中3｜関数 y=ax²解き方がわからないときは 中３数学｜関数 y=ax²とは グラフ・変域・変化の割合【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
動点の面積や円の価格は、数量が変わる様子を式にする「関数」の問題です。面積や価格を指定して元の時刻・半径を求める段階では、できた二次方程式を使います。2題を通して、二次関数と二次方程式の役割の違いまで整理します。
二次方程式か、二次関数か
| 問い | 主に使う考え | このページの例 |
|---|---|---|
| 変化する2量の関係を式にする | 二次関数 | Sをtの式、価格yを半径xの式で表す |
| ある値になる入力を求める | 二次方程式 | S＝3となるt、y＝900となるxを求める |
問題1：直線上とx軸上を動く2点
点Pは直線 y＝x＋2上を動き、点Qはx軸上を動きます。動き始めてからt秒後、Pのx座標はt、Qのx座標は4－tです。原点をOとし、t≠4のときの△OPQの面積をSとします。
点Pと点Qの座標
Pは直線 y＝x＋2上にあり、x座標がtです。式のxへtを代入します。
Qはx軸上なのでy座標は0です。
三角形の底辺と高さを決める
底辺をx軸上のOQとすると、高さはPのy座標t＋2です。線分の長さは負にならないため、OQは座標4－tそのものではなく、その絶対値です。
（1）面積Sをtの式で表す
① 0＜t＜4のとき
Qのx座標4－tは正なので、Qは原点の右側にあります。したがって|4－t|＝4－tです。
② t＞4のとき
4－tは負で、Qは原点の左側にあります。しかし線分OQの長さはt－4です。
| tの範囲 | Qの位置 | OQ | 面積S |
|---|---|---|---|
| 0＜t＜4 | 原点の右 | 4－t | －t2/2＋t＋4 |
| t＞4 | 原点の左 | t－4 | t2/2－t－4 |
t＝4ではQとOが一致し、三角形の面積は0です。問題がt≠4としているのは、△OPQがつぶれて三角形でなくなる時刻を除くためです。
（2）S＝3となるtをすべて求める
場合ごとの式へS＝3を代入し、得られた解がその場合の範囲を満たすか確認します。
0＜t＜4の場合
1－√3は負なので0＜t＜4を満たしません。1＋√3は約2.73で条件を満たします。
t＞4の場合
1－√15は負です。1＋√15は約4.87でt＞4を満たします。
答え：t＝1＋√3、1＋√15
面積3になることを式のまま検算
t＝1＋√3はt2－2t－2＝0を満たすため、－t2/2＋t＋4＝3です。t＝1＋√15はt2－2t－14＝0を満たすため、t2/2－t－4＝3です。
問題2：ピザの半径と本来の価格
直径24 cmのMサイズを1,800円で販売しています。直径36 cmのLサイズは、本来の価格から50円値引きして4,000円です。価格はピザの面積に比例すると考えます。
（1）本来の価格は何に比例するか
ピザを円とみなすと面積はπr2です。したがって価格は円の面積、言い換えると半径の2乗に比例します。
（2）半径x cm、本来の価格y円の式
Mサイズは半径12 cm、価格1,800円です。比例定数をaとすると、
答え：y＝(25/2)x2
Lサイズでも比例関係を検算する
Lサイズの本来の価格は4,000＋50＝4,050円、半径は18 cmです。
Mサイズの1,800/122＝12.5と一致するため、問題の設定は正確に同じ比例定数を使っています。
（3）900円の子供向けピザの直径
本来の価格yを900円として、半径xを求めます。
半径は正なのでx＝6√2 cmです。求めるのは直径なので2倍します。
答え：12√2 cm
面積比からの別解
900円はMサイズ1,800円の1/2です。面積は1/2、半径の比は√(1/2)＝1/√2です。Mサイズの直径24 cmに1/√2を掛けると24/√2＝12√2 cmです。
よくある誤り
| 誤り | 直し方 |
|---|---|
| Pを(t, t)とする | y＝x＋2へ代入し、P(t, t＋2) |
| t＞4でもOQ＝4－tとする | 長さは正なのでOQ＝|4－t|＝t－4 |
| 方程式の4解候補をすべて答える | 各場合のtの範囲へ戻して吟味する |
| Lの本来の価格を4,000円とする | 50円値引き後なので本来は4,050円 |
| 価格は半径に比例するとする | 面積πx2に比例するので半径の2乗に比例 |
| 半径6√2 cmを答える | 問われている直径は2倍の12√2 cm |
確認問題
- 0＜t＜4でt＝2のとき、△OPQの面積を求めてください。
- t＝5のとき、OQの長さと△OPQの面積を求めてください。
- 半径を2倍にした円の面積と、面積に比例する価格はそれぞれ何倍ですか。
- y＝(25/2)x2で半径10 cmなら、価格はいくらですか。
確認問題の解答
- Pの高さ4、OQ＝2なので、1/2×2×4＝4です。
- Qの座標は(－1, 0)なのでOQ＝1、高さは7、面積は7/2です。
- 半径の倍率の2乗なので、面積も価格も4倍です。
- (25/2)×100＝1,250円です。
よくある質問
絶対値をまだ習っていない場合はどう考えますか。
Qが原点の右側なら「右の座標－左の座標」で4－t、左側ならt－4と場合分けすれば同じ結果になります。
価格の式にπがないのはなぜですか。
価格＝k×πx2で、πも一定です。kπを一つの比例定数aと置けば、y＝ax2と表せます。
学習範囲の根拠
本記事は、中学校数学の関数 y＝ax2と二次方程式の利用に沿い、動点・面積・比例の問題をサイト用に再構成したものです。教材画像や紙面は転載していません。
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