横浜雙葉中学校 2024年度 算数 過去問の傾向と解答・解説

横浜雙葉中学校 2024年度（1期）算数の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解説と解答例はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み。学校公表の模範解答ではありません）。問題は横浜雙葉中学校公式サイト掲載のPDFをご参照ください。

大問1（計算・小問集合）　答：(1)① 46　② 18　(2) 291個　(3) 5cm　(4) 8.8％　(5)① ウ　② Ⓐ＝10、Ⓑ＝9　(6) 109度　(7) 80度

(1) 計算2問：①は3重かっこの中の□を求める逆算、②は分数の四則計算です。

【📖大切な考え方】逆算は、いちばん外側の計算から一枚ずつはがしていくのが定石です。かっこが3重でも、「答えから順に戻る」だけで迷いません。

解答：
① 20−［　］÷3＝1 だから ［　］÷3＝19、［　］＝57。5＋｛　｝×2＝57 だから ｛　｝×2＝52、｛　｝＝26。33−(□−18)÷4＝26 だから (□−18)÷4＝7、□−18＝28。よって □＝46。
② 1/2＋1/3＋1/4＝6/12＋4/12＋3/12＝13/12。これを7で割ると 13/84。3と1/4＝13/4 なので、13/4÷13/84＝13/4×84/13＝21。最後に 21×6/7＝18。

【✅検算】①は □＝46 を戻すと (46−18)÷4＝7、33−7＝26、26×2＋5＝57、57÷3＝19、20−19＝1 で一致。②は分数計算ソフトによる機械計算でも18になりました。

(2) 過不足算：アメを5個ずつ配ると51個余り、7個ずつ配ると、もらえない人が6人と4個しかもらえない人が1人出ます。アメの総数を求めます。

【👀ここに注目】「もらえない人6人・4個の人1人」を、「全員に7個ずつ配るには 7×6＋(7−4)＝45個足りない」と言いかえるのがポイントです。

解答：5個ずつだと51個余り、7個ずつだと45個不足。1人あたりの差は 7−5＝2個なので、子どもの人数は (51＋45)÷2＝48人。アメは 5×48＋51＝291個。

【✅検算】291個を7個ずつ配ると 291÷7＝41あまり4 → 41人に7個、1人に4個、48−42＝6人はもらえず、問題の条件どおりです。

(3) 平均：1年前は姉・葉子さん・妹3人の身長の平均と、姉妹2人の平均が同じでした。この1年で姉は8cm、妹は6cmのび、いまは姉妹2人の平均が葉子さんより2cm高くなっています。葉子さんののびを求めます。

【📖大切な考え方】「3人の平均＝姉妹2人の平均」は、「葉子さんの身長＝姉妹2人の平均」と同じ意味です。3人の平均に葉子さん自身を入れても平均が動かないのは、葉子さんがちょうど平均の位置にいるときだけだからです。

解答：姉妹2人の平均はこの1年で (8＋6)÷2＝7cm 上がりました。1年前、葉子さんは姉妹の平均とちょうど同じ高さ。いまは姉妹の平均のほうが2cm高いので、葉子さんののびは 7−2＝5cm。

【✅検算】仮に1年前を姉150cm・妹130cmとすると葉子さんは140cm。いまは姉158cm・妹136cmで平均147cm、葉子さんは145cmとなり、たしかに平均のほうが2cm高く、のびは5cmで一致します。

(4) 食塩水（てんびん）：12％の食塩水Aと4％の食塩水Bを混ぜて10％を作る予定が、Bだけ量を2倍にして混ぜてしまいました。できた濃度を求めます。

【👀ここに注目】まず「予定どおりならAとBを何対何で混ぜるはずだったか」を求めます。てんびん法で、10％はAの12％から2、Bの4％から6はなれているので、量の比は逆比で A：B＝6：2＝3：1 です。

解答：A：B＝3：1 だから、たとえばA300g・B100gの予定だったとします。実際はBが2倍の200g。食塩は Aに 300×0.12＝36g、Bに 200×0.04＝8g で合計44g。全体は500gなので、濃度は 44÷500＝0.088＝8.8％。

【✅検算】予定どおりなら (36＋4)÷400＝10％ で条件に合います。A600g・B200gなど別の量で計算しても、比が同じなら濃度は必ず8.8％になります。

(5) 度数分布表：ソフトボール投げ（39人）の度数分布表で、10m以上15m未満の人数Ⓐと15m以上20m未満の人数Ⓑが空らんです。

解答：
① 度数分布（各階級の人数）の様子を表すのに最も適したグラフは柱状グラフ（ヒストグラム）なので (ウ)。
② わかっている人数の合計は 3＋6＋5＋3＋2＋1＝20人なので、Ⓐ＋Ⓑ＝39−20＝19人。39人の中央値は、低いほうから数えて20番目の人の記録です。15m未満の人数は 3＋6＋Ⓐ＝9＋Ⓐ で、中央値が15m以上20m未満の階級に入るには、20番目がこの階級に来る、つまり 9＋Ⓐ が19以下であればよいので Ⓐは10以下。一方、Ⓐは全階級の中で一番多いので、Ⓐ＋Ⓑ＝19 から Ⓐは10以上（Ⓐが9以下だとⒷが10以上になり、Ⓐより多くなってしまいます）。よって Ⓐ＝10、Ⓑ＝9。

【✅検算】Ⓐ＝10のとき15m未満は19人なので、20番目はたしかに15〜20mの階級。Ⓐ＝10はⒷ＝9や他のどの階級よりも多く、すべての条件に合います。コンピュータでⒶを0〜19まで全部試しても、条件に合うのは(10, 9)だけでした。

(6) 角度：辺AB・AC・ADがすべて同じ長さの三角形ABCと三角形ACDを組み合わせた図で、角BAD（＝角x）が142度のとき、角BCD（＝角y）を求めます。

【📖大切な考え方】AB＝ACより三角形ABCは二等辺三角形、AC＝ADより三角形ACDも二等辺三角形です。底角をそれぞれ●、○とおいて、頂角を●・○で表すのが定石です。

解答：角ABC＝角ACB＝●、角ACD＝角ADC＝○ とすると、角BAC＝180−●×2、角CAD＝180−○×2。2つ合わせて角BADなので、(180−●×2)＋(180−○×2)＝142。つまり 360−(●＋○)×2＝142 だから、●＋○＝(360−142)÷2＝109。角y＝角BCA＋角ACD＝●＋○＝109度。

【✅検算】B・C・DはAを中心とする同じ円の上にあります。中心角（角BADの反対側）は 360−142＝218度で、円周角はその半分の109度。別の見方でも一致します。

(7) 扇形の面積：半径6cmの半円と半径9cmの半円を、中心をそろえて角xだけ開いて重ねた図です。半円どうしが重ならない部分㋐（小さい半円側）と㋑（大きい半円側の外周部分）の面積が等しいとき、角xを求めます。

【👀ここに注目】㋐は「半径6cm・中心角(180−x)度の扇形」、㋑は「半径9cmの扇形から半径6cmの扇形を取り除いた、中心角x度の部分」です。円周率3.14と÷360は両方に共通なので、（半径×半径×中心角）だけを比べれば十分です。

解答：㋐＝6×6×(180−x)＝36×(180−x)、㋑＝(9×9−6×6)×x＝45×x（どちらも×3.14÷360を省略）。等しいので 36×(180−x)＝45×x。左辺を開くと 6480−36×x＝45×x だから、81×x＝6480、x＝80度。

【✅検算】x＝80のとき、㋐＝36×3.14×100÷360＝31.4cm²、㋑＝45×3.14×80÷360＝31.4cm² でぴったり等しくなります。

【💡ポイントコラム】扇形の面積くらべでは、共通の「×3.14÷360」を最後まで書かず、（半径×半径×中心角）どうしの比かんたんな式で比べるのが時短のコツです。等しい面積の問題は「共通部分を足して大きな図形どうしで比べる」か、今回のように「共通部分を省いた式で直接比べる」かの二択で考えると見通しがよくなります。

大問2（図形上の点の移動）　答：(1) 72秒後　(2)① 25cm²　② 32.8cm²　(3) 28秒後　(4) 61秒間

横一直線に並んだB・A・D（BA＝9cm、AD＝16cm）と、Aの真上のC（CA＝12cm、CB＝15cm、CD＝20cm）で作った2つの直角三角形の辺上を、点Pが三角形ABCの周（A→B→C→A→…）を毎秒1cm、点Qが三角形ACDの周（A→C→D→A→…）を毎秒2cmで、同時にAを出発して回り続けます。

【📖大切な考え方】周回する点の問題は、まず「1周の時間」を出し、次に「何秒から何秒までどの辺にいるか」の時刻表を作るのが定石です。Pは1周 (9＋15＋12)÷1＝36秒、Qは1周 (12＋20＋16)÷2＝24秒。Pは0〜9秒AB上、9〜24秒BC上、24〜36秒CA上。Qは0〜6秒AC上、6〜16秒CD上、16〜24秒DA上のくり返しです。

(1) PがAにいるのは36秒ごと、Qは24秒ごと。初めて同時にAへ戻るのは36と24の最小公倍数で 72秒後。

【✅検算】72秒でPは2周、Qは3周してどちらもぴったりA。1〜71秒に両方がAへ戻る時刻がないことも、コンピュータの再現計算で確認しました。

(2)① 5秒後：PはAB上でAから5cm、QはAC上でAから 2×5＝10cm。ABとACは直角なので、三角形APQは直角をはさむ2辺が5cmと10cmの直角三角形。面積は 5×10÷2＝25cm²。

② 14秒後：Pは 14cm進み、AB（9cm）を通過してBC上をBから5cm進んだ点。Qは 28cm進み、AC（12cm）を通過してCD上をCから16cm進んだ点。
BC上の移動は、BからCまでで横9cm・縦12cm動くので、5cm進むと横3cm・縦4cm（3：4：5の比）。よってPは直線BDから高さ4cm、Aから左へ 9−3＝6cm の位置の真上にあります。
CD上は、CからDまでで横16cm・縦12cm動くので、16cm進むと横 16×4/5＝12.8cm・縦 12×4/5＝9.6cm。よってQは高さ 12−9.6＝2.4cm、Aから右へ12.8cmの位置の真上にあります。
P・Qから直線BDに垂線を下ろした足をP′・Q′とすると、台形PP′Q′Qの面積は (4＋2.4)×(6＋12.8)÷2＝6.4×18.8÷2＝60.16cm²。ここから三角形APP′（6×4÷2＝12cm²）と三角形AQQ′（12.8×2.4÷2＝15.36cm²）を引いて、三角形APQ＝60.16−12−15.36＝32.8cm²。

【✅検算】座標計算（Pを(−6, 4)、Qを(12.8, 2.4)とする方法）でも面積はちょうど32.8cm²になりました。

(3) PとQが重なれるのは、2つの三角形の共通の辺ACの上だけです。時刻表から、PがAC上にいるのは24〜36秒（Cから下向きに毎秒1cm）、QがAC上にいるのは24〜30秒（Aから上向きに毎秒2cm）。24秒の時点でPはC（Aから12cm）、QはAにいて、向かい合って進むので、出会うまで 12÷(1＋2)＝4秒。よって 24＋4＝28秒後（Aから8cmの点で重なります）。

【✅検算】28秒後のPはCから4cm下（Aから8cm）、Qは 2×4＝8cm 上（Aから8cm）で一致。コンピュータで0.01秒きざみに両点の位置を追った再現計算でも、最初に重なる時刻は28秒でした。

(4) 3点A・P・Qが三角形にならないのは、3点が一直線上に並ぶときです。P・QがともにAを通る直線上に乗るのは、実は次の2つの場合しかありません。
・両方が縦線AC上：PがCA上（24〜36秒、60〜72秒）かつQがAC上（0〜6秒、24〜30秒、48〜54秒）→ 重なる時間帯は24〜30秒の6秒間。
・両方が横線BD上（PがAB上かつQがDA上）：PがAB上（0〜9秒、36〜45秒）かつQがDA上（16〜24秒、40〜48秒、64〜72秒）→ 重なる時間帯は40〜45秒の5秒間。
PがBC上にいるとき、直線APの向きは「左上向き」で、Q側（AC上・CD上・DA上）の向きとは一致しないため、一直線になるのは瞬間すらありません。P＝AやQ＝Aとなるのは一瞬だけで「何秒間」には数えません。よって三角形にならないのは 6＋5＝11秒間で、三角形になるのは 72−11＝61秒間。

【✅検算】コンピュータで0〜72秒を細かくきざみ、三角形APQの面積が0になる時間を合計すると11.0秒、面積が正になる時間は61.0秒で、手計算と完全に一致しました。

【💡ポイントコラム】周回する2点の問題は、「どの辺に何秒から何秒までいるか」の時刻表さえ書けば、(1)〜(4)がすべて時刻表の読み取りに変わります。図の上で点を追いかけ続けるより、先に表を作るほうが速く正確です。三角形が「できない」条件（3点が一直線）から攻めるのも、(4)のような集計問題の常とう手段です。

大問3（積み木の規則性）　答：(1)① 55個　② 7個　(2)① 36個　② 30個　③ 55個　(3) 11段

同じ大きさの立方体を、上から1段目が1個、2段目が2×2＝4個、3段目が3×3＝9個…と、真上から見て奥の角がそろう階段状に積み、床に接する面以外の表面すべてにペンキをぬります。

【📖大切な考え方】真上から見た「高さの地図」を作ると、この立体は、奥の角のマスが一番高く、そこから手前・右へ1列はなれるごとに1段ずつ低くなる階段だとわかります。ペンキがぬられるのは、①各マスのいちばん上の面、②奥側と左側の2つの「壁」、③1段下がる段差の面、の3種類です。

(1)① 5段のブロックの総数は 1＋4＋9＋16＋25＝55個。

② 5段目（いちばん下の段）は5×5＝25個。このうち二面だけぬられるのは、次の2種類です。
・外側のL字（手前の列と右の列、9個）のうち、両はし（奥の壁・左の壁にふれる2個）と曲がり角（手前右の角1個）を除いた6個：上の面と、段差の面（手前または右）の2面。
・奥の左角の1個：上にブロックが乗っているので上の面はぬられず、奥の壁と左の壁の2面。
合わせて 6＋1＝7個。

【✅検算】25個の内訳は、3面が3個（L字の両はしと曲がり角）、2面が7個、1面が6個（奥の壁ぞい3個と左の壁ぞい3個）、0面が9個（内側3×3）で、合計25個。全ブロックの面を1つずつ数えるコンピュータの全数調査でも7個でした。

(2) 7段のときは、上からd段目がd×dの正方形で、外側のL字（2×d−1個）が「階段の表面」、内側の(d−1)×(d−1)個は上にブロックが乗っています。各段のぬられ方は(1)②とまったく同じしくみで、d段目（dは2以上）につき、
・二面：L字のまん中 (d−2)×2個 ＋ 奥の左角1個 ＝ d×2−3個
・一面：内側の奥の壁ぞい・左の壁ぞい (d−2)×2個
・0面：内側の残り (d−2)×(d−2)個
となります（いちばん上の1個だけは特別で、5面ぬられます）。

① 二面：d＝2〜7で 1＋3＋5＋7＋9＋11＝36個。
② 一面：d＝2〜7で 0＋2＋4＋6＋8＋10＝30個。
③ 0面：d＝2〜7で 0＋1＋4＋9＋16＋25＝55個。

【👀ここに注目】③の「0＋1＋4＋9＋16＋25」は、5段の立体の総数（(1)①の55個）と同じ式です。これは偶然ではなく、ぬられていないブロック全体が「段数が2つ少ない、同じ形の階段状の立体」になっているからです。表面の階段（各マスの一番上の1個）と、奥の壁・左の壁にふれる列を取り除くと、2段小さい同じ形がそっくり残ります。

【✅検算】コンピュータで7段の全140個について、6つの面が外気にふれるかを1面ずつ判定した結果も、二面36個・一面30個・0面55個で一致しました。

(3) ③の考え方から、n段のときの「ぬられていないブロック」は (n−2)段の立体の総数、つまり 1＋4＋9＋…＋(n−2)×(n−2) 個です。順に足すと、1、5、14、30、55、91、140、204、285…となり、285になるのは 1＋4＋…＋81（＝9×9）のとき。よって n−2＝9 で、積んだのは 11段。

【✅検算】1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＝285。コンピュータで11段（総数506個）を全数調査しても、ぬられていないブロックはちょうど285個でした。

【💡ポイントコラム】積み木の表面積・ペンキ問題は、「真上から見た高さの地図」と「段ごとの表」の2点セットで整理すると、数えもれが激減します。さらに今回の③のように、「ぬられていない部分がもとの立体の縮小版になる」構造に気づけると、(3)は表を伸ばすだけの作業になります。規則性の問題では、小さい場合（1段・2段・3段）を必ず手で数えて表にする習慣が決め手になるでしょう。

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