横浜雙葉の高校1年生には、夏休みの課題として問題冊子が配られます。2次関数の単元の終盤に入ってくるのが、文章題の最大・最小と、最大値の条件から係数を決める問題です。計算そのものは難しくないのに、点差が大きく開くところでもあります。
理由ははっきりしています。この2つは「式を作る力」と「場合分けを尽くす力」を見ている問題で、公式の暗記では対応できないからです。この記事では、どちらも「なぜその式になるのか」から順にほどいていきます。
この記事で扱う2つの型
①文章題型＝日本語の状況を自分で2次関数に翻訳し、変数の動ける範囲まで自分で決める。
②逆算型＝最大値（または最小値）が与えられ、そこから係数を求める。すべての可能性を調べ尽くしたかが問われる。
1．この記事で解く問題
【例題1】文章題（面積の最大）
長さ12mのロープで長方形の囲いを作る。この長方形の面積が最大になるときの縦の長さと、そのときの面積を求めよ。
【例題2】最大値から係数を決める
2次関数 （）の最大値が であるとき、定数 の値を求めよ。
【答えだけ先に】
例題1：縦 m のとき、面積の最大値 m2（正方形のとき）
例題2：
※例題2は「3通り調べて、2通りを捨てる」問題です。1通りだけ調べて当たった人は、まだ解けていません。
2．例題1｜文章題は「何を にするか」で決まる
文章題で最初にやることは、計算ではありません。何を文字にするかを決めることです。
今回は「長さ12mのロープ」が長方形の周の長さになります。縦を m とおくと、縦2本と横2本で12mなので、縦＋横は6m。したがって横は m と表せます。
ここが山場
「周の長さが12」→「縦＋横＝6」→「横＝6−x」。
この1文字で両方を表すという発想が、文章題の心臓部です。縦と横を別々の文字で置くと、2次関数になりません。
面積 は、
次に、 が動ける範囲を自分で決めます。ここを飛ばす人が非常に多い。縦の長さは正でなければならず、横 も正でなければなりません。
かつ
したがって です。
あとは平方完成するだけです。
上に凸で軸は 。これは の内側にあるので、頂点がそのまま最大です。
図1： のグラフ。範囲 の中に軸 があるので、頂点が最大。縦3m・横3mの正方形のとき、面積は最大の9m2。
【答】
縦が m のとき、面積は最大値 m2 をとる。
【なぜ正方形になるのか】周の長さが決まっているとき、面積が最大になるのは正方形——これは覚えるものではなく、 という式から出てくる結果です。頂点 が「縦＝横」の状態にあたります。式の形が図形の性質を教えてくれる、という体験をここでしておいてください。
3．例題2｜「最大値が3」から逆にたどる
【問題（再掲）】
（）の最大値が であるとき、 の値を求めよ。
まず平方完成して、グラフの形を確定させます。 の係数は 、その半分は 。 の係数が なのでマイナスでくくります。
頂点は 、軸は 、上に凸。上に凸なので、最大値をとるのは「軸が範囲の中なら頂点、範囲の外なら軸に近いほうの端」です。
軸 がどこにあるか分からない——だから3つに分けます。
図2：左＝軸が範囲の左の外（）、中＝軸が範囲の中（）、右＝軸が範囲の右の外（）。緑の点が最大値をとる位置。
(i) のとき
軸が範囲の左の外にあるので、範囲の中では右へ行くほど下がります。最大は左端 。
最大値が となり、条件の と一致しません。不適です。
この場合、 がどんな負の数でも最大値は必ず 。つまり「 になる は存在しない」と言い切れます。
(ii) のとき
軸が範囲の中にあるので、頂点が最大。
ここで仮定に戻って確認します。 なので 、。どちらも を満たしません。よって不適。
【ここが最重要】方程式が解けたからといって答えではありません。その値が、いま仮定している範囲に入っているかを必ず確かめる。この確認を書かない答案は、たとえ最終的な答えが合っていても減点されます。
(iii) のとき
軸が範囲の右の外にあるので、範囲の中では右へ行くほど上がります。最大は右端 。
展開して整理します。
これが に等しいので、
なので、仮定 を満たします。適する。
【答】
【検算】 のとき 。 で軸は （範囲の右の外）なので右端が最大。 を入れると 。確かに最大値は です。
4．逆算型で必ずやること
3ステップで固定する
- ① 場合分けをもれなく立てる（軸が範囲の左・中・右）
- ② それぞれで方程式を解く
- ③ 出てきた値がその場合の仮定を満たすか確認し、満たさないものは捨てる
③まで書いて、はじめて論理が閉じます。「たまたま1つ見つけたから答え」は、大学入試では通用しません。
5．この2つの型でよく落とす3か所
ミス1 文章題で変域を書かない
長さ・個数・時間には必ず制限があります。 を書かない答案は、そこだけで減点されます。
ミス2 逆算型で1つの場合しか調べない
今回のように、調べた3通りのうち2通りが不適ということが普通に起こります。全部調べて初めて「これしかない」と言えます。
ミス3 解いた値が仮定を満たすか確認しない
を答えに含めてしまうのが典型例。方程式の解＝答え、ではありません。
6．確認問題
【確認問題】
周の長さが20cmの長方形のうち、面積が最大になるものの面積を求めよ。また、（、）の最大値を で場合分けして求めよ。
【解答】
前半：縦を cm とすると横は cm。、。軸 は範囲の中にあるので最大値は cm2（1辺5cmの正方形）。
後半：、上に凸、軸 。
・ のとき：軸が範囲の中 → 最大値 （）
・ のとき：軸が右の外 → 最大は右端 →
検算： を両方に入れると 、。境目で一致しています。
7．横浜雙葉の高1へ：この2題が入試で問われる形
横浜雙葉は中高一貫で数学を先に進めるため、高1の夏に扱う内容が、そのまま大学入試の答案で問われます。文章題は共通テストの誘導問題で、逆算型は記述式で頻出です。
とくに逆算型は、答えの数値よりも「調べ尽くした形跡」に点がつく問題です。3つ書いて2つを捨てた過程が、そのまま得点になります。夏の課題でこの書き方を体に入れておくと、2年半後にそのまま使えます。
答えが合っていても、ここで止まったら「まだ理解していない」
- 文章題で、変域をどう決めたかを説明できるか
- 逆算型で、なぜ3通り必要なのかを言えるか
- を捨てた理由を、一文で書けるか
8．「聞ける相手がいない」だけで止まっているなら
理屈が分かっても、冊子の残りを一人で進めるのは別の話です。分からない1問の前で止まっている時間が、夏休みではいちばんもったいない。
友だちには聞きにくい、塾に行けば知り合いに会うかもしれない——そういう理由で聞けないまま9月を迎える人を、私は毎年見てきました。
数強塾は、オンラインの完全1対1です
- 誰にも会いません。校舎に通わないので、同じ学校の友だちや先輩に見られる心配がありません。
- 恥ずかしくありません。1対1なので、他の生徒の前で間違える心配がない。「全然分からない」と言える場所です。
- すぐ始められます。自宅から、今日つまずいた冊子の1問を持ち込むところから始められます。
- プロ講師だけが教えます。学生アルバイトは在籍していません。横浜雙葉の進度・教材に合わせて指導します。
- 「解けた」で終わらせません。答案の書き方（場合分けの根拠、不適の理由）まで詰めます。
体験授業は有料3,000円（税込）です。その1回で、実際に手が止まっている問題を一緒に解きます。
9．よくある質問
Q. 文章題で、何を にすればよいか分かりません。
A. 求めたいもの（今回は面積）を表すのに必要な量を1つ選びます。迷ったら「縦」「時間」など基本の量を置き、他をその文字で表せるか試してください。表せなければ別の置き方に変えます。
Q. 変域はどこまで厳密に書くべきですか？
A. 図形なら「長さは正」、個数なら「整数」まで書きます。今回は縦も横も正なので 。等号を含めるかどうかも意味を持ちます（長さ0の長方形は存在しないので含めない）。
Q. 場合分けで、どの場合も条件を満たさなかったらどうしますか？
A. その場合は「解なし」が答えです。今回は3通りのうち1通りだけが残りました。捨てた理由を書くことが答案の価値になります。
Q. 夏休みの残りが少ないのですが、間に合いますか？
A. 間に合います。冊子が途中で止まっている段階のほうが、原因を特定して立て直しやすいです。オンラインなので申し込みからすぐ開始できます。
10．関連ページ
次のステップ（発展編）
2次関数の最大・最小【発展編】｜2変数・最大値と最小値の差・絶対値つきを本質から解く
基本型を終えた人へ。1文字消去で変域を引き継ぐ2変数の問題、最大値と最小値の差から係数を逆算する4区間の場合分け、絶対値つきの折り返しと解の個数まで、入試レベルの考え方を図解しています。
