藤原進之介です。このページでは宇都宮大学2015年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：a sin θ + b cos θ の形を見たら三角関数の合成。ただし範囲が制限されているときは合成して終わりではありません——端点の確認までが1セットです。
1. なぜその一手を選ぶのか
sin と cos が混ざったままでは増減が読めません。合成して R sin(θ + α) の 1 つの波にすれば、あとは「その波が範囲内でどこまで振れるか」だけの問題になります。R = √(42 + 32) = 5 。
ここが本題です。範囲が狭いので、sin(θ + α) が 1 や −1 に届かないことがあります。届かない側は端点で最大（最小）になるので、θ = 0 と θ = π/2 の値を必ず計算して比べます。合成しただけで「最大は R + 5」と書くと、ここで落とします。
2. 解答
- 合成：4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin(θ + α) 。ここで α（ただし cos α = 45 、sin α = 35 を満たす鋭角） 。
- よって y = 5 sin(θ + α) + 5 。0 ≦ θ ≦ π/2 のとき θ + α は α から π/2 + α まで動きます。
- この区間で sin は 1 に到達する（θ + α = π2）ので、最大値は 5 + 5 = 10 、そのとき θ = π2 − α 。
- sin は −1 にも届かないので、最小も端点。θ = 0 のとき y = 8 が最小。
答え： 最大値 10（θ = π2 − α）、最小値 8（θ = 0）
3. 検算
振れ幅で確かめる：最大 − 最小 = 2.000 。範囲が1周ぶんあるなら 2R = 10.000 に一致し、狭ければそれより小さくなるはずです。今回は2R より小さく、範囲が制限されている事実と整合しています。
端点を代入して確かめる：θ = 0 で y = 8 。これが最大値以下・最小値以上に収まっていることを必ず見ます。
この型の一般化：a sin θ + b cos θ = √(a2+b2) sin(θ + α) は無条件で使えますが、最大値が R になるとは限りません。決め手は「θ + α の動く区間が π2 や 3π2 を含むか」。含まなければ端点勝負です。合成は変形であって解答ではない——ここを混同するのがこの型の最頻出ミスです。第6章 関数で最大最小の判断を、第7章 座標で角の扱いを整理しています。
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宇都宮大学の数学の過去問は19年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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宇都宮大学 2015年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 数列
- 関数・グラフ
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2015年度の問題PDFでは、数列、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。宇都宮大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は19年度、微分・積分は19年度、関数・グラフは18年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 数列、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分
LEBOnkE, -1 と書かれた玉, 2 と書かれた玉がそれぞれ 1 ToC
ある。この袋の中から 3 個の玉を取り出す。取り出した 3 個の玉に書かれ
た数字の和を m ETS, KK, ROP Rok 2 個の玉に書かれた数字
の積を ヵ とする。このように定義された 7z と ヵ のもとで, 2 次関数
f(z) =の2ーmg二る
を考える。このとき, 次の問いに答えよ。
問 1 m のとり得る値をすべて求めよ。
問 2 とぁのとり得る組合せ (m,n) をすべて求めよ。
間3 刀とのとり得る組合せ (m,n) のすべてについて, それぞれが起こる
確率を求めよ。
問4 EK f(x) > 0 がすべての実数 z について成り立つ確率を求めよ。
問5 WESC f(x) =0 が異なる実数解 o, の をもち, 同時にo<2 かつひ<2
となる礁率を求めよ。
第 2 Bl AABC の外接円の中心を O とし, 半径を 1 とする。辺 BC の中点を
P, 辺 AB を1 : 2 に内分する点を Q とするとき, KOMVICBAL,
問1 Ok=0,08B=0,00=¢ とおくとき, POS a, ぢ。で を用いて
表せ。
a
問 2 問1における PQ, G+ 0 と平行で向きが同じとする。
EZ 独=ニ5:1 とするとき, で・で と 5・c を, それぞれで.ぢ
と s を用いて表せ。
Bs 問において, さらにョー 古 であるとき, CP Otte.
1 eee やM1(204一2
第 3 問 』=1 =4 bnge =Sbng —6bn (n= 1, 2, 3, ... ) で定められた
数列 {on} がある。数列 {an} が a1 =1, gan —On = bn + ey +n
(n=1,2, 3, +++) をみたすとき, 次の問いに答えよ。
FAL pn = Ont —2bn EBS, BG fp。} は等比雪列であることを示し, 一般項
を求めよ。
問 2 =ュー36。 LHX. Bl {qn} は等比数列であることを示し, 一般項
を求めよ。
AIS 数列 {6。} の一般項を求めよ。
問4 数列 {a,} の一般項を求めよ。
第 4 問 々を任意の実数とするとき, 次の問いに答えよ。
問1 座標平面上の点 P(u。 1) を通り, 曲線リッーッ2 に接する直線は, ちょう
ど 2 本あることを示せ。
問 2 問1 における 2直線と曲線 ヵ=ァ? との接点を, それぞれ A(a 7),
BG, 62) とするとき, o と をそれぞれて の式で表せ。ただし, o </
とする。
問 3 問1 における 2直線と曲線 =o? で囲まれた図形の面積を 9 とすると
き, 9 をの式で表せ。
問4 問 3 で求めた面積 9 の最小値を求めよ。
om QB om ©M1(204—3)
第 5 Fl 向分可能な関数 f(x) tk, 2 つの条件 ア(z) = ze", 7(1) = 0 を満たし
ている。このとき, 次の間いに答えよ。
問1 関数7(z) を求めよ。
問 2 すべての z に対して次の等式を満たす関数 g(a) を求めよ。
- (2—a)e* /?
aa) = $2) + SIE [gta
問 3 g(x) を問 2 で求めた関数とし, ぁ を定数とする。z についての方程式
g(x) = kz の異なる実数解の個数を調べよ。ただし, im — ニoco を
用いてよい。
第 6 問 m>1 SB TS, BK f(a) = (テー?)sinmz (0ミzz) につ
いて, 次の問いに答えよ。
問 1 f(a) =0 となるすべてのgz (0 ミz ミィ) の値を, 小さい順に 21, zz,... 。Zy
で表す。このとき, NE m の式で表し, cy (=1.2....,W) ををとmの
式で表せ。
問2 問1で定めた zz と zesi (を=1,2。... パー1) に対し, 曲線
ッリーナ(z) (ee SoS apy) と z 軸で囲まれた図形の面積を 9。 とするとき,
Sy をたと m の式で表せ。
N-1
HS 問2で求めた面積 5。 のを=1 から N-1 までの和 SS, を求めよ。
k=1
—3— M1 (204—4)