π を定数とし、0 < θ < π − t の範囲で

f(θ) = sinθ + sin(π − t − θ)

を考えます。

(1) f(θ) の最大値 m(t)

まず sin(π − x) = sin x を使って形を整えます。

sin(π − t − θ) = sin(t + θ)

したがって f(θ) = sinθ + sin(t + θ)。ここで和積の公式

sin A + sin B = 2 sin{(A+B)/2} cos{(A−B)/2}

を A = t + θ、B = θ に適用すると

f(θ) = 2 sin{(2θ + t)/2} · cos(t/2)

cos(t/2) は θ に無関係な正の定数（0 < t/2 < π/2 なので正）。したがって f(θ) が最大になるのは

sin{(2θ + t)/2} = 1　⇔　(2θ + t)/2 = π/2　⇔　θ = (π − t)/2

この θ が定義域 0 < θ < π − t に入ることを確認します。π − t > 0 より

0 < (π − t)/2 < π − t　✓

和積の公式を使うと、θ を含む部分（sin）と含まない部分（cos）に完全に分離できます。分離できれば最大値は一目瞭然です。合成でも解けますが、この形は和積のほうが速いです。

(2) g(t) = sin t + m(t) の最大値

g(t) = sin t + 2cos(t/2)（0 < t < π）を微分します。

g'(t) = cos t − sin(t/2)

ここで t を t/2 にそろえるのが要点です。倍角の公式 cos t = 1 − 2sin²(t/2) を使うと

g'(t) = 1 − 2sin²(t/2) − sin(t/2)

s = sin(t/2) とおくと −2s² − s + 1 = −(2s − 1)(s + 1)。

0 < t < π のとき 0 < t/2 < π/2 なので 0 < s < 1、したがって s + 1 > 0。g'(t) の符号は −(2s − 1)、つまり 2s − 1 の符号を反転したものです。

g'(t) = 0 ⇔ s = 1/2 ⇔ t/2 = π/6 ⇔ t = π/3

t	0	…	π/3	…	π
g'(t)		+	0	−
g(t)	2	増加	3√3/2	減少	0

g(π/3) = sin(π/3) + 2cos(π/6) = √3/2 + 2·(√3/2) = √3/2 + √3 = 3√3/2

3√3/2 ≒ 2.598 で、両端の値 g(0) = 2、g(π) = 0 より大きいことが確認できます。端点の値と比べるのは増減表の検算として有効です。

この年の学習ポイント

(2) で cos t を sin(t/2) で書き直すという一手が最大のポイントです。g'(t) = cos t − sin(t/2) のままでは符号が読めませんが、角を t/2 にそろえると s = sin(t/2) の2次式になり、因数分解して符号が確定します。

「複数の角が混ざったら、いちばん小さい角にそろえる」— これは三角関数の微分・方程式・不等式に共通する原則です。t と t/2 が混ざっているなら t/2 に、2x と x が混ざっているなら x にそろえてください。

東京理科大学2009年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。