横浜雙葉中学校 2024年度（2期）算数 過去問の傾向と解答・解説

横浜雙葉中学校 2024年度（2期）算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説と解答例はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み。学校公表の模範解答ではありません）。問題は横浜雙葉中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算・小問集合）　答：(1)① 0.02（＝1/50）　② 7　(2) 48人　(3) 8回　(4) 36km　(5) 16通り　(6) 10cm　(7) 8：3

(1) 計算2問：①は分母に11・110・1100が並ぶ分数と小数のまじった計算、②は逆算です。

【📖大切な考え方】①は分母が11→110→1100と10倍ずつになっているのが最大のヒント。全部を「1100分の」にそろえると、たし算が一気に終わります。

解答：
① 0.04＝4/100 なので 1/11×0.04＝4/1100。1/110×3/2＝3/220＝15/1100。1/1100÷1/3＝3/1100。
合わせて（4＋15＋3）/1100＝22/1100＝1/50＝0.02。
② 1/5＋1.2＝1.4＝7/5 だから、かっこの中全体は 2/3÷7/5＝10/21。
一方、1と1/7＝8/7、1.4×6と2/3＝7/5×20/3＝28/3 なので、8/7＋28/3＝24/21＋196/21＝220/21。
□÷0.7＝220/21−10/21＝210/21＝10。よって □＝10×0.7＝7。

【✅検算】分数のままプログラムで計算し、①は1/50、②は□＝7で元の式が成り立つことを確認しました。

(2) 割合：同じ人数の中学生と高校生がいるクラブで、アンケートに「はい」と答えた人が中学生の1/4、高校生の2/3にあたり、その差が10人という設定です。

【👀ここに注目】中学生と高校生は同じ人数なので、その人数を「1」とみれば、2つの割合をそのまま引き算できます。

解答：差は 2/3−1/4＝8/12−3/12＝5/12。これが10人にあたるので、1つの学年の人数は 10÷5/12＝24人。クラブ全体は 24×2＝48人です。

【✅検算】中学生24人の1/4は6人、高校生24人の2/3は16人で、差は10人。1〜2000人の全数チェックでも条件に合うのは48人だけでした。

(3) つるかめ算：グーで勝つと1点・チョキで勝つと2点・パーで勝つと5点。20回勝って52点、グーの勝ちとパーの勝ちが同数のとき、チョキの勝ちの回数を求めます。

【📖大切な考え方】「グーとパーが同数」なので、グー1回とパー1回をセットにすると「2回で6点」のかたまりになります。これで「チョキ（1回2点）」との2種類のつるかめ算に持ちこめます。

解答：もし20回全部チョキなら 2×20＝40点で、実際より 52−40＝12点足りません。チョキ2回（4点）をセット1組（6点）に置きかえるごとに2点ずつ増えるので、セットは 12÷2＝6組。よってグー6回・パー6回で、チョキは 20−12＝8回です。

【✅検算】1×6＋2×8＋5×6＝6＋16＋30＝52点。0〜20回の全組み合わせをプログラムで調べても、条件に合うのは（グー6・チョキ8・パー6）だけでした。

(4) 流水算：川ぞいのA町からB町への往復で、行き（A→B）が2時間、帰り（B→A）が3時間。流れの速さは毎時3kmで、A町からB町までの距離を求めます。

【👀ここに注目】同じ距離を2時間と3時間で進むのだから、下りと上りの速さの比は時間の逆比で3：2。そして下りと上りの速さの差は、いつでも「流れの速さ2つ分」です。

解答：速さの比3：2の「差の1」が、流れ2つ分＝毎時6kmにあたります。よって下りは毎時 6×3＝18km、上りは毎時12km。行きが下り（2時間で着く方）なので、距離は 18×2＝36kmです。

【✅検算】静水時の速さは毎時15km。上り 15−3＝12km/時 で 36÷12＝3時間となり、帰りの条件とも合います。

(5) 場合の数：1〜5のカード5枚から何枚か選ぶとき、「選んだ枚数と同じ数字のカード」が選んだ中にふくまれるような選び方の数を数えます。

【📖大切な考え方】「何枚選ぶか」で場合分けするのが定石です。□枚選ぶなら、数字□のカードは必ず入れることになるので、残り（□−1）枚を他の4枚から選ぶだけになります。

解答：
・1枚：カード1のみ → 1通り
・2枚：カード2＋残り4枚から1枚 → 4通り
・3枚：カード3＋残り4枚から2枚 → 4×3÷2＝6通り
・4枚：カード4＋残り4枚から3枚 →（1枚残す選び方で）4通り
・5枚：全部選ぶ → 1通り
合計 1＋4＋6＋4＋1＝16通りです。

【✅検算】5枚のカードの選び方31通りをすべてプログラムで調べ、条件に合うものはちょうど16通りでした。

(6) 立体の表面積：30cm×30cm・高さ10cmの直方体から、底面に垂直に円柱をくりぬいても表面積（水にぬれる部分の面積）が変わらなかったとき、円柱の底面の半径を求めます。

【👀ここに注目】くりぬくと「上下の面から円2枚分」が減り、かわりに「くりぬいた穴の内側のかべ（円柱の側面）」が新しく増えます。表面積が変わらない＝減った分と増えた分が等しい、ということです。

解答：半径を□cmとすると、減る面積は □×□×3.14×2。増える面積は、側面（底面の円周×高さ）で □×2×3.14×10。等しいので
□×□×3.14×2＝□×2×3.14×10。両側を「□×2×3.14」で割ると □＝10cm。
直径20cmは一辺30cmの底面におさまるので、答えとして適しています。

【✅検算】減る分は 10×10×3.14×2＝628cm²、増える分は 20×3.14×10＝628cm²でぴったり一致します。

(7) 面積の比：大小2つの正方形が重なっていて、小さな正方形の左の辺の3等分点P（下の角から2/3の高さ）と下の辺の3等分点Q（左の角から1/3）を大きな正方形の辺が通り、小さな正方形の左下の角だけが外にはみ出しています。重なりが大きな正方形の1/8のとき、辺の長さの比を求めます。

【📖大切な考え方】重なった部分＝「小さな正方形から、直線PQで切り取られる左下の三角形を除いた形」。3等分点が出てくるので、小さな正方形の1辺を③（＝3cm）とおくと数がきれいになります。

解答：小さな正方形の1辺を3cmとすると面積は9cm²。切り取られる三角形は、直角をはさむ2辺が1cmと2cmなので 1×2÷2＝1cm²。よって重なりは 9−1＝8cm²。
これが大きな正方形の1/8だから、大きな正方形の面積は 8×8＝64cm²。64＝8×8 なので1辺は8cm。よって比は大：小＝8：3です。

【✅検算】座標上に2つの正方形を再現し、乱数による面積測定（モンテカルロ法）で重なりを測ると8.00cm²となり、64cm²の1/8に一致しました。

【💡ポイントコラム】「重なりは大きい方の1/8」のように面積の割合から辺の長さへもどすときは、面積を9や64のような平方数の形にできるかがカギです。3等分点の設定を見たら「1辺を3とおく」——この“比の数のおき方”は、割合と図形が混ざった問題全般で使える型なので、しっかり身につけておくとよいでしょう。

大問2（数列の規則）　答：(1) 21番目は61・50番目は149　(2) 説明（本文参照）　(3) 25個（考え方は本文参照）　(4) 3825

1、5、9、11、13、17、21、23、25、29、33、35、37、…と、ある規則で100個の数が並んでいます。

【📖大切な考え方】まず「ふえ方」を調べると、＋4、＋4、＋2、＋2のくり返しです。つまりこの列は4個ずつのかたまり（1・5・9・11／13・17・21・23／…）に区切れて、次のかたまりはどれも前のかたまりより12ずつ大きくなっています。

(1) 21＝4×5＋1 なので、21番目は「第6かたまりの1番目」。かたまりの1番目は 1、13、25、…と12ずつふえるから、1＋12×5＝61。
50＝4×12＋2 なので、50番目は「第13かたまりの2番目」。2番目は 5、17、29、…だから、5＋12×12＝149です。

【✅検算】プログラムで100個すべてを書き出し、21番目＝61、50番目＝149を確認しました。

(2) すべて奇数である理由（説明の例）：最初の数1は奇数である。そのあとの数は、直前の数に4か2をたして作られるが、4も2も偶数であり、「奇数＋偶数＝奇数」だから、奇数に偶数をたしても奇数のままである。よって何番目の数も奇数になる。——という説明ができます。

【✅検算】100個の全数チェックでも偶数は1つもありませんでした。

(3) 3の倍数の個数（考え方つき）：4個ずつのかたまりで考えます。となりのかたまりとは12ちがいで、12は3の倍数なので、「3で割った余り」のパターンはどのかたまりでも同じです。第1かたまり（1・5・9・11）の余りは順に1・2・0・2。つまり3の倍数になるのは各かたまりの3番目（1個だけ）です。100個は 100÷4＝25かたまりだから、3の倍数は 1×25＝25個。

【✅検算】全数チェックでも3の倍数はちょうど25個でした。

(4) その25個は 9、21、33、…と12ずつふえる等差数列で、最後は 9＋12×24＝297。よって和は
（9＋297）×25÷2＝306×25÷2＝153×25＝3825です。

【✅検算】プログラムで3の倍数だけを取り出してたし合わせても3825でした。

【💡ポイントコラム】ふえ方が「＋4＋4＋2＋2」のようにくり返す数列は、くり返しの1周期分（ここでは4個で＋12）をひとかたまりにするのが鉄則です。かたまりに区切れば、「◯番目」はわり算の商と余りで即座に特定でき、倍数の個数も「1かたまりに何個」で数えられます。周期×わり算の発想は規則性の問題の万能ツールです。

大問3（柱のかげと鏡・見える範囲）　答：(1) 図示（本文参照）　(2) 33600cm²　(3) アとカ　(4) 図示（本文参照）・11520cm²

1辺120cmの正方形タイルをしきつめた部屋（横4マス・縦3マス）を真上から見ます。左から2列目・下から2段目のタイル1マス分に柱が立っていて、部屋の右下の角の点Aから部屋を見わたします。視線はまっすぐ進み、柱のかげになる部分は見えません。後半は、上側の壁一面が鏡になります。

【📖大切な考え方】見える・見えないの境界線は、いつでも「Aから柱の角をかすめる視線」です。この問題では2本だけ考えれば足ります。
・視線①：Aから柱の右上の角へ。左へ240cm・上へ240cmなので45度の線で、そのままのばすと上の壁の「左から120cmの点」に届きます。
・視線②：Aから柱の左下の角へ。左へ360cm・上へ120cm、つまり「左へ3すすむと上へ1」の線で、のばすと左の壁の「下から160cmの点」に届きます（柱の左下の角から左の壁までさらに左へ120cmすすむ間に40cm上がるため、120＋40＝160cm）。

(1) 見えない部分の図示：この2本の視線にはさまれ、柱よりむこう側にある部分が見えません。ぬる場所は次の3か所です。
・左上の角のタイル1枚（上段の左はし）……全部。
・上段の左から2枚目のタイル……視線①がこのタイルを対角線のように横切るので、その線より左下側の半分（タイルの左下の角・右下の角・左上の角を結ぶ三角形）。
・中段の左はしのタイル……視線②がこのタイルの右下の角（＝柱の左下の角）から左の壁の下から160cmの点へ横切るので、その線より上側の部分（タイルから、底辺120cm・高さ40cmの細い三角形を除いた形）。

(2) 面積：3か所を順にたします。
・左上のタイル：120×120＝14400cm²
・上段2枚目の三角形：120×120÷2＝7200cm²
・中段左はしのタイル：14400−（120×40÷2）＝14400−2400＝12000cm²
合計 14400＋7200＋12000＝33600cm²です。

【✅検算】部屋を1cm方眼に区切り、すべての点について「Aと結ぶ線分が柱を通るか」を判定するシミュレーションを行ったところ、方眼を細かくするほど33600cm²に収束し、一致しました。

(3) 鏡があるとき見えない点：上の壁全体が鏡になり、点ア〜カが見えるかを調べます（柱の位置は(1)と同じです）。

【👀ここに注目】鏡ごしの見え方は、鏡のむこう側に「部屋の像」があると考えるのが決め手です。上の壁のむこうに部屋がもう1つ（柱の像もいっしょに）うつっていると考えると、「点Pが鏡ごしに見える」⇔「AからPの像へまっすぐ引いた線が、実物の柱にも柱の像にもぶつからない」と言いかえられます。

解答：まず鏡を使わない直接の視線では、ウだけが見えます（ウは視線①〔45度線〕より上にあり、柱の右上の角の上をこえて見通せます）。ア・イ・エ・オ・カは直接には見えません。
次に鏡ごしを調べると——
・イ・エ・オ：Aから各点の像への線は、実物の柱の上を通りこし、柱の像にも当たらないので、鏡に反射して見えます。
・ア：Aからアの像へ向かう線は、鏡に届く前に実物の柱を通ってしまいます。アは部屋の左上すみに近く、そこを鏡でのぞくには鏡の左はし付近を使うしかありませんが、その方向はちょうど柱のかげです。
・カ：カは柱のすぐ左どなり。Aからカの像への線は柱の像を通ります。つまり、鏡で反射したあとの視線がどうしても柱にさえぎられ、見えません。
よって、見ることができない点はアとカです。

【✅検算】6点それぞれの座標を図から読み取り、「像への線分が2つの柱（実物・像）と交わるか」をプログラムで判定したところ、見えないのはアとカだけで一致しました。

(4) 鏡があるとき見えない部分の図示と面積：(2)で求めた「直接見えない33600cm²」のうち、鏡のおかげで見えるようになる部分を除いた残りが答えです。鏡を使っても見えないのは、次の2つの三角形だけです。
・部屋の左上のすみの三角形：Aから鏡を見ると、鏡の左はしから120cmの部分は柱のかげになっていて使えません（視線①が上の壁に届く点が「左から120cm」だからです）。使える鏡のいちばんはし（左から120cmの点）で反射する視線は、45度で入って45度で出るので、そこから左下45度に下りる線——左の壁の「下から240cmの点」へ向かう線——より上のすみは、鏡でものぞけません。この三角形は直角をはさむ2辺がどちらも120cmで、面積は 120×120÷2＝7200cm²。
・柱のすぐ左の三角形：鏡で反射してもどってくる視線のうち、いちばん低いところを通るのは「柱の左上の角をかすめて下りてくる」ものです（上の壁の左から210cmの点で反射し、「左へ3すすむと下へ4」の傾きで下ります）。柱の左どなりでは、この反射視線より下は鏡でも見えず、直接の境界である視線②より上は直接も見えません。2本の線は、柱の左の辺（長さ120cm）から左へすすむと「3cmごとに上の線は4cm下がり、下の線は1cm上がる」ので、120cmあった開きは3cmごとに5cmずつ縮まり、左へ 72cm の地点でぶつかります。よってこの見えない部分は、柱の左の辺を底辺（120cm）、そこから左へ72cmの点を頂点とする三角形で、面積は 120×72÷2＝4320cm²。
合計 7200＋4320＝11520cm²です。

【✅検算】鏡の反射をふくめたシミュレーション（各点について「直接」と「像経由」の両方の線分判定）でも、見えない部分は上記2つの三角形のみで、面積は方眼を細かくするほど11520cm²に収束しました。

【💡ポイントコラム】鏡の問題は「鏡のむこうにもう1つの世界をかく」が合言葉です。反射の折れ線をそのまま追うと混乱しますが、像の世界へまっすぐ線を引けば、ふつうの「かげの作図」と同じ道具（角をかすめる視線）だけで処理できます。図形の新傾向問題に見えても、境界線は結局「角をかすめる直線」——この原則を知っていれば、初見の設定でも手が止まりません。

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