早稲田大学 2016年度 過去問・解答

(1) X=5 であったとき Z=4 となる確率を求めょ。

(2) Z=4 となる確率を求めよ。

(3) ZS3 となる確率を求めよ。
問2 座標空間において, 原点0と点P(0, 0, 2) を直径の両端とする球面をら8とする。また ay 平

面上に放物線C:ゅニッィパー2 を描き, C上に点Rをとる。線分PR と球面S$の交点をQとし, Qか

ら xy 平面に下ろした垂線の足をHHとする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) 原点ひから点までの距離を / とするとき, 線分QRの長さを 7ヶ を用いて表せ。

(2) 線分QHの長さを hk, 点Rの座標を (z, y, 0) とするとき, hel である場合に x がとる

値の範囲を求めよ。
(3 ) 点Rが放物線C上のすべての点を動くとき, ヵ を最小にするRの座標を求めよ。
-
- Ss P
Sg
en OL
j R
6 x
図1
so のデー

1 8
ーー 3 一一

問3 次の不等式
3 1+ loge (n*) < tog. のくすlogz3) ... (8)
を満たす自然数 n と実数 > について, 以下の問に答えよ。
(1) 次の空欄にあてはまる数を解答敵に記入せよ。
fogar とおく。このとき, 1+ jog (が) =ニュキーーーー」 tog. ve= [A] xt でぁ
る。したがって。 不等式 1 + loge (x) < og, Jz が満たきれることは| (5) | < <[G) |
または>| は) | であぁることと同値である。 .
(2) z も自然数であるとき, 不等式(*)を満たす組 (ヵ, >) ETATROL, SOAMAMICE
tks
come Hf ones

ーー 5 一

4 FORMICA Lo
(1) KOH CE SRE TESA SL
半径1の円Oに内接する長方形ABCDがある。角OABを x (0く>く今) とするとき,長
weaBCcDomms[ (Z) | とをる。したがって, x=[M]ocanamelm] ees.
(2) 半径1の円Oに内接する x 角形AA A, DAM AA Ane (R=1, 2,048, み科3た
BL, Aya =Ay, As =A) がすべて < (0ぐZくァ) に等しいとする。このとき, KOM
に答えよ。
Ci) ay (R= 1, 2.のみ) MAA の長さを表すとする。 HH OMA, = O (0< みく今)
とおくとき, a, gn および a tay, を, &, g を用いて表せ。
Gi) 2 が奇数のとき, ヵ WBA AA, IE ヵ 角形となることを示せ。
Gil) 1 が偶数のとき, のニムーーの-」を示せ。きさらに, その等しい角を 9 とおいて,
n 角形AA。... A。 の面積 5,(の) を a, 9 を用いて表せ。
(iv) a を ヵ の式で表し, (向)における S,(の) の最大値とそのときののを ヵ の式で表せ。
答のみ解答欄に記入せよ。

NS
‘Ase
A
Ay Se
Aun
図2
」 以下余 A)
ーーターー

(1) 、正の整数々に対して, ある整数ゎが存在して63g一325 = 1を満たすとする。
egはこのような性質を満たす正の整色のうちで最小のものであるとする。
このときめの値を求めよ。

(2) 3個のさきいころを同時に投げたとき, 出大目すべての積が4 の倍数となる確
率を求めよ。

(3) a ==), Qnyg=GQn+Qn41 (n= 1,2,3,---) EL,

=うしw (n= 1,2,3,05+)
kel に
とおく。 から nis までの 2016 個の整数のうち3の倍数であるものは全
部で何個あるか。

(4) りーリ7(Z) は0 Sa 1で定義きれた連続な関数で 7/(0) =0, FU) = 1であ
り, OS a < a9 S1であるすべての wy, 09 に対して flay) < fae) を満た
しているとする。 r=gly) を0ミッSミ1で定義8れた了 の逆関数とする。

1 1
5/ gw=3/ 2の
ソ0 0

が上立しているとき/ fla)de の値を求めよ。

2 つの複素数 ゅ, z (2 き 0) の間に 。
wy pps
il anaes

EVIMRBSS. Co Cwaaxrt yi (x, yltER, ? は虚数単位) と表すとき,

以下の間に答えよ。

(1) 栓数平面上で。が原点を中心として半径 の円周上を動くとする。 こ
DES が描く曲線を座標平面上のz とヵの方程式で表示せよ。

(2) (1) で得られた曲線じ上の点P(s.り (s > 0, t > 0) における曲線どの接線
が> 軸と交わる点をQ, ヶ軸と交わる点をRとする。このとき原点OとQ
とR とを頂点とする直角三角形 AOQR をゅ軸のまわりに1 回転してでき
る円雛の体積の最小値を求めよ。

—

座標平面上の動点 P,(y、?) の座標が, 4 の関数
x=e cost, y=e‘sint

で与えられている。また0を原点とする。 実数g、あで0<ぁ5ーg<2rであるもの

に対して, 線分OP。 と, 動点P,が#=ニgwから?=)5まで動くときに描く曲線と,

Wy OP, とによって囲まれる部分の面積を 5(。,0) とおく。次の問に答えよ。

() 7の20= 9(0.0 EFS. MMR Tf を求めよ。

(2) 自矯数ヵに対して, un) = 5 ("545 44) とおく。 U(n) を求めよ。

(3) 無限散数 》 、C(n) の和を求めよ。

n=1
[4] 323 (0,0), (1,0), (0,1) を頂点とする三角形をD とする。D の1 辺を選び, その中

点を中心としてDを180* 回転きせる。このようにしてD から得られる 3 個の三

角形からなる集合を 9ぬ』。 とする。8」 から一つ三角形を選び, さらにその三角形の

1 辺を選び, その中点を中心としてその三角形を 180° 回転きせる。 このようにし

TS から得られる三角形すべてからなる集合を 9。 とする。3。 は7 個の三角形か

らなる集合であり, その中には D $も含まれる。 一般に, 自然数ヵに対して 8。ま

で定義されたとき, 5。から一つ三角形を選び, さらにその三角形の 1 辺を選び,

その中点を中心としてその三角形を 180° 回転きせる。このようにして 8。 POH

られる三角形すべてからなる集合を Sry とする。次の問に答えよ。

(1) 5 の要素を全て図示せよ。

(2) mt ARKEF 4S. Sim から一つ三角形を選び, その頂点それぞれと原点
(0,0) との距離の最大値を考える。三角形の選び方をすべて考えたときの,
この最大値の最大値 ゐ。。 を求めよ。

(以下 余 A)

ーー 6 一一

ーー 7 —_

(1) SCRE ROBT EIR (2 カ所) に、氏名および受験番号を正確に丁寧に記入すること。
(2) 所定欄以外に受験番号・氏名を書いてはならない。
(3) 受験番号の記入にあたっては、次の数宇見本にしたがい、読みやすいように、正確に丁寧に記入する
こと。
| 生和見を [ozlsl4lslel7lsl9|
(4) 受験番号は右著めで記入し、余白が生じる場合でも受験番号の前に「0」 を記入しないこと。
col) 3825番| 13|18lzl5
(5) 記六解答用紙の裏面解答を記人しないこと。 但し、豪面は計算のために使用してよいが、採点の対
象とならない。
(6) 記述解答用紙を折って使用する場合は、記述解答用紙にある指示に従うこと。
5. 試験終了の指示が出たら、すぐに解答をやめ、筆記用具を置き記述解答用紙を豪返しにすること。
6. いかなる場合でも、記述解答用紙は必ず提出すること。
ーーューー

~ [=] にあぁてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ.
(1) 20を2016で割った余りは| 7] でぁる.
(2) 0を正の整数とする. 方程式
273 — aa? + br +3=0
が, 1 以上の有理数の解を持つような。の最小値は|イ | でぁる.
|
(3) 正2016和角形のがある. 頂点がすべてPの頂点であるようか正多角形は全部で| ウ |人
HS. KEL, 頂点の異なる正多角形は異なるものとする.

Qk-Ur \. ァ =回
(4) (asm SE )sin 35 =|
ーー

放物線 ヵー 2? 上の異なる 2 点をPi(o, a), Ps(2, 2) とする.ただし<とする.
線分 PiP。 LOK P(a, 6) に対し, S(a, 0) =b-a2 EFA.
次の設問に答えよ.
| (1) S(a, の) の最大値 M(a, ) を求めよ.
|
| (2) KORE i), ii) を満たす線分PiP。 上の点の存在範囲の面積を求めよ.
| i) Ma, 8)= en
| i Mla, 3) = q
ii) Py, Po を通る直線の傾きの絶対値は1以下.
| 平面上に点 Ao, Bo, Co, Ar, Bi, C1, Ao, Bo, Co, Az, Ba, Cs ......・ があり, KOKI), ii) を
| 満たしている.
i) AoBo =5, BoCo = 7, CoAo =8
ii) n=0,1,2,3,------ に対し
Angi は, 直線 B。C。 に関して A。 と対称な点であり,
Basi は, 直線 AiC。 に関して B。 と対称な点であり,
Cm は, 直線 AriB。+ュに関して O。 と対称な点である.
次の設問に答えよ.
(1) AoAi を求めよ.
(2) AoAs を求めよ.
(3) ApAsns を求めよ. |
(以下 & A)

(1) 試験開始後, 記吉解答用紙の所定棚 (2 カ所) に, 氏名および受験番号を正確に丁寧に記入する
でも
(2) 所定欄以外に受験番号・氏名を書いてはならない。
(3) 受験番号の記入にあたっては, 次の数字見本にしたがい, 読みやすいように, 正確に丁寧に記入
すること。
xeax lolil2lsl4lslel?ls]9|
(4) 受験番号は右詰めで記入し, 余白が生じる場合でも受験番号の前に「0」 を記入しないこと。
(ale fa [+[—
coh sxe [ [3 [812 [5 |
(5) 計算の途中経過を記述すること。
(6) 定規, コンパスを使用してもよい。
5. 解答はすべて所定の解答欄に記入すること。 所定の解答欄中外に何かを記入した解答用紙は採点の
対象外となる場合がある。なお, 所定の解答欄は記述解答用紙に指示されている部分とする。
6. 試験終了の指示が出たら, すぐに解答をやめ、 筆記用具を置き朋答用紙を裏返しにすること。
7. いかなる場合でも, 解答用紙は必ず提出すること。
8. 試験終本後、問題同子は持ち帰ること。
キューー

この真は下書きに使用してよい
|
—_—

この頁は下書きに使用してよい

関数 /(z) = lz2ー1| 一1 について, 次の問に答えよ。
(1) BK fe) の最小値、およびそのときのェの値を求めょ。また, My = flo) Eel

の共有点の座標を求めよ。

(2) Wah Ja? | < > Mt
(3) 曲線9=ガ(7) bow (>. (>) における接線 《の方程式を求めよ。
(4) 曲線=リナ(z) と接線で囲まれだ部分の面積 $ を求めよ。

三角形 ABC において, /A の二等分線と辺 BC の交点を D とおく。また, Cを通り AD
と平行な直線と辺 BA OMEL ORME EL BS.

ベクトルを AC =5, ABニ= DORE* AC=b, AB=c, 角をZBAO=9として,
次の問に答えよ。

(1) AY bU CB ES, & b, cを用いて表せ。

(2) cos $ =p とおく。ペクトル CRO f= (GE) を 6。 6 pを用いて表せ。

(3) 三角形 BCE の重心をG とおく。ベクトルBG を5, & 6, cを用いて表せ。

(4) ペタトル BG と ACG が互いに直交するとき, cos9を6 cを用いて表せ。

ァ。め タの1次方程式
a+y+2=2k-1 sa
について, 次の問に答えよ。ただし, 定数をはょ=6を満たす整数である。
(1) HEAOD BRM (@, y, 2) のうち, ァ>0, リッ> 0, > 0 をすべて満たすものは全部
で何個あるか, たを用いて表せ。
(2) (1) のうち, > <たを満たすものは全部で何個あるか, たを用いて表せ。
(3) (1) のうち, ょさん ySh4l, <ミた寺2 をすべて満たすものは全部で何個あるか,
ょを用いて表せ。
以下余 回

この頁は下書きに使用してよい
ーー 6 一

この頁は下香きに使用してよい
| 6
ae Fos

(1) 点Q におけるでの接線をヵとし. 6とヵとの交点を R とする.
“RR の座標を (p.2) とするとき t
[=]
eS tS
Je 回
が成り立つ.
(2) 曲線C と線分 PQ ee ee ger その

ときの点P,Q の座標は
(2 2) (48
fe) (4) Ue)
CHS.
AS ees -

[4]

fOe 。

= ff |t—2dr

CRS. Iss 20 とおるし

関数ゞ=げ(x*) のグラフとェ軸,ァ= 1 ・・*で中をかる上の
である. =

ig

[Fi 5)

2 点 O(0.0.0),P(p, の./) を通る直線をのとする. KELP +P+Pa1k
する.

直線に4点

A(1,1,-1), B(1、-1.1)、 C(-1.1、1), D(-1,-1.-1)
Db, それぞれ垂線 AA. BB, CC, DD' を下ろすとき
(QA =の+|ヌ2+ネが
であり
(Oa’? + OB’? + (OCF + OD’? =[7]
である.
[以下余 Al
ニコ ーー

に2全日) ミニ

ION全日=

(1) それぞれ在庫が 3 個以上ある 3 種類の商品の中から, 3 個の商品を選ぶ

選び方は| ア] 通りである.

Q) 3 つの引き出しA, B, Cがある.
引き出しA には商品 「 メガネ] が3 個と商品「サングラス」 が2個, 引
き出し B には商品「メガネ」 が2 個と商品「サングラス」 が$ 個人って
いる. 引き出しCには何も入っていない.
いま引き出し A, B から, それぞれ 1 個ずつ無作為に商品を取り出し,
引き出しCに入れた.
その後, 引き出しCから無作為に取り出した商品が「メガネ」 であった
とき, |
CHS.

oe

(2) っっ
三角形ABC に対して, ベクトルp, 9を
っ
p =(sinA, sin B)
=
9 = (cos B, cos A) -
とするとき
っ っ
p-q=sin2C
が成り立つ. 以下の間に答えよ.
dy) ACORS Ein である
(2) sind, sinC, sin#はこの順で等差数列をなし, DO,
— > ーー
CA -(AB - AC) = 32
であるとき, 辺 AB の長きは| カ|である.
。 =

【隊3】 .
曲線C:ッ=ゼ上の点をPとする. ただしPの座標は正とする.
PK BUS COMBE C, AP を通りに垂直な直線を m OTS.
直線ヵと曲線どがP とは異なる交点をもつとき, その点を 〇 とする.
点P が曲線C上を動くとき, 以下の問に答えよ.

(1) 点Q におけるC の接線をゥとし, ととヵとの姿点をR とする、
点R の座標を (p,9の) とするとき
eS
[2\r°
」 が成り立つ.
(2) HEC CMD PQ で囲まれる部分の面積の最小値は 己二 であり, その
ときの点P, Qの座標は
y= S/S =
である.

te 4]
ay Fi LORUL END EF SAUTE IRM L, 点 P(。 0.1) を頂点とする
MRE KET.
/ がー1 51S 1 OMMEH CLS, AAEK の表面および内部が通過する部分
の体積は CHS. _
ーッラー

[Fis]
複素数 z, z, z。 を表す複素数平面上の点を, それぞれ A, B, C とする.
3 点A, B, CがAB:BC:CA=1: Y3:2の三角形を作るとき
SoH [Re Veli
2一 3
である.
[以下 余 Al

ーー 9 RA) 一

ーー 10 GRA) 一

(1) 印刷きれている受験番号が, 自分の受験番号と一致していることを確認したうえで, RAIMI
名を記入すること.
(2) マーク欄にははっきりとマークすること. また, 訂正する場合は, 消しゴムで丁寧に, 消し残し
がないようによく消すこと.
マークする時|W良い <ぐつ悪い OB
マークを消す時 |<つ良い OB OR
5. 問1から問6までの|ア| [4], [9], ...にはそれぞれ一49,一48, ... ー2. 一1 0,1,
2。 ..., 48, 49のいずれかの数が当てはまる. 次の例にならって, マータク解答用紙のア、イ, ウ, ...で示
された位にマークして答えること
例. アに3, イに-5, ウに30, エにー24, オに0と答えたいとき.
+ の 位 ー の 佐
OS OS] SO OO 1 WO16ら161ら「5「5
Oolololole(olololololole fo)
ol. | カ| ェ+|キ| ヒーァー1と符えるときは, | | にー1, | キ | に-1を入れること-
6. Q) 分数の分時はできるだけ小さきな自然数で解符すること.
2) 根号の中はできるだけ小さな自然数で解答すること.
7. 解答はすべて所定の解答騰に記入すること. 所定所以外に何かを記入した解答用紙は探点の対象外と
なる場合がある。
8. 試験終了の指示が出たら, すぐに解答をやめ, 筆記用大を置き解答用紙を裏返しにすること、
9 いかなる場合でも, 解管用紙は必ず提出すること.
— ュ、=。

XS

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、、
ーー COA
ーー 。
Se Bee
Be

間1.
2, y EEDBRE TS.
(Ql) 17z-369一1となる最小の*は| ア | である.
(2) 17z3 36ゅー1となる最小の々は| イ | CHS.
ーー BY ニーニー

間2.
FL F(0.1) を通り、 直線ャ= ー1 に接する円の中心が描く軌跡を曲線〇 とする. COLE, HRC を表す方程式は
ューの
“Ty
となる. EK, 曲線ど上にヶ座標が正である点 P をとる. 線分FP の長さが4 となるとき, 曲線のの点Pにおけ
る接練と曲線の およびり軸とで囲まれる図形の面柄は| エ |/| オ | となる.

Fa 3. 。
2 つの箱 A、 B があり、 いずれの箱にも赤球が1 A, 白球が3個人っている. COC, 「それぞれの箱から 1 HOR
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) 記述解答用紙の所定欄 (2 カ所
（続きは問題PDFで確認できます）